Álgebra. Estructuras Algebraicas Matemáticas para Computación Dr. Felipe Orihuela-Espina.

Álgebra. Estructuras Algebraicas Matemáticas para Computación Dr. Felipe Orihuela-Espina

Contenidos  Estructuras algebraicas (3h)  Definiciones previas  Breve repaso de relaciones y funciones  (estrictamente no es parte del temario)  Operaciones y sus propiedades  Estructuras algebraicas  Álgebra, Anillo, Lattice, etc © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina2

Lecturas recomendadas  Hamilton, A.G. A first course in linear algebra.  Burris, S y Sankappanavar, H. P. “A course in Universal Algebra”  Es un poco avanzado para lo que veremos aquí  Disponible gratis en: http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ- algebra2012.pdf  Judson, T. W. (2013) “Abstract algebra”  Disponible gratis en: http://abstract.ups.edu/download/aata-20130816.pdf  Estructuras algebraicas:  Rédei, L. (1967) “Algebra. Volume 1” Pergamon Press  ¡EXCELENTE LIBRO!  Goldstein, L. J. (1973) “Abstract algebra; a first course”. Prentice Hall  Allenby, R.B.J.T. (1991) “Rings, fields and groups: an introduction to abstract algebra” Ed. Eduard Arnold  http://en.wikipedia.org/wiki/Outline_of_algebraic_structures http://en.wikipedia.org/wiki/Outline_of_algebraic_structures  Un curso sólo sobre estructruas algebraicas de la Univ. De Plymouth State  http://ma4140.wikidot.com/ © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina3

Otros recursos  Listado de estructuras algebraicas, sus definciones, propiedades, etc  http://math.chapman.edu/~jipsen/structures/d oku.php http://math.chapman.edu/~jipsen/structures/d oku.php  ¡Incluye más de 300 estructuras algebraicas!..y eso que no es exhaustivo.  ☞ No te asustes; aquí no veremos tantas © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina4

Matemáticas como lenguaje  La matemática es un lenguaje. Tiene:  Sustantivos (Alfabeto): conjuntos, variedades, número, estructura, variable, etc  Verbos (Reglas de relación): (Co-)Relacionar, Sumar, Convolucionar, Ordenar, Operaciones, etc  Adjetivos: Continuo, derivable, abierto, cerrado, monótono, par, impar, etc.  Adverbios (Cuantificadores): Para todo, algún (existe), parcialmente (ordenado), etc © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina6

Matemáticas como lenguaje  Pero es un lenguaje formal* dependiente del contexto** y sin ambiguedades***.  [Ganesalingam M (1998) The language of mathematics, Springer] © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina7 * Un lenguaje formal es aquel generado por una gramática formal (conjunto de reglas de formación que define que es admisible). ** Es dependiente del contexto por que las operaciones dependen de la estructura algebraica sobre la que se ejecuten; a veces lo veréis como Sintaxis dependiente del tipo. e.g [http://people.ds.cam.ac.uk/mg262/CSLI%20talk.pdf] *** Una vez se declara el contexto, la ambigüedad desaparece, cosa que no ocurre necesariamente en los lenguajes naturales. En este sentido, a veces observarás un abuso de notación e.g. el mismo símbolo usado para cosas diferentes; esto estrictamente es debido a una “mala formalización” (o estrictamente mala codificación), pero no confundas abuso de notación con ambigüedad. Ambigüedad es cuando incluso con una buena codificación/formalización, y conocido el contexto, todavía pudiésemos obtener dos significados a partir de una única expresión.

Matemáticas como lenguaje  Además tiene la particularidad de ser no convencional debido a que presenta ciertas características a menudo restringidas a los lenguajes naturales:  (i) sintaxis libre (puedes expresar lo mismo de muchas formas),  (ii) adaptabilidad (la sintaxis no es fija, sino que crece cuando se necesita),  (iii) sufre de la inadecuación de la precedencia (no hay una autoridad central que determine el orden de “aprendizaje”*). © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina8 * Esto puede dar lugar en ocasiones a definiciones aparentemente cíclicas; pero con el debido esfuerzo se puede “desfacer el entuerto.

Matemáticas como lenguaje  Al ser un lenguaje formal, TODO* lo que queramos expresar debe ser “formalizado”  … i.e. acomodado a, o generado por, las reglas de generación** (incluso si es necesario variando estas***) © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina9 * La definición de tipos fundamentales (los que no se forman a partir de otros) sólo puede lograrse ex-nihilo (de la nada). En matemáticas, sólo se consideran dos tipos fundamentales; el conjunto y la introducción de categorías [Ganesalingam M (1998), pg 144] ** O sea, expresado a partir de la gramática. Notesé que eso no implica que no puedas utilizar palabras naturales para dar la definición (en vez de símbolos matemáticos) siempre que antes hayas definido (formalizado) estas. *** Haciendo uso de la adaptabilidad [Ganesalingam M (1998)], no a ciegas o a boleo.

Matemáticas como lenguaje  ☞ Desafortunadamente, no tenemos el tiempo de formalizar todo lo que se requiere en esta materia, por lo que me permitiré ciertas licencias   Por ejemplo:  (i) no voy a definir algunos conceptos “básicos”, e.g. los números*  (ii) daré algunas definiciones naturales -no formales- e.g. aritmética, algebra, etc  (iii) me permitiré ciertas imprecisiones en algunas definiciones (“for the sake of sanity”),  (iv) a veces abusaré cierta notación,  (v) no presentaré la gramática formal** que da lugar a las matemáticas, etc,  Cuando esto ocurra intentaré avisar y explicar donde está la licencia, pero si algo no te cuadra, o quieres la formalización más estricta, ¡PREGUNTA! © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina10 * En particular, el tipo NÚMERO (como todo lo demás) se puede formalizar; si tienes curiosidad puedes ver como se construye la definición formal en [Ganesalingam M (1998), pg 144] ** De nuevo, si tienes interés puedes consultar [Ganesalingam M (1998)]. Y recuerda, no hay una gramática única (adaptabilidad).

Aritmética  “Rama de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con ellos” [Real Academia de la Lengua]  “Rama de la matemática que estudia cálculos numéricos” [Collins English Dictionary]  La rama de matemáticas más antigua y elemental que involucra el estudio de la cantidad, especialmente como resultado de las operaciones de combinar números [Wikipedia:Arithmetic]  “Rama de la matemática que trata con […] la computación numérica” [Wolfram World of Maths] © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina11

Álgebra  “Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos.” [Real Academia de la Lengua]  “Rama de las matemáticas en las que las operaciones y relaciones aritméticas se generalizan mediante el uso de símbolos alfabéticos que representan números desconocidos o miembros específicos de conjuntos de números” [Collins English dictionary]  “Computación, similar a la aritmética, pero con objetos matemáticos no numéricos” [Wikipedia:Algebra]  “El estudio abstracto de sistemas numéricos y sus operaciones internas” [Wolfram World of Maths] © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina15

Conjunto  Conjunto: Colección finita o infinita de objetos en el que el orden, no tiene importancia.  A cualquier elemento a que se encuentra en el conjunto A, se dice que pertenece a A y se denota a  A  Al número de elementos del conjunto se le llama cardinalidad y se denota como #A (más común) o |A| (ambiguo) © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina16 * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/] A B C

Subconjunto  Subconjunto: Una porción (B) de un conjunto (A) donde cada elemento de B pertenece a A, y se denota B ⊂A.  En el caso particular que B pueda ser igual* a A, se denota B⊆A © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina17 * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/] A B * Aún no hemos visto las relaciones de orden; las veremos un poco más adelante. Pero por ahora, baste decir que igual en este caso, significa que tienen los mismos elementos.

 Conjunto potencia (sobre X): El conjunto de todos los subconjuntos de X © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina18 Conjunto potencia * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/]

Producto cartesiano  El producto cartesiano de A y B es el conjunto A×B cuyos elementos son los pares ordenados* (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B, o formalmente: © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina21 * Aún no hemos visto las relaciones de orden; las veremos un poco más adelante. Pero por ahora, baste decir que ordenado en este caso, significa que no es igual (a,b) que (b,a).

Pre-requisitos  Es conveniente que “recuerdes” el tema sobre relaciones y funciones  Relaciones  Propiedades de las relaciones  Clases de equivalencia  Conjuntos parcial y totalmente ordenados  Funciones  Tipos de funciones © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina25

Relaciones  Una relación (n-aria) R es un subconjunto del producto cartesiano de n conjuntos A 1 x…xA n.  R ⊆ A 1 x…xA n  A i son los dominios de la relación  n ≥0 es el grado de la relación  R consiste de un conjunto de n-tuplas ordenadas, tal que el i-ésimo elemento de la tupla proviene del conjunto A i.  R={(a 11,a 21,a 31 ),…} © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina26

Relaciones  En particular, una relación binaria (n=2) R de un conjunto A a otro conjunto B es un subconjunto del producto cartesiano AxB (R ⊆ AxB) tal que si los elementos a ∊ A y b ∊ B están relacionados entonces (a,b) ∊ R  A es el conjunto dominio o inicio  B es el conjunto codominio o destino  Si los “dos” conjuntos son el mismo, i.e. A=B, entonces se dice que R es una relación binaria sobre A. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina28

Función (matemática)  Función matemática: Relación que asocia miembros (subconjunto) de un conjunto origen A con miembros de otro conjunto destino B con las siguientes condiciones:  En ambos conjuntos puede haber miembros no asociados pero, para aquellos miembros de A para los que existe una relación, esa es una relación única.  Del mismo miembro origen a ∊ A no pueden salir más de una relación.  Miembros del conjunto destino b ∊ B sin embargo, si pueden recibir varias relaciones.  Al subconjunto del conjunto destino que incluye a aquellos elementos que son imagen de algún elemento del conjunto origen se le llama rango, y se cumple que:  rango ⊆ codominio © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina29 AB * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros e.g. [CameronPJ (2006) Notes on Algebraic Structures],, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/]

Operación  Operación: Función de una potencia del conjunto [al conjunto*]** f: AxAx…xA  Aof:A n  A f: AxAx…xA  Yof:A n  Y  A los elementos del conjunto dominio se les llama operandos.  n es el grado de la función o aridad (ej. función n-aria).  Si n es finito se dice que es una operación finita.  Si n es infinito se dice que es una operación infinita.  El operador es el símbolo que se usa para denotar la operación. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina30 ** Las definiciones formales las podéis encontrar en libros e.g. [CameronPJ (2006) Notes on Algebraic Structures], o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/] * A menudo, en muchos libros verás únicamente la definición cerrada (la operación se define “al conjunto”), pero también están las operaciones abiertas (aquellas que no mapean al conjunto).

Operación  ☞ ¡Ojo! La definición anterior es MUY confusa.  Al indicar que se parte de una potencia del conjunto léase A n =AxAxA… parecería que todos los dominios deben ser iguales (operaciones internas).  Este definitivamente no es el caso; podemos tener una operación que combine dominios diferentes* (operaciones externas); AxB  C  Es posible que la única diferencia que quede entre ambos términos sea el uso contextual:  http://wiki.answers.com/Q/What_is_the_difference_of_function_and_operati on http://wiki.answers.com/Q/What_is_the_difference_of_function_and_operati on  Como regla general; puedes intercambiar los términos función y operación.  En álgebra abstracta, es más común hablar de operación. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina31 * No obstante esto es en la práctica casi irrelevante; En muchos casos, bastaría con redefinir D=AxB y ahora lo que es una función sobre AxB  C, ahora sería una operación D  C.

 Estructura sobre un conjunto: Conjunto de funciones (reglas y restricciones) que dan significado a una colección de objetos  El significado depende del tipo de estructura, pero básicamente es equivalente a decir que las operaciones obedecen ciertas reglas, propiedades o axiomas.  Algunos tipos de estructuras: medidas, topologías, algebraicas, órdenes, geometrías, etc… © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina32 Estructura Ejemplo de estructura algebraica (un lattice conceptual). Figura reproducida de [WangL2010, InformationSciences 24(15): 4865–4876] * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/]

Mapeo  Mapeo: Relación que preserva las estructuras  …a menudo se usa (incorrectamente) como sinónimo de función © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina33 * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/] Figura reproducida de [Roweis 2000, Science, 290:2323-2326]

Morfismo  Morfismo: Mapeo entre dos estructuras matemáticas (e.g. grupo, manifold, espacio, etc) en una categoría  NOTA: Aún no hemos definido categoría.  ¿Cuál es la diferencia entre mapeo y morfismo? ¿Qué significa “preservar la estructura”? © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina34

© 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina35 Resumen Conjunto (Colección) Conjunto (Colección) Función Estructura Relación es-un Definido sobre… Conjuntos Relaciones Relación Subconjunto Conjunto Potencia Conjunto Potencia Producto Cartesiano Mapeo Operación Morfismo

Operación interna  Si para todos los valores de la operación, el resultado pertenece al conjunto origen A entonces se dice que es una operación interna o composición.  Se dice entonces que el operador es cerrado y que la operación cumple con la clausura.  Formalmente; Sea A un conjunto y O una operación. O es interna en A ⇔ ∀x,y∈A: xOy∈A  Ejemplos de signaturas:  A x A → A  Ejemplo:  La suma es una operación interna en los naturales:  : ∀ x,y ∈ℕ : x+y ∈ℕ © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina38 * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/]

Operación externa  Si una operación no es interna, entonces se dice que es una operación externa.  Ejemplo de las signaturas:  A x B → A o análogamente B x A → A  A x A → B  A x B → C  Ejemplo:  La diferencia es una operación externa en los naturales:  : ∀ x,y ∈ℕ : x-y ∈ℤ  …basta con que el minuendo sea menor que el sustraendo. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina39 * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/]

Operación binaria  Una operación de aridad n=2 es una operación binaria.  Sin pérdida de generalidad: AxA →C  ☞ Como veremos, las operaciones unarias y binarias tienen un interés especial en el estudio de las estructuras algebraicas clásicas. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina41

Operaciones algebraicas básicas  Se definen las siguientes operaciones aritmético- algebraicas básicas sobre números:  Adición o Suma: Agregación de cantidades  El símbolo más comúnmente utilizado es +.  Multiplicación o Producto: Escalado  Los símbolos más comúnmente utilizado son , x, o simplemente se omite.  Estrictamente, las operaciones son la adición y la multiplicación; la suma y el producto son el resultado de dichas operaciones.  ☞ No obstante, los términos se usan de forma indistinta.  Adición: sumando + sumando = suma  Multiplicación: multiplicando x multiplicador = producto © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina42

Operaciones algebraicas básicas  Algunas consideraciones:  La adición y la multiplicación no son operaciones únicas  La formalización precisa de estas operaciones depende del conjunto numérico sobre las que se definan; ej. naturales, enteros, racionales, etc  Por ejemplo; además del producto Cartesiano (el “clasico” que ya conoces) en cálculo vectorial tienes incluso varios tipos de producto (por un escalar, punto o escalar, vectorial o cruz), y en álgebra tienes el producto de anillos, el de espacios topológicos, el producto de Cauchy (sobre secuencias), etc  La multiplicación NO es la repetición de la adición.  Aunque en el caso de los naturales, enteros y reales la multiplicación coincide con la repetición de la adición (e.g 2x3 = 2+2+2), esto NO se puede generalizar (e.g. caso de los racionales, 1/2 x 1/3 = ???). © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina43

Operaciones algebraicas básicas  Algunas consideraciones:  La inversa no es una operación, sino una propiedad de las operaciones. Lo veremos en un instante.  La substracción/resta (-) o diferencia, y la división (  o /) o cociente no son operaciones básicas ya que pueden expresarse como la inversa de la adición y la multiplicación respectivamente.  De forma análoga, las operaciones son la substracción y la división, siendo la diferencia y el cociente el resultado de dicha operación.  Substracción: minuendo - substraendo = diferencia  División: dividendo o numerador  divisor o denominador = cociente © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina44

Operaciones algebraicas básicas  Algunas consideraciones:  La adición y la multiplicación no son las únicas operaciones que se pueden aplicar sobre números.  Ejemplo: Exponenciación ( ☞ que, como ya puedes suponer NO es lo mismo que la repetición de la multiplicación), Módulo, Logaritmo, etc.  Observa la analogía entre las operaciones básicas en conjuntos, las aritméticas y las lógicas:  Unión : Adición : OR  Intersección : Multiplicación : AND  Complemento : Inversa : NOT  ☞ Veremos las operaciones básicas en conjuntos cuando lleguemos a la unidad de Probabilidad. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina45

Propiedades de una operación binaria  Asociatividad:  Ejemplo:  La suma de naturales es una operación asociativa: (a+b)+c = a+(b+c) ∀ a,b,c ∈ℕ  El producto de naturales es una operación asociativa: (a*b)*c = a*(b*c) ∀ a,b,c ∈ℕ © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina48

Propiedades de una operación binaria  Asociatividad:  Ejemplo:  La diferencia de naturales NO es una operación asociativa: (a-b)-c  a-(b-c) (7-4)-1  7-(4-1) (7-4)-1 = 2 7-(4-1) = 4 © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina49

Propiedades de una operación binaria  Asociatividad:  Ejemplo:  La división de naturales NO es una operación asociativa: (a/b)/c  a/(b/c) (4/2)/2  4/(2/2) (4/2)/2 = 1 4/(2/2) = 4 © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina50

Propiedades de una operación binaria  Ejercicio: ¿Es la exponenciación de los naturales una operación asociativa?  Solución: La pregunta es si se cumple que:  Es fácil encontrar un contraejemplo;  …y por ende, la exponenciación de los naturales NO es una operación asociativa © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina51 Ejercicio : Elaboración propia

Propiedades de una operación binaria  Identidad:  Una operación binaria * sobre un conjunto A tiene la propiedad de identidad si: ∃ e ∈ A : ∀ a ∈ A : e*a=a  Al elemento e se le conoce como elemento identidad o elemento neutro. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina52

Propiedades de una operación binaria  Identidad:  Ejemplo: © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina53 ConjuntoOperaciónElemento neutro Números Naturales ( ℕ ) SumaNo tiene Números Completos ( ℕ  {0}) Suma0 Números Reales ( ℝ ) Suma0 Números Reales ( ℝ ) Producto1 Booleanos {0,1} AND1 Conjuntos Unión ∅ - Conjunto vacío

Propiedades de una operación binaria  Inversa:  Una operación binaria * sobre un conjunto A tiene inversa si: ∀ a ∈ A : ∃ a -1 ∈ A : a -1 *a=e (Inversa por la izquierda) ∀ a ∈ A : ∃ a -1 ∈ A : a*a -1 =e (Inversa por la derecha)  Donde e es el elemento neutro.  ☞ Efectivamente, si una operación tiene inversa, tiene que tener elemento neutro (y por ende cumple la identidad); pero no necesariamente al revés. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina54

Propiedades de una operación binaria  Inversa:  La inversión puede estar definida:  Sólo por un lado; inversa por la derecha o inversa por la izquierda  Se dice que la operación es invertible por la derecha o invertible por la izquierda  Por ambos lados: Simplemente inversa  ☞ La inversa es la generalización de los conceptos de:  negación con respecto a la suma, o  recíproco con respecto al producto. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina55

Propiedades de una operación binaria  Inversa:  Ejemplo:  La adición de números completos { ℕ  {0}} no tiene inversa;  a+?=0  …aunque la adición de los números completos tiene elemento neutro 0 (0+a=a).  Por eso la operación de substracción (la inversa de la adición) en los completos es una operación externa.  La adición de enteros Z tiene inversa;  a+(-a)=0 © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina56

Propiedades de una operación binaria  Inversa:  Ejemplo:  La multiplicación de naturales ℕ no tiene inversa;  a*?=1  …aunque la multiplicación de los naturales tiene elemento neutro 1 (1*a=a).  La multiplicación de enteros Z no tiene inversa;  a*?=1  …aunque la multiplicación de los enteros tiene elemento neutro 1 (1*a=a).  La multiplicación de reales ℝ tiene inversa;  a*(a -1 )=a*1/a=1 © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina57

Propiedades de una operación binaria  Conmutatividad :  Ejemplo:  La adición de naturales ℕ es conmutativa;  a+b = b+a  La substracción naturales ℕ no es conmutativa;  a-b  b-a © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina59

Propiedades de una operación binaria  Conmutatividad :  Ejemplo:  La multiplicación de reales ℝ es conmutativa;  a*b=b*a  La división de reales ℝ no es conmutativa;  a/b  b/a © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina60

Propiedades de una operación binaria  Ejercicio: Rellene los elementos a 12, a 13 y a 32 para que la operación * sea conmutativa sobre el conjunto B={b 1,b 2,b 3 }: © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina61 * 2do Operando b1b1 b2b2 b3b3 1er operando b1b1 b2b2 a 12 a 13 b2b2 b3b3 b2b2 b1b1 b3b3 b1b1 a 32 b3b3 Ejercicio obtenido de: [http://my.safaribooksonline.com/book/math/9789332503441/chapter-5-algebraic-structures/ch5_sub5_2_xhtml]

Propiedades de una operación binaria  Ejercicio (Cont.):  Solución:  Acorde a la tabla, en la celda a 21 tenemos que b 2 *b 1 =b 3  y por tanto, para que * sea conmutativa; necesitamos que en la celda a 12 ocurra que b 1 *b 2 =b 3 =b 2 *b 1  En otras palabras: a 12 toma el valor b 3  Podemos actuar de forma similar para las otras casillas faltantes:  a 13 toma el valor b 1 porque b 1 *b 3 =b 1 =b 3 *b 1  a 32 toma el valor b 1 porque b 3 *b 2 =b 1 =b 2 *b 3  Observa que la diagonal principal “no importa”. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina62

Propiedades de una operación binaria  Ejercicio (Cont.):  Solución:  Por tanto:  Observa que para que se cumpla la conmutativa los elementos de la tabla son simétricos con respecto a la diagonal principal. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina63 * 2do Operando b1b1 b2b2 b3b3 1er operando b1b1 b2b2 b3b3 b1b1 b2b2 b3b3 b2b2 b1b1 b3b3 b1b1 b1b1 b3b3

Propiedades de una operación binaria  Distributiva:  Dos operaciones binarias * y ○ sobre un conjunto A son distributivas si cumple una de las siguientes (o las dos):  ∀ a,b,c ∈ A : a*(b ○ c)=a*b ○ a*c  * es distributiva sobre ○  ∀ a,b,c ∈ A : a○(b * c)=a○b * a○c  ○ es distributiva sobre * © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina64

Propiedades de una operación binaria  Idempotencia:  Una operación binaria * sobre un conjunto A es idempotente si: ∀ a ∈ A : a*a=a  De forma inductiva: a=a 1 =a 2 =…=a n © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina65 Aunque la idempotencia es relevante para algunas estructuras algebraicas (e.g. semilátices) pero no la vamos a ver en más detalle.

Propiedades de una operación binaria  Absorción:  Dos operaciones binarias * y ○ sobre un conjunto A son absorbitivas(?) si cumple una de las siguientes (o las dos):  ∀ a,b ∈ A : a*(a ○ b)= a○(a * b)= a © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina66 Aunque la absorción es relevante para algunas estructuras algebraicas pero no la vamos a ver en más detalle.

Propiedades de una operación binaria  ☞ En general, las propiedades de una operación dependen tanto de la “operación” misma, entendiendo como tal la regla de asociación (relación), como del conjunto/s sobre los que se aplica. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina67

Estructura algebraica  Estructura algebraica o sistema algebraico:  Colección arbitraria de conjuntos con cero o más operaciones finitas definidas sobre el/los. [Definición propia]  Léase un conjunto sin más también es una estructura  ☞ Ya que estrictamente el sistema algebraico como veremos a continuación es el conjunto de las operaciones, a veces a las estructuras sin operaciones se las conoce como degeneradas. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina69

¿Para que sirve?  El estudio de las estructuras algebraicas permite el estudio de las simetrías (léase grupos) desde un punto de vista matemático. Por ende su campo de aplicación es enorme [Allenby 1991, Prologo, pg xxv]:  Física y Química  Cristalografía, espectroscopía, relatividad, vibraciones moleculares, física de estado sólido, teoría de partículas, etc…  Computación  Bueno…te suena el álgebra de Boole? © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina70

Estructura algebraica   NOTA: No todas las estructuras algebraicas son interesantes; sólo aquellas que ocurren en la naturaleza [Goldstein LJ (1973) Abstract Algebra; A First Course].  A menudo encontraréis afirmaciones del tipo “las estructuras algebraicas con una operación binaria son las más interesantes”  …pero rara vez veréis una justificación de por qué es así, y casi nunca un ejemplo directo de cómo una determinada estructura “replica” algún fenómeno natural.  …a lo sumo encontrareis ejemplos del tipo; “los enteros o los racionales son un grupo”, pero eso no explica la relación de las estructuras algebraicas con la naturaleza  En este curso nos centraremos en las estructuras clásicas cuyas operaciones son binarias, y que sólo tienen 1 o 2 operaciones definidas a lo sumo.  …esto es, excluyendo el elemento identidad y la operación unaria inversa.  NOTA: En algunos textos, estos elementos identidad e inversa se consideran propiedades de la operación definida, en lugar de operaciones independientes de ahí que se indique que la estructura sólo tiene 1 o 2 operaciones. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina71

Estructura algebraica  El estudio de las estructuras algebraicas comprende 3 ramas del álgebra:  Álgebra abstracta (o moderna)  Álgebra universal  Teoría de categorías © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina72

Álgebra abstracta  a.k.a. álgebra moderna  “Subconjunto de tópicos avanzados del álgebra que estudia las estructuras algebraicas abstractas” [Wolfram World of Maths]  “Sub-area [del álgebra] que estudia las estructuras algebraicas específicas” [Wikipedia:Abstract_algebra] © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina73

Álgebra universal  Rama del álgebra que estudia las propiedades de las estructuras algebraicas [de forma abstracta] [Wikipedia: Universal_algebra]  Aquella que estudia las propiedades comunes a todas las estructuras algebraicas. [Wolfram World of Maths] © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina74

Teoría de categorías  Formalismo para estudiar y comparar estructuras algebraicas. [Definición propia]  Permite estudiar la relación (transformaciones) entre dos o más clases de estructuras algebraicas  Los conceptos matemáticos se formalizan mediante colecciones de objetos (o sea conjuntos) y morfismos (o sea mapeos que preservan la estructura). © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina75

Estructura algebraica  Estructura algebraica o sistema algebraico:  Formalmente, una estructura algebraica es una tupla: A’=  donde:  A i representa un conjunto y  Al conjunto A 1, …, A i con la estructura (sistema algebraico o conjunto de operaciones) añadida se le llama espacio.  O j representa una operación (normalmente composiciones) sobre los conjunto/s (o espacio) {A 1,…, A i }  La tupla de operaciones es una tupla ordenada  ☞ Estrictamente, el sistema algebraico es la tupla de las operaciones. Observa que esto NO es una ambigüedad, ya que al definir formalmente las operaciones, estas se definen sobre los conjuntos, y por ende sería suficiente indicar la tupla de operaciones. La indicación explícita de los conjuntos es sólo conveniente.  ☞ Esta notación es común pero es ambigua, ya que no permite indicar :  Los axiomas exigidos a cada operación  Sobre que conjuntos específicamente actúa cada operación © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina76

Estructura algebraica  Ejemplo:  Un monoide es una estructura M’= donde ⋅ representa el producto y e el elemento identidad  ☞ Veremos los monoides en algo de más detalle en un momento.  La colección de matrices de tamaño nxn con las operaciones de adición, multiplicación y traspuesta también conforman una estructura algebraica: M’= © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina77

Estructura algebraica   NOTA: El álgebra abstracta define las estructuras a partir de unos axiomas [o propiedades que deben cumplir los conjuntos y las operaciones definidas sobre ellos], y a partir de aquí deduce propiedades generales de esas estructuras [GoldsteinLJ (1973) Abstract Algebra; A First Course].  Estas consecuencias (y no tanto la definición per se) son el corazón y la razón de ser del álgebra abstracta.  Desafortunadamente, por limitaciones de tiempo en este curso, nos quedaremos en ver sólo algunas de estas definiciones. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina78

Estructura algebraica  Una estructura definida sobre una colección de conjuntos, es cerrada con respecto a una determinada operación si dicha operación siempre produce como resultado otro elemento de su colección de conjuntos.  La estructura es simple si se construye sobre un único conjunto, o compuesta si se define sobre más de uno. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina79

Estructura algebraica  Las estructuras algebraicas se clasifican según las propiedades que cumplen las operaciones sobre el conjunto dado. [Redei, 1967, pg. 35]  La estructura es aditiva o multiplicativa si tiene una (única) operación de tipo suma o producto respectivamente.  Normalmente, las estructuras clásicas con dos operaciones se definen con una operación aditiva y otra multiplicativa con la excepción de los látices.  La estructura es conmutativa o asociativa si todas las operaciones definidas en la estructura son conmutativa o asociativas respectivamente. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina80

Estructuras algebraicas Número de conjuntos Operaciones Binarias* Sin operaciones definidas 1 operación binaria2 operaciones binariasAl menos 2 operaciones binarias 1 Simples Conjunto Sistema unario (1 op. unaria) Magmas o Grupoides Semigrupo Monoide Grupo Grupo Abeliano Semilátice Anillos Semianillo Subanillo Anillo Anillo abeliano Cuerpo Campo Aritméticas De Robinson (formalmente una variedad) De Peano Látice o Red Látice completo Látice acotados Látices modulares Álgebra Booleana 2 Semimódulos (sobre anillos) Módulos (sobre anillos) Espacios vectoriales Espacios cuadráticos Álgebras Álgebras asociativas Coálgebras Cuasi-grupos Biálgebras © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina81 Tabla: [Elaboración propia] *Observa que a veces se requieren además otras operaciones no binarias (ej: unarias como la inversa), que “no se cuentan aqui”. Esta lista de estructuras algebraicas no es exhaustiva; por ejemplo no se incluyen, algebras de Kleene, *- algebras, álgebra de Heyting, grupoides, bucles, categorias, semicategorias, y un largo etc…

Conjunto (como estructura algebraica)  Un conjunto (como estructura algebraica) es una estructura A’= sin operaciones definidas sobre el conjunto (de objetos) A.  …y ya!  ☞ Observa que podría considerarse que esto es un abuso de la definición, ya que el sistema algebraico es el conjunto de las operaciones que en este caso es el conjunto vacío. Recuerda, a las estructuras sin operaciones a veces se las conoce como degeneradas. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina82

Espacio (como estructura algebraica)  Un espacio (como estructura algebraica) es una estructura A’= sin importar la estructura impuesta.  Estrictamente, el espacio es el conjunto A’= sobre el que se impone la estructura o sistema algebraico.  ☞ Recuerda, el sistema algebraico podría estar vacío, en cuyo caso el espacio sería una estructura degenerada. Además en ese caso espacio  set. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina83

Grupoide  Un magma o grupoide es una estructura G’= con una operación binaria cerrada sobre el conjunto (de objetos) A.  No es necesario que la operación cumpla con ninguna propiedad, otra que la clausura.  No es necesario que la operación sea la suma, o el producto o alguna otra en específico. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina84

Estructuras multiplicativas  Informales:  Un semigrupo es un conjunto no vacío sobre el que se define un producto o multiplicación asociativa  Si la operación definida en lugar del producto es una división, entonces se llama cuasigrupo; aunque no se le exige la asociatividad. No lo veremos en detalle.  Un monoide es un conjunto no vacío sobre el que se define un producto o multiplicación asociativa con un elemento neutro  Si la operación definida en lugar del producto es una división, entonces se llama bucle (loop); aunque no se le exige la asociatividad pero si la identidad. No lo veremos en detalle.  Un grupo es un conjunto no vacío sobre el que se define un producto o multiplicación asociativa con un elemento neutro e invertible  Un grupo Abeliano es un conjunto no vacío sobre el que se define un producto o multiplicación asociativa, con un elemento neutro, invertible y conmutativa.  NOTA: A veces, el nombre de grupo Abeliano también se usa para denotar a su equivalente aditivo; el módulo © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina85

Semigrupo  Un semigrupo es una estructura G’= definida sobre un conjunto G no vacío con:  una operación binaria interna ⋅ que representa al producto, tal que:  …y donde se satisfacen los siguientes axiomas:  Asociatividad: (g ⋅ h) ⋅ k=g ⋅ (h ⋅ k)  ☞ Observa que la notación es desafortunada, ya que:  no es posible distinguir la signatura del semigrupo de la de un grupoide, y  la notación tampoco incorpora nada que permita determinar la “necesidad” de que se cumpla la asociatividad. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina86 El axioma de la clausura ya viene incorporado de forma implícita en la definición del producto que hemos dado, por lo que no es necesario indicarla explícitamente

Monoide  Un monoide es una estructura G’= definida sobre un conjunto no vacío G con:  una operación binaria interna ⋅ que representa al producto, tal que:  una operación constante (aridad 0) e que representa al elemento identidad o neutral  …y donde la operación satisface los siguientes axiomas:  Asociatividad: (g ⋅ h) ⋅ k=g ⋅ (h ⋅ k)  Elemento identidad o neutral (por la izquierda): ∃ e ∈ G : ∀ g ∈ G : e ⋅ g=g  ☞ Es decir un semigrupo que además cumple con la identidad del producto. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina87

Grupo  Un grupo es una estructura G’= definida sobre un conjunto no vacío G con:  una operación binaria interna ⋅ que representa al producto, tal que:  una operación unaria -1 que representa a la inversa con respecto al producto, y  una operación constante (aridad 0) e que representa al elemento identidad o neutral con respecto al producto  …y donde la operación satisface los siguientes axiomas:  Asociatividad: (g ⋅ h) ⋅ k=g ⋅ (h ⋅ k)  Elemento identidad o neutral (por la izquierda): ∃ e ∈ G : ∀ g ∈ G : e ⋅ g=g  Elemento inverso (por la izquierda): ∀ g ∈ G : ∃ g -1 ∈ G : g -1 ⋅ g=e  ☞ Es decir un monoide que además cumple con la inversa del producto. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina88

Grupo   NOTA: A veces en la literatura, se omiten de la signatura del grupo los elementos -1 y e; ya que estos son definidos sobre la operación binaria, quedando la signatura como G’= pero esto supone un conflicto con la notación de estructuras más generales e.g. semigrupo. Por tanto, intentaré evitar esa notación compacta. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina89

Estructuras multiplicativas AsociatividadIdentidadInversaConmutativa Magma  Semigrupo / Cuasigrupo /   Monoide / Loop /   Grupo  Grupo Abeliano Monoide conmutativo  © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina92 Tabla: Modificada de: [http://en.wikipedia.org/wiki/Category_%28mathematics%29]

Estructuras aditivas  Informales:  Un semigrupo [aditivo] es un conjunto no vacío sobre el que se define una suma asociativa.  ☞ Análogo al semi-grupo.  Un monoide [aditivo] es un conjunto no vacío sobre el que se define una suma asociativa con un elemento neutro.  ☞ Análogo al monoide.  Un grupo [aditivo] es un conjunto no vacío sobre el que se define una suma asociativa con un elemento neutro e invertible.  ☞ Análogo al grupo.  Un grupo Abeliano [aditivo] es un conjunto no vacío sobre el que se define una suma asociativa con un elemento neutro, invertible, y conmutativa  ☞ Análogo al grupo Abeliano © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina93

Semigrupo [aditivo]  Un semigrupo [aditivo] es una estructura G’= definida sobre un conjunto G no vacío con:  una operación binaria interna ⋅ que representa a la suma, tal que:  …y donde se satisfacen los siguientes axiomas:  Asociatividad: (g ⋅ h) ⋅ k=g ⋅ (h ⋅ k) © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina94

Monoide [aditivo]  Un monoide [aditivo] es una estructura G’= definida sobre un conjunto no vacío G con:  una operación binaria interna ⋅ que representa a la suma, tal que:  una operación constante (aridad 0) e que representa al elemento identidad o neutral de la suma.  …y donde la operación satisface los siguientes axiomas:  Asociatividad: (g ⋅ h) ⋅ k=g ⋅ (h ⋅ k)  Elemento identidad o neutral (por la izquierda): ∃ e ∈ G : ∀ g ∈ G : e ⋅ g=g © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina95

Grupo [Aditivo]  Un grupo [aditivo] es una estructura G’= definida sobre un conjunto no vacío G con:  una operación binaria interna ⋅ que representa a la suma, tal que:  una operación unaria -1 que representa a la inversa con respecto a la suma, y  una operación constante (aridad 0) e que representa al elemento identidad o neutral con respecto a la suma  …y donde la operación satisface los siguientes axiomas:  Asociatividad: (g ⋅ h) ⋅ k=g ⋅ (h ⋅ k)  Elemento identidad o neutral (por la izquierda): ∃ e ∈ G : ∀ g ∈ G : e ⋅ g=g  Elemento inverso (por la izquierda): ∀ g ∈ G : ∃ g -1 ∈ G : g -1 ⋅ g=e  ☞ Es decir un monoide [aditivo] que además cumple con la inversa del producto. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina96

Grupo Abeliano [Aditivo]  Un grupo abeliano [aditivo] es un grupo [aditivo] G’= que además cumple el axioma de la conmutatividad:  Conmutatividad: g ⋅ h=h ⋅ g ∀ g,h ∈ G © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina97

Estructuras aditivas   NOTA: Por supuesto existen otras estructuras algebraicas aditivas (o con la diferencia) sobre un sólo conjunto, pero no las veremos aquí.  A menudo, los cursos de álgebra abstracta, saltan de las estructuras multiplicativas sobre un conjunto (e.g. del tipo grupos), a las estructuras con dos operaciones binarias sobre un conjunto; adición y producto (e.g. del tipo anillos). Para ello, suelen definir las estructuras con una operación i.e. semi-grupo, monoide, grupo y grupo Abeliano de forma genérica (válida para producto o suma). © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina98

Estructuras con dos operaciones binarias  Informales:  En general, las estructuras de tipo anillo tienen definidas 2 operaciones binarias; suma y producto, sobre un único conjunto.  Observa que ahora entra en juego una nueva propiedad de las operaciones; la distributiva.  Un semianillo es un conjunto no vacío sobre el que se definen una suma y un producto asociativos  ☞ O sea, un semi-grupo [aditivo] con un producto asociativo. Recuerda que el orden de las operaciones es importante, por lo que estrictamente no es semi-grupo [multiplicativo] con una suma asociativa. Aunque en la práctica, es irrelevante.  Un subanillo (o casi-anillo) es un conjunto no vacío sobre el que se definen:  una suma asociativa con un elemento neutro e inversa,  y un producto asociativo  ☞ O sea, un grupo [aditivo] con un producto asociativo.  Un anillo es un conjunto no vacío sobre el que se definen:  una suma asociativa con un elemento neutro e inversa, y conmutativa  y un producto asociativo  ☞ O sea, un grupo Abeliano [aditivo] con un producto asociativo.  Un anillo conmutativo o Abeliano es un anillo cuyo producto es conmutativo  ☞ No lo veremos en más detalle.  Un cuerpo es un anillo conmutativo de división  ☞ No lo veremos en más detalle.  Un campo es un conjunto no vacío sobre el que se definen:  una suma asociativa con un elemento neutro e identidad, y conmutativa  y un producto asociativo con un elemento neutro e identidad, y conmutativa © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina99

Semianillo  Un semianillo es una estructura G’= definida sobre un conjunto no vacío G donde:  G’= es un semigrupo [aditivo], y  G’= es un semigrupo  Y además se cumple  Distributiva: g ⋅ (h+k)=g ⋅ h+g ⋅ k  ☞ A veces verás que se define de forma que G’= es un monoide [aditivo]. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina100

Subanillo o Casi-anillo  Un subanillo es una estructura G’= definida sobre un conjunto no vacío G donde:  G’= es un grupo [aditivo], y  G’= es un semigrupo  Y además se cumple  Distributiva: g ⋅ (h+k)=g ⋅ h+g ⋅ k © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina101

Anillo  Un anillo es una estructura G’= definida sobre un conjunto no vacío G donde:  G’= es un grupo Abeliano [aditivo], y  G’= es un semigrupo  Y además se cumple  Distributiva: g ⋅ (h+k)=g ⋅ h+g ⋅ k © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina102

Campo  Un campo es una estructura G’= definida sobre un conjunto no vacío G donde:  G’= es un grupo Abeliano [aditivo], y  G’= es un grupo Abeliano  Y además se cumple  Distributiva: g ⋅ (h+k)=g ⋅ h+g ⋅ k © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina103

Estructuras tipo anillo SumaProducto Combi nadas Asociatividad Identidad Inversa Conmutativa Asociatividad Identidad Inversa Conmutativa Distributiva Semianillo   Subanillo   Anillo  Anillo conmutativo (Anillo Abeliano)  Anillo con identidad  Anillo con división o Campo asimétrico  Campo © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina104 Tabla: Elaboración propia inspirada en [Allenby, 1991, pg 85]

Látice  Recordemos:  ☞ NOTA: La definición de conjunto parcialmente ordenado ya se supone que se conoce (ver recordatorio de funciones y relaciones).  Un conjunto parcialmente ordenado o poset es un conjunto S sobre el que se ha definido una relación de orden (reflexiva, antisimétrica, y transitiva) parcial; (S, ⊑ )  ☞ Observa que si es un conjunto con una relación impuesta entonces es una estructura; efectivamente, podemos definir al poset como la estructura (S, ⊑ ) definida sobre S con la operación ⊑. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina106

Látice  Sea un conjunto parcialmente ordenado (P, ⊑ ).  Se denomina el supremo del conjunto sup(P) a la mínima cota superior de P, léase ∃ y ∈ P : ∀ x ∈ P ⇒ x ⊑ y  Se denomina el ínfimo del conjunto inf(P) a la máxima cota inferior de P ∃ y ∈ P : ∀ x ∈ P ⇒ y ⊑ x  Observa que tanto el ínfimo como el supremo pueden ser infinitos: -∞, ∞ © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina107 * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/]

Látice  Un semilátice o semiretículo superior es una estructura L’= definida sobre un conjunto no vacío parcialmente ordenado ( ⊑ ) L donde:  una operación binaria interna ⋁ que representa a la mínima cota superior o supremo (join en inglés)  LxL→L : sup(a ⋁ b) ↦ max(sup(a),sup(b))  Y además se cumple que:  ⋁ es asociativa  ⋁ es conmutativa  ⋁ es idempotente © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina108

Látice  Un semilátice o semiretículo inferior es una estructura L’= definida sobre un conjunto no vacío parcialmente ordenado ( ⊑ ) L donde:  una operación binaria interna ⋀ que representa a la máxima cota inferior o ínfimo (meet en inglés)  LxL→L : inf(a ⋀ b) ↦ min(inf(a),inf(b))  Y además se cumple que:  ⋀ es asociativa  ⋀ es conmutativa  ⋀ es idempotente © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina109

Látice  Un látice, red, o retículo es una estructura L’= definida sobre un conjunto no vacío parcialmente ordenado ( ⊑ ) L donde:  una operación binaria interna ⋁ que representa a la mínima cota superior o supremo (join en inglés)  LxL→L : sup(a ⋁ b) ↦ max(sup(a),sup(b))  una operación binaria interna ⋀ que representa a la máxima cota inferior o ínfimo (meet en inglés), tal que:  LxL→L : inf(a ⋀ b) ↦ min(inf(a),inf(b))  Y además se cumple que:  ⋁ y ⋀ son asociativas  ⋁ y ⋀ son conmutativas  ⋁ y ⋀ son absorbitivas  ⋁ y ⋀ son idempotentes  La idempotencia, no es estrictamente necesaria definirla explícitamente, se deriva de las anteriores © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina110

Otras estructuras  Informales:  Un espacio topológico es un conjunto con una topología  ☞ No lo veremos ahora por que lo vamos a ver un poco más adelante en la parte de topología.  Un espacio vectorial (sobre un campo) es un conjunto no vacío de vectores sobre el que se definen:  una suma con un elemento neutro e identidad, y conmutativa  y un producto escalar asociativo  ☞ Aunque veremos ahora rápidamente la definición formal, luego volveremos en la parte de cálculo vectorial.  Un álgebra (sobre un campo) es un espacio vectorial con un producto interno sobre el conjunto de vectores © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina111

Espacio vectorial  Un espacio vectorial (sobre un campo) es una estructura V’= definida sobre un conjunto no vacío V tal que:  + es la operación binaria interna que representa a la suma, tal que:  - denota la operación unaria cerrada inversa en la suma  0 denota la operación unaria cerrada elemento neutro en la suma  V’= es un grupo Abeliano, y  f a es un producto escalar definida sobre un campo F  Y además se cumple  El producto escalar es asociativo: (a ⋅ b) ⋅ x = a ⋅ (b ⋅ x)  Observa que esta notación es ambigua, ya que usa el mismo símbolo para denotar al producto escalar f a y al producto (asociativo) definido internamente sobre el campo F  Observa que el escalar suele ser un real ℝ, pero no necesariamente; podría ser un complejo, un racional o en general cualquier campo  Distributiva sobre la suma vectorial: a ⋅ (x+y)=a ⋅ x+a ⋅ y  Distributiva sobre la suma escalar: x ⋅ (a+b)=x ⋅ a+x ⋅ b © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina112

Álgebra  Un álgebra (sobre un campo) es una estructura A’= definida sobre un conjunto no vacío A tal que:  x es la operación binaria interna que representa al producto vectorial, tal que:  + es la operación binaria interna que representa a la suma, tal que:  - denota la operación unaria cerrada inversa en la suma  0 denota la operación unaria cerrada elemento neutro en la suma  A’= es un grupo Abeliano, y  f a es un producto escalar definida sobre un campo F  Y además se cumple  El producto escalar es asociativo: (a ⋅ b) ⋅ x = a ⋅ (b ⋅ x)  Observa que esta notación es ambigua, ya que usa el mismo símbolo para denotar al producto escalar f a y al producto (asociativo) definido internamente sobre el campo F  Observa que el escalar suele ser un real ℝ, pero no necesariamente; podría ser un complejo, un racional o en general cualquier campo  Distributiva del producto vectorial sobre la suma: x x(y + z)=xxy + xxz  Distributiva de la suma sobre el producto vectorial: x+(y x z)=x+y x x+z  Distributiva sobre la suma vectorial: a ⋅ (x+y)=a ⋅ x+a ⋅ y  Distributiva sobre la suma escalar: x ⋅ (a+b)=x ⋅ a+x ⋅ b © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina113

Propiedades de una operación binaria  Ejercicio: Sea un conjunto S= ℝ \{-1}, es decir el conjunto de los reales sin el -1. Definamos una operación * sobre S tal que:  ∀a,b∈S : a*b=a+b+ab (donde ‘+’ representa la suma de reales “clásica”) Demostrar que S’= es un grupo Abeliano.  Pista: Hay que demostrar dos cosas:  (1) que S es un grupo bajo * y  (2) que * es conmutativa  No importa el orden en que se demuestren  NOTA: Este ejercicio es de una complejidad media, y es del tipo que podría caer en el examen. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina115 Ejercicio obtenido de: [http://people.hsc.edu/faculty-staff/blins/OldMaterials/fall10/math431/]. Enlace válido a 29-Oct-2015.

Propiedades de una operación binaria  Ejercicio (Cont.):  Solución:  Demostrar que es un grupo requiere demostrar que:  (a) * es cerrada sobre S  (b) * es asociativa  (c) * tiene un elemento identidad  (d) * tiene un elemento inversa © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina116 Ejercicio obtenido de: [http://people.hsc.edu/faculty-staff/blins/OldMaterials/fall10/math431/]. Enlace válido a 29-Oct-2015.

Propiedades de una operación binaria  Ejercicio (Cont.):  Solución:  (a) * es cerrada sobre S:  La clave está en el elemento -1 que se ha eliminado de S.  Tenemos que demostrar que a*b nunca es igual a -1  Supongamos que a*b=-1; entonces:  a*b=a+b+ab=-1 ⇒ a+b+ab+1 =0  Sacando a como factor común: a(1+b) + b+1 = 0  Sacando (b+1) como factor común: (b+1)(a+1)=0  Esta fórmula anterior SÓLO puede ser verdadera si; a=-1 o b=-1  Pero como a y b al pertenecer a S no pueden ser -1, entonces tampoco lo puede ser a*b  Y por ende, a*b es cerrada sobre S © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina117 Ejercicio obtenido de: [http://people.hsc.edu/faculty-staff/blins/OldMaterials/fall10/math431/]. Enlace válido a 29-Oct-2015.

Propiedades de una operación binaria  Ejercicio (Cont.):  Solución:  (b) * es asociativa:  Esto significa que ∀a,b,c∈S : (a*b)*c = a*(b*c)  Por la definición de la operación, sea: (a*b)*c = (a+b+ab)*c = (a+b+ab) + c + (a+b+ab)c = = a + b + ab + c + ac + bc + abc  Sacamos factor común de los términos que usan a como factor: a + b + c + bc + a(b+c+bc) = a + (b + c + bc) + a(b+c+bc) = a*(b+c+bc)=a*(b*c) © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina118 Ejercicio obtenido de: [http://people.hsc.edu/faculty-staff/blins/OldMaterials/fall10/math431/]. Enlace válido a 29-Oct-2015.

Propiedades de una operación binaria  Ejercicio (Cont.):  Solución:  (c) * tiene un elemento identidad:  Observa que: a*0=a+0+a0 = a+0+0 = a  El elemento identidad es 0. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina119 Ejercicio obtenido de: [http://people.hsc.edu/faculty-staff/blins/OldMaterials/fall10/math431/]. Enlace válido a 29-Oct-2015.

Propiedades de una operación binaria  Ejercicio (Cont.):  Solución:  (d) * tiene un elemento inversa:  El elemento inversa es aquel que a -1 *a=0.  Ya que previamente hemos demostrado que el elemento identidad es 0.  a -1 *a=0 ⇒ a -1 *a = a -1 + a + a -1 a =0 ⇒ a -1 (1+a) + a =0  ⇒ a -1 = -a/(1+a)  Definamos por tanto b= a -1 = -a/(1+a) como nuestro elemento inversa, entonces:  (d.1) b debe pertenecer a S; o sea b no puede ser -1  Si b=-1 entonces: -1= -a/(1+a) ⇒ a = a+1  …lo que no se puede cumplir  …y por tanto b≠1  (d.2) b*a=0  b*a= (-a/(1+a)) + a + (-a/(1+a))a = = (-a/(1+a)) + [a(1+a)/(1+a)] + (-a 2 /(1+a)) = (-a/(1+a)) + [a/(1+a) + (a 2 )/(1+a)] + (-a 2 /(1+a)) = 0 © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina120 Ejercicio obtenido de: [http://people.hsc.edu/faculty-staff/blins/OldMaterials/fall10/math431/]. Enlace válido a 29-Oct-2015.

Propiedades de una operación binaria  Ejercicio (Cont.):  Solución:  Finalmente, queda demostrar que * es conmutativa:  a*c=a+c+ac = c+a+ca = c*a  c.q.d. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina121 Ejercicio obtenido de: [http://people.hsc.edu/faculty-staff/blins/OldMaterials/fall10/math431/]. Enlace válido a 29-Oct-2015.

Álgebra. Estructuras Algebraicas Matemáticas para Computación Dr. Felipe Orihuela-Espina.

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