TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA Regulación Automática TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA Regulación Automática TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA

Contenido 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS AUTOMÁTICOS. 2. SEÑALES. 3. SISTEMAS. 4. ECUACIÓN DE CONVOLUCIÓN. 5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES. 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE. 7. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. 8. DIAGRAMA DE BLOQUES. 9. DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA Contenido 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS AUTOMÁTICOS. 2. SEÑALES. 3. SISTEMAS. 4. ECUACIÓN DE CONVOLUCIÓN. 5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES. 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE. 7. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. 8. DIAGRAMA DE BLOQUES. 9. DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 1.INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS AUTOMÁTICOS. INTRODUCCIÓN La Automática o Control (automático) de Sistemas trata de regular, con la mínima intervención humana, el comportamiento dinámico de un sistema mediante órdenes de mando. El Control Automático a diferencia de la Química, la Física, la Geología… no posee una metodología bien establecida. El Control Automático al igual que otras ciencias de la ingeniería actual trata con sistemas complejos. Por ello el Control Automático pertenece a la Teoría de Sistemas. ¿Qué es la Ingeniería de Control? Es un enfoque interdisciplinario para el control de sistemas y dispositivos. Combina áreas como Eléctrica, Electrónica, Mecánica, Química, Ingeniería de Procesos y Teoría Matemática entre otros. La metodología para las ciencias de la Teoría de Sistemas aún no está bien establecida, sin embargo una herramienta fundamental es el concepto de modelo. ¿Qué es un modelo? Se trata de una construcción abstracta (conjunto de reglas) con una serie de objetivos: Describir el sistema en cuestión Determinar lo que se puede hacer con él Determinar cómo alcanzar objetivos La Teoría de Sistemas no trata directamente con el mundo real sino con modelos del mundo real obtenidos a partir de las ciencias básicas. Estos modelos pueden ser tanto Físicos, Matemáticos como Gráficos.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 1.INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS AUTOMÁTICOS. DEFINICIONES  TEORÍA DE LA REGULACIÓN AUTOMÁTICA O DE CONTROL DE SISTEMAS: Es la ciencia que se dedica al estudio del comportamiento dinámico de los sistemas y al diseño de estrategia de control para que dichos sistemas se comporten de la forma más conveniente y autónoma posible.  SISTEMA: Conjunto de elementos físicos o abstractos relacionados entre sí con el entorno, de forma que las variaciones en determinadas magnitudes entre ellos puedan modificar los de los demás o viceversa.  VARIABLES DEL SISTEMA: Variables que definen el comportamiento de un sistema. Su naturaleza define el carácter del sistema; mecánico, biológico, económico, etc…  VARIABLE DE SALIDA: Variable que interesa controlar del sistema.  VARIABLE DE ENTRADA: Variable manipulable o no, que afecta a la salida del sistema.  SEÑAL DE CONTROL: Señal usada por el controlador para adecuar la salida a una referencia dada.  PERTURBACIÓN: Señal medible o no, que afecta a la salida y que no podemos o queremos manipular.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 1.INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS AUTOMÁTICOS. DEFINICIONES  PROCESO: Es la evolución que sufre el sistema que queremos controlar.  PLANTA: Es el dispositivo físico donde se va a dar el proceso ( motor, horno, reactor, caldera, …).  MODELADO DEL SISTEMA – MODELO MATEMÁTICO: Se utiliza para estudiar la planta y tener de este modo una serie de ecuaciones matemáticas que describen al sistema. Los modelos caracterizarán a los sistemas según el tipo que estos sean: SISTEMAS ESTÁTICOS (Ecuaciones Algebraicas) No presentan cambios ni evoluciones de su estado. La salida del sistema permanece constante si la entrada también lo es. SISTEMAS DINÁMICOS (Ecuaciones Diferenciales) Presenta algún cambio o evolución de su estado en un tiempo. La salida puede evolucionar con el tiempo ante una entrada constante. SISTEMA [ENTRADAS] [SALIDAS] [PERTURBACIONES]

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 1.INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS AUTOMÁTICOS. ESQUEMA DEL PROCESO DE OBTENCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO  PARTIENDO DE UN ANÁLISIS BASADO EN LA EXPERIMENTACIÓN SE DEFINEN LAS ECUACIONES.  COMPROMISO: Sistema Físico Real Observación del comportamiento del Sistema Revisión del Modelo Matemático ModeloMatemático Aparatos de Medida SIMULACIÓN Aparato de Cálculo Predicción del comportamiento del Sistema COMPARACIÓN FIN MAL BIEN Precisión / Complejidad del Modelo Coste

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 1.INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS AUTOMÁTICOS. ECUACIONES DIFERENCIALES  SE ESTUDIARÁN LOS SISTEMAS DINÁMICOS MODELIZADOS MATEMÁTICAMENTE POR ECUACIONES DIFERENCIALES.  LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SE PODRÁN REPRESENTAR DE DOS MANERAS:  REPRESENTACIÓN EXTERNA (TEORÍA CLÁSICA DE CONTROL) Se conocen las variables de entrada y salida.  REPRESENTACIÓN INTERNA (TEORÍA MODERNA DE CONTROL) Se conocen las variables de entrada y salida, pero también se conoce el estado interno del sistema ( Variables de Estado ).Variables de Estado SISTEMA Estado(x 1,x 2,…x n ) [ENTRADA] y μ [SALIDA] Sistema de Ecuaciones Diferenciales SISTEMA [ENTRADA][SALIDA] y μ

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 1.INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS AUTOMÁTICOS. SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO Y LAZO CERRADO  HAY DOS TÉCNICAS DIFERENTES PARA CONTROLAR UN SISTEMA, Y SUS CARACTERÍSTICAS SON COMPLETAMENTE DIFERENTES; SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO Y SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO. 1) LOS SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO Son aquellos en los cuales la entrada al sistema de control actúa directamente sobre el dispositivo que controla el proceso sin tener en cuenta ninguna indicación sobre si el valor de la salida del proceso es la deseada. No tiene la capacidad de corregir sus errores. Se espera que la salida sea la deseada pero no se mide. Se utiliza más que nada en sistemas sencillos, estables o sin perturbaciones. La exactitud del sistema depende de la calibración. CONTROLADOR [ENTRADA] PLANTA / PROCESO [SALIDA]

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 1.INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS AUTOMÁTICOS. SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO Y LAZO CERRADO 2) LOS SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO Son aquellos en los cuales la salida del proceso se mide continuamente y se compara con la entrada al sistema de control, dando una señal de error en caso de que la salida no sea la deseada. Se aplica a sistemas complejos y difíciles de controlar. El sistema en lazo cerrado es más insensible a las perturbaciones y a las variaciones de parámetros del sistema, que en lazo abierto. Son más complejos que los sistemas en lazo abierto, al necesitar de sensores y transductores para generar la señal de Realimentación (  ).  CONTROLADOR [ENTRADA] PLANTA / PROCESO [SALIDA] DISPOSITIVOS DE REALIMENTACIÓN [ERROR] + -

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 1.INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS AUTOMÁTICOS. SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO Y LAZO CERRADO Es necesario el estudio de la estabilidad del sistema resultante, ya que la realimentación modifica de forma importante la dinámica del sistema. El controlador se diseña para que el sistema cumpla una serie de prestaciones: error en régimen permanente, rapidez de respuesta sobre impulsos, oscilaciones … Existen dos tipos de sistemas en lazo cerrado:  REGULADORES Son los sistemas de control cuyo objetivo es el de mantener la salida del proceso a un valor fijo, igual al de la señal de entrada independientemente de las perturbaciones.  SERVOSISTEMAS Son sistemas de control en los que la señal de entrada varía en función del tiempo, y la salida del proceso debe seguirle lo más rápido y fielmente posible.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. INTRODUCCIÓN  UNA SEÑAL ES TODO SOPORTE DE INFORMACIÓN. SE DEFINE COMO UNA CANTIDAD FÍSICA QUE VARÍA CON EL TIEMPO, EL ESPACIO O CUALQUIER OTRA VARIABLE O VARIABLES INDEPENDIENTES. MATEMÁTICAMENTE, DESCRIBIMOS UNA SEÑAL COMO UNA FUNCIÓN DE UNA O MÁS VARIABLES INDEPENDIENTES.  EN PARTICULAR, UNA SEÑAL ES TODO FENÓMENO FÍSICO SUSCEPTIBLE DE SER PROCESADO MEDIANTE SISTEMAS MECÁNICOS, ELÉCTRICOS, ELECTRÓNICOS …  DE ESTE MODO, UN SISTEMA SE PUEDE DEFINIR TAMBIÉN COMO UN DISPOSITIVO FÍSICO QUE REALIZA UNA OPERACIÓN SOBRE UNA SEÑAL (ALGO CAPAZ DE PROCESAR SEÑALES).  UN SISTEMA REALIZA UNA TRANSFORMACIÓN, QUE APLICADA A UNA SEÑAL DE ENTRADA NOS PROPORCIONA UNA SEÑAL DE SALIDA.  Ejemplo: CIRCUITO RC S e(t)v(t) = S{e(t)}

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. CLASIFICACIÓN DE SEÑALES  EN BASE A LA VARIACIÓN  SEÑAL DETERMINISTA: Cuando a priori conocemos el valor de la señal para cualquier valor de la variable independiente. Por lo tanto son señales predecibles y tendrán un modelo matemático ( toda señal que se pueda expresar mediante una ecuación analítica es determinista ).  SEÑAL ALEATORIA ( ESTOCÁSTICA ): Cuando a priori no podemos saber o predecir el valor que tomará la misma en un determinado instante de tiempo. No tienen un modelo matemático y solamente se pueden caracterizar estadísticamente ( parámetros probabilísticos ). Las señales que no cambian con el tiempo se denominan estacionarias y no estacionarias a las que si lo hacen. Toda señal contiene información, y normalmente suele ser aleatoria aunque nosotros nos centraremos en las Señales Deterministas ( es lo básico ).  SEGÚN SUS VARIABLES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES  V. INDEPENDIENTES: Unidimensionales (tiempo) o multidimensionales (píxel f[ t,pos] ).  V. DEPENDIENTES: Unidimensionales (Tª) o multidimensionales (píxel).

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. CLASIFICACIÓN DE SEÑALES  POR SU NATURALEZA  CONTINUA: Cuando la señal toma valor para cualquier valor de la variable independiente.  DISCRETA: Cuando la señal toma valores exclusivamente en enteros de la variable independiente ( muestras ). También se les denomina secuencias.  SEGÚN ENERGÍA O POTENCIA  SEÑAL DE ENERGÍA FINITA  P MED = 0  SEÑAL DE POTENCIA FINITA  ENERGÍA = ∞ V. IndependienteV. Dependiente Señal AnalógicaContinua SecuenciaDiscretaContinua Señal CuantificadaContinuaDiscreta Señal DigitalDiscreta

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. CLASIFICACIÓN DE SEÑALES  SEGÚN SIMETRÍA  SIMETRÍA PAR f (x) = f (-x)  SIMETRÍA IMPAR f (x) = -f (-x) o f (-x) = -f (x) Toda señal se puede descomponer en dos partes; una parte par y la otra impar: x(t) =x p (t) + x i (t)  SEGÚN SU PERIODICIDAD  SEÑALES PERIÓDICAS: Son aquellas que se repiten a lo largo del tiempo. x(t) = x(t + T)k = 0,1,2,3…  SEÑALES APERIÓDICAS: No se repiten a lo largo del tiempo. x(t)  x(t + T)k = 0,1,2,3…

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. TRANSFORMACIÓNES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE  INVERSIÓN Consiste en invertir la señal respecto del origen de la variable. Para ello aplicaremos una transformación de la variable t  -t.  DESPLAZAMIENTO  RETARDO: La señal se desplaza t 0 hacia derechas. Transformamos t  t – t 0.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. TRANSFORMACIÓNES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE  ADELANTO: La señal se desplaza t 0 hacia izquierdas. Transformamos t  t + t 0.  DESPLAZAMIENTO DE LA SEÑAL INVERTIDA Se aplica para la señal x(-t). Se desplaza al revés de la señal sin invertir.  RETARDO: La señal se desplaza t 0 hacia izquierdas. Transformamos -t  -t – t 0.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. TRANSFORMACIÓNES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE  ADELANTO: La señal se desplaza t 0 hacia derechas. Transformamos -t  -t + t 0.  ESCALADO Consiste en aplicar una transformación de la variable t  a·t haciendo que la duración de la señal aumente o disminuya según el valor de “a”.  Si a > 1 la duración de la señal se reduce por ese valor “a”. Esto es hacer una compresión.  Si a < 1 la duración de la señal se hace “a” veces mayor. Esto es hacer una expansión.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. TRANSFORMACIÓNES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE  COMPRESIÓN:  EXPANSIÓN:

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES  LA INVERSIÓN Y EL ESCALADO CUMPLEN LA PROPIEDAD CONMUTATIVA. Y si lo hacemos en el orden inverso queda lo mismo. x(t)x(-t) x(-at) INVERTIMOS ESCALAMOS (compresión) x(t)x(at) x(-at) ESCALAMOS (compresión) INVERTIMOS

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES  EL ESCALADO CON EL DESPLAZAMIENTO NO CUMPLEN LA PROPIEDAD CONMUTATIVA. Y si lo hacemos en el orden inverso NO queda lo mismo. x(t)x(at) x(a(t-t 0 )) = x(at-at 0 ) ESCALAMOS (compresión) DESPLAZAMOS x(t)x(t-t 0 ) x(at-t 0 ) DESPLAZAMOS ESCALAMOS (compresión)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES  DESPLAZAMIENTO CON SEÑALES DE SIMETRÍA PAR x(t) = x(-t).  x(t-t0) es desplazar x(t) hacia la derecha (retrasar) pero x(-t+t0) también lo es por ser par.  x(t+t0) es desplazar x(t) hacia la izquierda (adelantar) pero x(-t-t0) también lo es por ser par.  DESPLAZAMIENTO CON SEÑALES DE SIMETRÍA IMPAR x(t) = -x(-t).  x(t-t0) es desplazar x(t) hacia la derecha (retrasar) pero -x(-t+t0) también lo es por ser impar.  x(t+t0) es desplazar x(t) hacia la izquierda (adelantar) pero -x(-t-t0) también lo es por ser impar.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS  ESCALÓN UNITARIO.  Podemos operar con esta señal y ver el resultado que nos queda. Así por ejemplo la podemos desplazar. 0 t < 0 u(t) = 1 t  0

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS  También se podrá invertir, y luego desplazar, hacia la derecha o izquierda.  Y también se puede aplicar un escalado, pero teniendo en cuenta que por mucho que la comprima o la expanda, siempre empieza en 0 ( o en t o ) y acaba en  ( o en -  ). o u(at) = u(t)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS  IMPULSO UNITARIO.  Se le llama también Delta de Dirac y es una señal que no es real, esto es, físicamente no es realizable, pero se puede interpretar gráficamente.  Es una señal que nos va a permitir definir muchas aplicaciones con señales. Es posible visualizarlo como un pulso de muy corta duración de área unitaria.  Donde la función es:  t = 0  (t) = 0 t  0 O bien

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS  Se obtiene de hacer un límite de un pulso rectangular, cuya área vale 1.  De ahí que el área o peso de la  (t) valga 1.  Aplicando las características, sabemos que: a = 

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS  Y a la integral de p(t) de área 1 le llamaremos u p (t) donde:  Aplicando un límite a u p (t) haciendo que la  tienda a cero, conseguiremos el escalón unitario. 0 t < -  / 2 u p (t) =1/  (t +  / 2)-  / 2 < t <  / 2 1 t >  / 2 a =  Hacemos que   0 Así conseguimos u(t)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS  Por lo que se demuestra que:  Como ya se ha comentado antes la  (t) no existe en la realidad, es una representación analítica que nos ayuda mucho a manejar y formalizar señales. PROPIEDADES Y CARACTERÍSTICAS ES UNA FUNCIÓN PAR.  (t) =  (-t)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS PESO DE LA  (t), [K].  Si multiplicamos la  (t) por un escalar, se dice que ese es su peso o área. Esto es una propiedad que no ocurría con el escalón unitario ya que el área siempre vale .  (t) =  (-t) Esta es una manera de identificar por que número o función se multiplica a la delta.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS ESCALADO.  Las  (t) son señales que se escalan de forma especial.  Podemos llegar a suponer que  (kt) =  (t) porque si t tiende a 0 el valor de la delta vale , pero hay que tener cuidado. Veamos: Si k > 1 realizamos una compresión.Si k < 1 realizamos una expansión. a =  Aquí tampoco vale 1, esta vez, el valor que coge es k’. Ahora el peso no vale 1, sino que ha cambiado a 1/k (no queda lo mismo).

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS PRODUCTO DE UNA SEÑAL POR UNA  (t).  DEFINICIÓN: El producto de una señal con una Delta de Dirac es; una  (t) en la misma posición de esa  (t), cuyo peso es el valor que toma la función x(t) en la posición de la susodicha  (t). x(t) ·  (t)= x(0) ·  (t) x=

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS INTEGRAL DEL PRODUCTO DE UNA SEÑAL POR UNA  (t).  Y si la  (t) está desplazada: ( El intervalo puede ser cualquiera mientras este dentro la  (t))

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS  Nos fijamos entonces que el resultado es el valor de la función en la posición de la  (t).  CONCLUSIÓN: Toda señal puede expresarse en función de la  (t).  x(  ) es el valor de x(t) donde está la delta,  (t -  ).  Como la función Delta es par  (t -  ) =  (  - t).  Y se coge como variable  haciendo que la cantidad que se desplaza sea t.  Para verlo mejor hacemos t = t 1 : ( Diferenciamos frente a  )

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS  PULSO RECTANGULAR. ESCALADO.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS DESPLAZAMIENTO (CON EXPANSIÓN). MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS  PULSO TRIANGULAR. ESCALADO. Se pone la mitad de la duración porque indica el factor de expansión.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS DESPLAZAMIENTO (CON EXPANSIÓN Y MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR).

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS  SEÑAL RAMPA.  SEÑAL PARABÓLICA.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS  SEÑAL EXPONENCIAL COMPLEJA.  Un número complejo se puede representar de forma exponencial: SI “c” Y “a” SON REALES.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS SI “c” Y “a” SON COMPLEJOS.  Nos interesa poner así para los cálculos: Parte RealParte Imaginaria TEOREMA DE EULER

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS  Se pueden representar gráficamente tanto la parte real, como la parte imaginaria: Con desfase   0 Sin desfase Con desfase   0 Sin desfase

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 2.SEÑALES. SEÑALES BÁSICAS CONTINUAS SI “c” ES REAL Y “a” IMAGINARIO PURO.  Se puede demostrar que una señal sinusoidal es una suma de exponenciales complejas de la forma: Parte RealParte Imaginaria TEOREMA DE EULER

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 3.SISTEMAS. CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS  NUESTRO OBJETIVO ES EL DE CONOCER EL COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMA EN DIFERENTES SITUACIONES, Y CÓMO, LA INTERACCIÓN ENTRE SUS PARTES DETERMINAN SU EVOLUCIÓN TEMPORAL.  POR EL MOMENTO DEFINIREMOS A UN SISTEMA COMO UNA CAJA NEGRA CON UNA O VARIAS ENTRADAS Y CON UNA O VARIAS SALIDAS, DE MANERA QUE LAS SALIDAS SON UNA RESPUESTA CAUSAL A LOS CAMBIOS EN LA ENTRADA.  LA ÚNICA RESTRICCIÓN QUE IMPONEMOS ES LA DE CAUSALIDAD. UN SISTEMA ES CAUSAL SI SU SALIDA EN CUALQUIER INSTANTE DE TIEMPO DEPENDE SOLO DE LOS VALORES DE ENTRADA EN EL MOMENTO PRESENTE Y PASADO, PERO NO DE VALORES FUTUROS DE LA ENTRADA.  LOS SISTEMAS CUMPLIRAN UNA SERIE DE PROPIEDADES Y EN BASE A ESTAS SE OBTIENE UNA CLASIFICACIÓN DE ELLOS. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS CAUSALIDAD LINEALIDAD ESTABILIDAD INVARIANZA TEMPORAL

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 3.SISTEMAS. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS  SEGÚN SU NATURALEZA  ESTÁTICOS : No presentan cambios ni evoluciones de su estado. La salida del sistema permanece constante si la entrada también lo es.  SISTEMAS DINÁMICOS: Presenta algún cambio o evolución de su estado en un tiempo. La salida puede evolucionar con el tiempo ante una entrada constante.  SEGÚN EL NÚMERO DE VARIABLES  MONOVARIABLES (ESCALARES): Se trata de sistemas que poseen una entrada y una salida ( simple input, output – SISO ).  MULTIVARIABLES: Se trata de sistemas que poseen varias entradas y salidas ( multiple input, output – MIMO ).  SEGÚN EL TIPO DE SEÑAL  CONTINUOS: Todas las señales son continuas en el tiempo.  DISCRETOS: Las señales del sistema sólo están definidas en instantes discretos de tiempo.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 3.SISTEMAS. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS  SEGÚN SU COMPORTAMIENTO DINÁMICO Según el comportamiento dinámico que el sistema posea, este puede ser LINEAL o NO LINEAL. El sistema será lineal si cumple con la condición de linealidad. Para ello tendrá que cumplir:  SUPERPOSICIÓN O ADITIVIDAD  HOMOGENEIDAD O ESCALADO EN GENERAL: S x 1 (t) + x 2 (t)y 1 (t) + y 2 (t) y 1 (t) = S{x 1 (t)} y 2 (t) = S{x 2 (t)} S a · x(t)a · y(t) / y(t) = S{x(t)} S ∑a k · x k (t) ∑a k ·y k (t) / y k (t) = S{x k (t)}

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 3.SISTEMAS. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS  SEGÚN SU ESTABILIDAD Un sistema es ESTABLE si apartando las variables de su punto de equilibrio, estas vuelven naturalmente a éste, y es INESTABLE si divergen de él sin retorno. En los sistemas estables, ante toda entrada acotada la salida/respuesta es también acotada.  SEGÚN SU INVARIANZA TEMPORAL Un sistema es INVARIANTE con respecto al tiempo cuando la respuesta del sistema no depende del instante en el que se le aplique la excitación o entrada. Esto significa que, si se aplica al sistema una excitación particular y se obtiene una respuesta, si se aplica la misma excitación un tiempo después, se obtiene la misma respuesta, desplazada el mismo tiempo que se desplazó la excitación. Lo anterior implica físicamente que las características del sistema no cambian en el tiempo. Su respuesta cambia dependiendo de la excitación que se le aplique y la dinámica interna del sistema mismo, pero la forma en que responde a una excitación particular es siempre la misma, independiente del instante de tiempo en que se le aplique.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 4.ECUACIÓN DE CONVOLUCIÓN. INTRODUCCIÓN  LA CONVOLUCIÓN ES UN PROCESO QUE SE DA DE FORMA NATURAL CUANDO SE TRATA DE DETERMINAR EL EFECTO QUE TIENE UN SISTEMA LINEAL E INVARIANTE EN EL TIEMPO A UNA EXCITACIÓN PARTICULAR.  CONSIDERAREMOS UN SISTEMA CONTINUO, LINEAL E INVARIANTE EN EL TIEMPO DONDE LA ENTRADA, QUE SE CONOCE COMÚNMENTE COMO EXCITACIÓN, ESTÁ REPRESENTADA POR LA SEÑAL x(t) Y LA SALIDA, CONOCIDA COMO RESPUESTA, ESTÁ REPRESENTADA POR y(t).  UNA FORMA DE DESCRIBIR UN SISTEMA LINEAL CONTINUO E INVARIANTE EN EL TIEMPO ES ESPECIFICAR SU RESPUESTA AL IMPULSO,  (t).  CONOCIENDO LA RESPUESTA DEL SISTEMA L.T.I A UN IMPULSO ( RESPUESTA IMPULSIONAL h(t) ) PODREMOS CONOCER LA SALIDA ANTE CUALQUIER ENTRADA.  LA RESPUESTA IMPULSIONAL SE CONOCE TAMBIÉN POR EL NOMBRE DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA. S.L.I x(t) =  (t) y(t) = h(t)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 4.ECUACIÓN DE CONVOLUCIÓN. RESPUESTA AL IMPULSO  SUPONGAMOS QUE UN SISTEMA LINEAL CONTINUO E INVARIANTE EN EL TIEMPO NO TIENE ENERGÍA ALMACENADA INTERNAMENTE Y SE LE APLICA LA EXCITACIÓN x(t)=  (t) EN TIEMPO CERO CON CONDICIONES INICIALES CERO PARA EL SISTEMA.  LA RESPUESTA DEL SISTEMA PARA ESTE CASO SE CONOCE COMO RESPUESTA AL IMPULSO Y SE DENOMINARÁ h(t).  A continuación se muestran varias excitaciones y sus correspondientes respuestas, sabiendo que el sistema es L.T.I :  ANTES DE TRATAR DE DETERMINAR LA RESPUESTA DEL SISTEMA PARA UNA EXCITACIÓN GENERAL x(t) SE ANALIZARÁ UN CASO PARTICULAR PARA EMPEZAR A ANALIZAR EL PROCESO.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 4.ECUACIÓN DE CONVOLUCIÓN. RESPUESTA PARA UN SISTEMA PARTICULAR  SUPONGAMOS LA RESPUESTA AL IMPULSO DE UN SISTEMA EN PARTICULAR ES:  Si se le aplica la excitación dada por:  La respuesta del sistema será:

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 4.ECUACIÓN DE CONVOLUCIÓN. LA CONVOLUCIÓN DE LA EXCITACIÓN Y LA RESPUESTA AL IMPULSO  VAMOS A DETERMINAR LA RESPUESTA DEL SISTEMA A UNA EXCITACIÓN GENERAL x(t) TOMANDO EN CUENTA EL ANÁLISIS REALIZADO ANTERIORMENTE.  A continuación se muestran de nuevo varias excitaciones y sus correspondientes respuestas: “x(  )” y “  ” son constantes al igual que “a” y “t 0 ”.  ¿Qué pasaría si al sistema se le aplica como excitación una suma de muchos impulsos como el descrito en el último caso?  Dado que el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la respuesta sería una suma de las respuestas a cada uno de los impulsos que contiene la excitación.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 4.ECUACIÓN DE CONVOLUCIÓN. LA CONVOLUCIÓN DE LA EXCITACIÓN Y LA RESPUESTA AL IMPULSO  La duración de un impulso tiende a cero, es decir, pude ser considerado como una diferencial. La suma de diferenciales es una integral, entonces, se tendría lo siguiente:  La integral que representa la respuesta del sistema es una Integral de Convolución. Esta integral representa la convolución de la respuesta al impulso y la excitación aplicada.  La excitación es también una convolución de la señal aplicada y la función Delta de Dirac. La convolución de cualquier señal y la función impulso unitario da como resultado la misma señal:  Entonces, la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo a una excitación general es la convolución de la excitación aplicada y la respuesta al impulso del sistema:

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 4.ECUACIÓN DE CONVOLUCIÓN. PROPIEDADES DE LA CONVOLUCIÓN  NOTACIÓN MATEMÁTICA:  CÁLCULO DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN. Se deja quieta la x(  ) – la h(  ) la “moveremos”. Se invierte h(  ). Se desplaza en valor de “t”. Movemos en el tiempo h(-  + t) y multiplicamos las dos funciones. Se calcula la integral en el intervalo.  LA CONVOLUCIÓN CUMPLE LAS SIGUIENTES PROPIEDADES. CONMUTATIVA. ASOCIATIVA. DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA. ELEMENTO NEUTRO. DEMO DEMO [DEMO]DEMO TRANSLACIONES. DERIVACIÓN. …

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 5.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES  DESDE EL COMIENZO DE LA ERA INDUSTRIAL Y EN AVANCE CONSTANTE A MEDIDA QUE AUMENTABA EL CONOCIMIENTO DE LAS LEYES FÍSICAS QUE RIGEN LA NATURALEZA, PUDO SER POSIBLE LA REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS O MODELOS DEL MISMO.  EL PRIMER PASO EN EL PROCESO DE MODELADO, ES PODER SEPARAR AL SISTEMA QUE NOS INTERESA DEL MEDIO EXTERIOR DEFINIENDO UN BORDE O LÍMITE. EL SISTEMA SE CONECTA CON EL MEDIO EXTERIOR A TRAVÉS DE LAS VARIABLES DE ENTRADA Y SALIDA.  PARA HACER EL MODELO DE SISTEMAS DINÁMICOS, INVARIANTES EN EL TIEMPO, GENERALMENTE SE COMIENZA POR PLANTEAR LOS BALANCES DE MASA, ENERGÍA, CARGA, ETC… ESTOS BALANCES CONFORMAN UN CONJUNTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES.  EL COMPORTAMIENTO DE MUCHOS SISTEMAS FÍSICOS PUEDE DESCRIBIRSE DE ACUERDO A UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. ASÍ, LOS CIRCUITOS DE BOBINAS, RESISTENCIAS Y CONDENSADORES, LOS SISTEMAS MECÁNICOS AMORTIGUADOS O LA POSICIÓN DE MÓVILES…, PRESENTAN UN COMPORTAMIENTO QUE PUEDE MODELARSE MEDIANTE ECUACIONES DIFERENCIALES.  DE ESTE MODO, LA ECUACIÓN DIFERENCIAL CARACTERIZA EL COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 5.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES  LA REPRESENTACIÓN GENERAL DE UN SISTEMA L.T.I ( SISO ) EN TIEMPO CONTINUO SE REALIZA NORMALMENTE A TRAVÉS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. SE RELACIONAN LA SALIDA y(t) Y LA ENTRADA x(t) MEDIANTE CONSTANTES, PARÁMETROS Y VARIABLES INDEPENDIENTES (TIEMPO):  Los sistemas regidos por esta clase de ecuaciones diferenciales cumplen las propiedades de homogeneidad, superposición e invarianza temporal. Por tanto, son circuitos L.T.I y su salida se puede calcular de una forma general mediante la convolución de la entrada con la respuesta impulsional. S.L.I x(t)y(t)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE. INTRODUCCIÓN  UNA HERRAMIENTA QUE SE UTILIZA EN EL DISEÑO DE CONTROL CLÁSICO ES PRECISAMENTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.  COMO HEMOS VISTO, EN EL ESTUDIO DE LOS PROCESOS ES NECESARIO CONSIDERAR MODELOS DINÁMICOS ( MODELOS DE COMPORTAMIENTO VARIABLE RESPECTO AL TIEMPO ) Y ESTO TRAE COMO CONSECUENCIA EL USO DE ECUACIONES DIFERENCIALES RESPECTO AL TIEMPO PARA REPRESENTAR MATEMÁTICAMENTE EL COMPORTAMIENTO DE UN PROCESO.  LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ES UNA HERRAMIENTA MATEMÁTICA MUY ÚTIL PARA EL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS LINEALES.  PERMITE RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES MEDIANTE LA TRANSFORMACIÓN EN ECUACIONES ALGEBRAICAS FACILITANDO SU ESTUDIO.  AL APLICAR LAPLACE PASAMOS DEL DEMONIO TEMPORAL (t) AL DOMINIO DENOMINADO LAPLACIANO (s), CUANDO SE TIENE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN SE APLICA UNA ANTITRANSFORMADA DE LAPLACE PARA VOLVER AL DOMINIO TEMPORAL Y OBTENER EL RESULTADO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO. Ec. Diferencial Ec. Algebraica TRANSFORMADA LAPLACE Solución Ec. Diferencial ANTITRANSFORMADA LAPLACE

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE  Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su Transformada de Laplace se define como:  Donde s es una variable compleja:  Notación: Parte Imaginaria Parte Real MODULO: ARGUMENTO:

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE. DEFINICIONES Y EJEMPLOS  Se dice que la Transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.  Se observa que la Transformada de Laplace es una integral impropia; uno de sus límites es infinito.  El dominio de la TL es el conjunto de los valores de “s”   para los cuales existe la integral impropia.  Se llama abscisa de convergencia al número real “s c ” definido por:  EJEMPLOS.  La integral que define la TL no converge necesariamente. Por ejemplo estas funciones no tienen TL, ya que no convergen:  Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de la TL son que f(t) sea continua a trozos y que sea de orden exponencial.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE. CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA DE LA TL  CONTINUIDAD A TROZOS  Si una función es continua a trozos en un intervalo cerrado, es integrable en dicho intervalo ya que f(t) posee a lo sumo un número finito de discontinuidades simples ( de salto finito ).  ORDEN EXPONENCIAL  Se dice que una función es de orden exponencial si existe una constante “a” y constantes positivas “M” y “t 0 ” con t > t 0 tal que:  TEOREMA DE EXISTENCIA Para una función f(t) la continuidad a trozos asegura su integración, y el orden exponencial indica que su producto por e -st está acotado. Estas dos condiciones son suficientes para que exista la Transformada de Laplace de una función. Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito: L{f(t)} = F(s) existe  s > a

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE. TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE f(t)F(s)f(t)F(s)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE  TRANSFORMADA DE FUNCIONES PERIÓDICAS Supongamos que f(t) es una función periódica de periodo T. Entonces: Donde F 1 (s) es la transformada de Laplace de la función f(t) sobre el primer periodo y cero fuera. 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE. T

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE  LINEALIDAD Si c 1 y c 2 son constantes, f 1 (x) y f 2 (x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F 1 (s) y F 2 (s), respectivamente, entonces: La transformada de Laplace es un operador lineal.  DESPLAZAMIENTO TEMPORAL  DESPLAZAMIENTO FRECUENCIAL 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE  ESCALADO EN EL TIEMPO  DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE  TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LAS DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por: 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE. ( donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0 )

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE  TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN  TEOREMA DEL VALOR FINAL Si existe, entonces:  TEOREMA DEL VALOR INICIAL El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya Transformada de Laplace es F(s), es:  INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE  GRACIAS A LAS PROPIEDADES DE LA DERIVACIÓN Y LA LINEALIDAD DE LA TL PODEMOS CONVERTIR UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EN UNA ECUACIÓN ALGEBRAICA.  SI RESOLVEMOS LA ECUACIÓN ALGEBRAICA Y ENCONTRAMOS LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE LA SOLUCIÓN, Y(S), ENCONTRAREMOS LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.  AL PROCESO INVERSO DE ENCONTRAR f(t) A PARTIR DE F(s) SE LE CONOCE COMO TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE O ANTITRANSFORMADA DE LAPLACE Y SE OBTIENE MEDIANTE: 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE. “ γ determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas las singularidades de F(s) queden a su izquierda.” Re(s) Im(s) γ

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA CONDICIONES DE EXISTENCIA  EXISTE UN PROBLEMA AL TRABAJAR CON LA TRANSFORMADA INVERSA; PUEDE NO SER ÚNICA.  ES POSIBLE QUE L{ f(t) } = L{ g(t) }, SIENDO f(t)  g(t).  DOS FUNCIONES QUE DIFIERAN SÓLO EN UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD TIENEN LA MISMA TRANSFORMADA. POR LO QUE SE PUEDE LLEGAR A PENSAR QUE SE PUEDEN ELEGIR INFINITAS FUNCIONES.  DE TODAS LAS FUNCIONES POSIBLES HABRÁ SOLO UNA QUE SEA CONTINUA ( A TROZOS ) FRENTE A LAS DEMÁS QUE SERÁN DISCONTINUAS, PARA [ 0, ∞].  AUN ASÍ TENDRÁ QUE CUMPLIR LAS CONDICIONES DE EXISTENCIA:  EN LA PRÁCTICA A LA HORA DE CALCULAR ANTITRANSFORMADAS DE LAPLACE APLICAREMOS LAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SE UTILIZARÁN TABLAS. 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA DESARROLLO EN FRACCIONES PARCIALES  SE UTILIZA PARA FACILITAR EL CÁLCULO DE LA TRANSFORMADA INVERSA, DESCOMPONIENDO LA FUNCIÓN EN COMPONENTES MÁS SENCILLOS.  SIN EMBARGO PARA QUE PODAMOS CALCULAR LA TRANSFORMADA INVERSA DE UNA FUNCIÓN RACIONAL; EL GRADO DE “p” TIENE QUE SER EXTRICTAMENTE MENOR QUE EL GRADO DE “q(t)”, YA QUE SEGÚN LO VISTO ANTERIORMENTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE TIENDE A CERO CUANDO “s” TIENDE A INFINITO.  LAS RAÍCES DEL DENOMINADOR D(s) SON LOS POLOS DE F(s), Y EN BASE A COMO SEAN ESTOS, LA RESOLUCIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE SE EFECTUA DE UNA FORMA O DE OTRA. 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA METODOS DE RESOLUCIÓN DE LA TL -1  CASO I – POLOS REALES SIMPLES 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA METODOS DE RESOLUCIÓN DE LA TL -1 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE. Método Alternativo y resolver... L -1

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA METODOS DE RESOLUCIÓN DE LA TL -1  CASO II – POLOS REALES MULTIPLES 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE. Polos reales simples Polos reales múltiples

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA METODOS DE RESOLUCIÓN DE LA TL -1 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE. C y D se calculan como en el caso anterior L -1 En general, para polos reales múltiples:

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA METODOS DE RESOLUCIÓN DE LA TL -1  CASO III – POLOS COMPLEJOS CONJUGADOS 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE. Conjugados Complejos L -1

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA METODOS DE RESOLUCIÓN DE LA TL -1  CASO IV – POLOS COMPLEJOS CONJUGADOS MÚLTIPLES Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III, teniendo en cuenta que se trabaja con complejos. 6.TRANSFORMADA DE LAPLACE.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. PRESENTACIÓN TEORÍA DE CONTROL CLÁSICA (REPRESENTACIÓN EXTERNA) TEORÍA DE CONTROL MODERNA (REPRESENTACIÓN INTERNA) FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA MATRIZ DE TRANSFERENCIA Sistemas Monovariables, Lineales e Invariantes en el Tiempo. Sistemas Multivariables, Lineales e Invariantes en el Tiempo. ECUACIONES DE ESTADO Sistemas Monovariables y Multivariables, Lineales y NO Lineales, Variantes e Invariantes en el Tiempo.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN EXTERNA  FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA La Función de Transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la Transformada de Laplace de la salida y la de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas. S.L.I x(t)y(t) TL

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN EXTERNA  Recordemos que un sistema L.T.I se podía caracterizar por la respuesta impulsional h(t).  Mediante la convolución de la entrada con la respuesta impulsional se obtenía la salida.  Y de las propiedades de la TL se tiene que la convolución es un producto de las variables transformadas:  Por lo que se ve que la respuesta al impulso en el dominio transformado es:

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN EXTERNA  Esta H(s) es la Función de Transferencia del sistema en el dominio de Laplace.  En la Teoría de la Regulación Automática se le conoce comúnmente por G(s) y su correspondiente valor en el dominio del tiempo g(t) es la Función de Ponderación en el dominio del tiempo ( lo que antes denominábamos h(t) ).  De este modo, y partiendo de las ecuaciones diferenciales que describen a un sistema L.T.I, trabajando en el dominio Laplaciano, seremos capaces de definir el valor de la FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA tanto en Laplace como en el tiempo ( aplicando antitransformadas ). G(s) g(t) X(s) x(t) Y(s) y(t)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN EXTERNA  CARACTERÍSTICAS  Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.  Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema.  Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada.  No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema  A las raíces del numerador se les denomina los ceros del sistema.  La Ecuación Característica de un sistema L.T.I se define como la ecuación que se obtiene al igualar a cero el polinomio del denominador de la Función de Transferencia. Contiene toda la información sobre las características de la respuesta natural (impulso) del sistema.  Las raíces de esta ecuación son los polos del sistema.  Mediante los ceros y los polos se definirá si el sistema es estable o inestable como se verá más adelante.  Un sistema físico es realizable si los “a i ” y “b i ” son números reales y n  m ( tiene igual o mayor número de polos que de ceros ). Esto es; es causal y estable.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN EXTERNA  MATRIZ DE TRANSFERENCIA Es la extensión del concepto Función de Transferencia a los sistemas multivariables. En general, el sistema estará acoplado, es decir, cada salida se verá influida por cada una de las entradas, por lo que se aplica el teorema de superposición. G 1 (s) X 1 (s) X 2 (s) G 2 (s) + + Y 1 (s) Y 2 (s) MATRIZ DE TRANSFERENCIA

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN INTERNA  ENTRE LAS FORMAS DE MODELAR UN SISTEMA MATEMÁTICAMENTE SE ENCUENTRA LA DE DESCRIBIR AL SISTEMA MEDIANTE LA REPRESENTACIÓN DE VARIABLES DE ESTADO.  BUSCAR UN MODELO MATEMÁTICO ES ENCONTRAR UNA RELACIÓN MATEMÁTICA ENTRE LAS SALIDAS Y LAS ENTRADAS DEL SISTEMA. EN PARTICULAR LA REPRESENTACIÓN INTERNA (REPRESENTACIÓN POR VARIABLES DE ESTADO) RELACIONARÁN MATEMÁTICAMENTE LAS SALIDAS CON LAS ENTRADAS A TRAVÉS DE LAS VARIABLES DE ESTADO COMO PASO INTERMEDIO.  LA FORMA MÁS GENERAL DE REPRESENTACIÓN POR VARIABLE DE ESTADO DE UN SISTEMA CONTÍNUO ESTÁ DADA POR DOS ECUACIONES: La primera que define los cambios de las variables de estado en función de estas mismas variables, las entradas y el tiempo. La segunda que define la salida en función de las variables de estado, las entradas y el tiempo.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN INTERNA  AQUÍ CONSIDERAMOS QUE x, y Y u SON VECTORES ( COLUMNAS ) DE n, p Y m COMPONENTES RESPECTIVAMENTE. ESTA FORMA DE REPRESENTACIÓN ES VÁLIDA PARA LOS SISTEMAS CONTÍNUOS NO-LINEALES Y VARIANTES EN EL TIEMPO EN FORMA GENERAL.  SI EL SISTEMA ES INVARIANTE EN EL TIEMPO, LAS FUNCIONES f Y g DEJAN DE DEPENDER EXPLÍCITAMENTE DEL TIEMPO:  SI EL SISTEMA REPRESENTADO POR LAS ECUACIONES, ES UN SISTEMA LINEAL, LA DEPENDENCIA DE E y, PASA A SER LINEAL:

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN INTERNA  Donde A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxm ( n filas x m columnas ), C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientes del tiempo.  SI ADEMÁS DE LINEAL, EL SISTEMA ES INVARIANTE EN EL TIEMPO, LAS MATRICES A, B, C Y D DEJAN DE DEPENDER DEL TIEMPO:  En general la dimensión de los vectores u e y puede ser cualquiera. Si en particular ambos se reducen a un escalar (p = m = 1) el sistema se denomina SISO (single-input single-output). En el caso que ambas dimensiones fuesen mayores a la unidad, el sistema se denomina MIMO (multiple-input multiple-output).

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN INTERNA  Del estado se calcula la salida del sistema.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN INTERNA  EJEMPLOS

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN INTERNA  SISTEMAS PROPIOS Y ESTRICTAMENTE PROPIOS  Para un sistema SISO, que sea lineal, la relación entre la entrada y la salida puede describirse mediante una ecuación diferencial ordinaria, de la siguiente forma:  Donde y (r) es la derivada temporal r-ésima de la salida y con respecto al tiempo, y u (q) es la derivada temporal q-ésima de la entrada u con respecto del tiempo.  En sistemas físicos reales se da siempre que r es mayor o igual que q. Si fuera lo contrario, nunca se podría definir y en función de u pues no sería causal.  A los sistemas en que r es mayor o igual a q se los denomina propios. En el caso en que r es mayor que q (no cabe la posibilidad de que sean iguales) se los denomina estrictamente propios.  Se puede demostrar que en los casos que el sistema es estrictamente propio, no existe transmisión directa, y la matriz D se hace nula en esos casos.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN INTERNA  DETERMINACIÓN DE LA DESCRIPCIÓN EXTERNA A PARTIR DE LA INTERNA  Sea el sistema representado por las ecuaciones de estado y de salida siguientes:  Dado que la representación interna asume que las condiciones iniciales son nulas, si se aplica la transformada de Laplace se obtiene: (1) (2)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 7.REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS. REPRESENTACIÓN INTERNA  RECORDAR: Estos son los valores propios de la matriz  Son los polos.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 8.DIAGRAMA DE BLOQUES. DIAGRAMA DE BLOQUES: CONCEPTO  UNA FORMA ESQUEMÁTICA DE REPRESENTAR LOS SISTEMAS DE CONTROL ES A TRAVÉS DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES.  EN DICHOS DIAGRAMAS IDENTIFICAMOS LOS PRINCIPALES COMPONENTES COMO BLOQUES, OMITIENDO DETALLES Y MOSTRANDO LA DIRECCIÓN PRINCIPAL DE LA INFORMACIÓN Y FLUJO DE ENERGÍA DESDE UN COMPONENTE A OTRO.  DE ESTA FORMA SE VISUALIZAN APARTE DE LOS COMPONENTES PRINCIPALES DE UN SISTEMA DE CONTROL, LAS ITERACIONES QUE TIENEN LUGAR EN ÉL.  MEDIANTE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES SE FACILITA LA OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA COMPLEJO A PARTIR DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LOS COMPONENTES SIMPLES, MEDIANTE REDUCCIÓN DE BLOQUES.  CONSIDERACIONES: Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema. Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema. No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace). El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 8.DIAGRAMA DE BLOQUES. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN DIAGRAMA DE BLOQUES  BLOQUE FUNCIONAL ( O SIMPLEMENTE BLOQUE ) Es un símbolo que representa un componente de un sistema, que viene caracterizado por su Función de Transferencia G(s).  PUNTO DE SUMA O COMPARACIÓN Se representa por una circunferencia, a la que llegan señales que pueden ser sumadas o restadas dependiendo del signo.  PUNTO DE BIFURCACIÓN Se representa por un punto en el que la señal prosigue a lo largo de varias trayectorias hacia varios destinos. G(s) X(s)Y(s) X 1 (s) X 2 (s) +  X 1 (s)  X 2 (s) X 1 (s)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 8.DIAGRAMA DE BLOQUES. REDUCCIÓN O ALGEBRA DE BLOQUES  SON TÉCNICAS DE MANIPULCIÓN QUE PERMITEN SUSTITUIR UN DIAGRAMA DE BLOQUES ORIGINAL POR UNO EQUIVALENTE MÁS SENCILLO O ÚTIL.  BLOQUES EN SERIE DIAGRAMA ORIGINALDIAGRAMA EQUIVALENTE  BLOQUES EN PARALELO DIAGRAMA ORIGINALDIAGRAMA EQUIVALENTE G 1 (s) X(s) Y(s) G 2 (s) G 1 (s)G 2 (s) X(s) Y(s) + + G 1 (s) X(s)Y(s) G 2 (s) G 1 (s) + G 2 (s) X(s) Y(s)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 8.DIAGRAMA DE BLOQUES. REDUCCIÓN O ALGEBRA DE BLOQUES  MOVIMIENTO DE UN PUNTO DE BIFURCACIÓN HACIA ADELANTE DIAGRAMA ORIGINALDIAGRAMA EQUIVALENTE  MOVIMIENTO DE UN PUNTO DE BIFURCACIÓN HACIA ATRÁS DIAGRAMA ORIGINALDIAGRAMA EQUIVALENTE G(s) X(s)Y(s) X(s) G(s) X(s)Y(s) 1 _ G(s) X(s) G(s) X(s)Y(s) G(s) X(s)Y(s) G(s) Y(s)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 8.DIAGRAMA DE BLOQUES. REDUCCIÓN O ALGEBRA DE BLOQUES  MOVIMIENTO DE UN PUNTO DE SUMA HACIA ADELANTE DIAGRAMA ORIGINALDIAGRAMA EQUIVALENTE  MOVIMIENTO DE UN PUNTO DE SUMA HACIA ATRÁS DIAGRAMA ORIGINALDIAGRAMA EQUIVALENTE G(s) X(s)Y(s) Z(s) +  G(s) X(s) Y(s) G(s) +  Z(s) G(s) X(s) Y(s) Z(s) +  G(s) X(s)Y(s) Z(s) +  1 _ G(s)

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 8.DIAGRAMA DE BLOQUES. REDUCCIÓN O ALGEBRA DE BLOQUES  BLUQLE DE REALIMENTACIÓN DIAGRAMA ORIGINALDIAGRAMA EQUIVALENTE G(s) _ 1+G(s)H(s) X(s) Y(s) + - G(s) X(s)Y(s) H(s) E(s) B(s) Función de Transferencia en Lazo Cerrado Función de Transferencia en Lazo Abierto Función de Transferencia en Camino Directo

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 9.DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL. DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL: CONCEPTO  EL DIAGRAMA DE BLOQUES ES ÚTIL PARA LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS DE CONTROL DINÁMICO Y SE UTILIZA EXTENSAMENTE EN EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL.  OTRO PROCEDIMIENTO ALTERNATIVO PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE SISTEMAS DE CONTROL DINÁMICOS, ES EL MÉTODO DE LOS DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑAL, ATRIBUIDO A S.J. MASON.  UN DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL ES UN DIAGRAMA QUE REPRESENTA UN CONJUNTO DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES SIMULTÁNEAS.  Como sabemos, los sistemas lineales e invariantes en el tiempo vienen descritos por ecuaciones diferenciales que nos permiten relacionar la entrada ( o entradas ) del sistema con la salida ( o salidas ) del mismo.  Para poder aplicar el método del diagrama de flujo de señal al análisis de sistemas de control, primero hay que transformar las ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas en “s”.  Solo de este modo se podrá representar el sistema de control dinámico en cuestión mediante el diagrama de flujo de señal.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 9.DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL. DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL: CONCEPTO  DESCRIPCIÓN  El diagrama de flujo de señal consiste en una red en la cual los nodos están conectado por ramas con dirección y sentido.  Cada nodo representa una variable del sistema y cada rama conectada entre dos nodos, actúa como un multiplicador de señal.  La señal fluye solamente en un sentido. El sentido del flujo de señal se indica por una flecha ubicada en la rama y el factor de multiplicación aparece a lo largo de la rama.  El gráfico de flujo de señal despliega el flujo de señales de un punto de un sistema a otro y da las relaciones entre las señales. x1x1 x2x2 x3x3 x5x5 x4x4 a b c d 1

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 9.DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL. DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL: DEFINICIONES  NODO Un nodo es un punto que representa una variable o señal.  TRANSMITANCIA Es la ganancia entre dos nodos ( o función de transferencia entre dos nodos ).  RAMA Una rama es un segmento de línea con dirección y sentido, que une dos nodos. La ganancia de una rama es una transmitancia.  NODO DE ENTRADA O FUENTE Un nodo de entrada o fuente es un nodo que sólo tiene ramas que salen. Esto corresponde a una variable independiente.  NODO DE SALIDA O SUMIDERO Un nodo de salida o sumidero es un nodo que sólo tiene ramas de entrada. Esto corresponde a una variable dependiente.  NODO MIXTO Nodo mixto es un nodo que tiene tanto ramas que llegan, como ramas que salen.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 9.DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL. DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL: DEFINICIONES  CAMINO O TRAYECTO Es un recorrido de ramas conectadas en el sentido de las flechas de las ramas. Si no se cruza ningún nodo más de una vez, el camino o trayecto es abierto. Si el camino o trayecto finaliza en el mismo nodo del cual partió, y no cruza ningún otro más de una vez, es un camino o trayecto cerrado.  LAZO Un lazo es un camino o trayecto cerrado.  GANANCIA DE LAZO La ganancia de lazo es el producto de las ganancias de ramas de un lazo.  LAZOS DISJUNTOS Son disjuntos los lazos que no tienen ningún nodo común.  TRAYECTO O CAMINO DIRECTO Es el camino o trayecto de un nodo de entrada a un nodo de salida, sin cruzar ningún nodo más de una vez.  GANANCIA DE TRAYECTO DIRECTO Es el producto de las ganancias de rama de un camino o trayecto directo.

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 9.DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL. ALGEBRA DEL DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 9.DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL. DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL DE SISTEMAS LINEALES  EJEMPLO

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 9.DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL. DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL DE SISTEMAS DE CONTROL

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACIÓN AUTOMÁTICA 9.DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL. FÓRMULA DE GANANCIA DE MASON  EN MUCHOS CASOS PRÁCTICOS SE DESEA DETERMINAR LA RELACIÓN ENTRE UNA VARIABLE DE ENTRADA Y UNA VARIABLE DE SALIDA EN EL GRÁFICO DE FLUJO DE SEÑAL. LA GANANCIA ENTRE UN NODO DE ENTRADA Y UN NODO DE SALIDA ES LA GANANCIA TOTAL O FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA, ENTRE ESOS DOS NODOS.  LA FÓRMULA DE GANANCIA DE MASON, APLICABLE A LA GANANCIA TOTAL, ES: es la Ganancia del k-ésimo Camino Directo. es el Determinante del Diagrama. = 1- (suma de todas las ganancias de lazos individuales)+(suma de los productos de las ganancias de todas las posibles combinaciones de dos lazos que no se tocan)-(suma de los productos de ganancias de todas las posibles combinaciones de tres lazos que no se tocan)+... es el Cofactor del k-ésimo Camino Directo. Se obtiene a partir de  eliminando los Lazos que tocan el camino P k.

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