Introducción. Unidad 1. Resolución de Ecuaciones. Métodos que utilizan intervalos.

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1 Introducción. Unidad 1. Resolución de Ecuaciones. Métodos que utilizan intervalos.

2 ¿Qué es una ecuación? Variante matemática 1

3 ¿Qué es una ecuación? Variante matemática 2

4 Interpretación de los argumentos de la componente funcional de una ecuación argumentos

5 Interpretación de los argumentos de la componente funcional de una ecuación Ejemplo: péndulo simple Parámetros estructurales g: aceleracion de la gravedad M: masa l: longitud Parámetros dinámicos θ : desviación respecto a la vertical

6 Interpretación de la función en la componente funcional de una ecuación Una función puede interpretarse como una magnitud asociada a un estado del objeto o sistema. La magnitud puede o no estar asociada a todas las variables de estado. Por lo mismo, las variables de estado pueden incluir solamente parte o todas las variables estructurales, parte o todas las variables dinámicas o una mezcla de ambas. Esto último es lo más frecuente. función

7 Interpretación de una función en la componente funcional de una ecuación Ejemplo: péndulo simple Parámetros estructurales g: aceleracion de la gravedad M: masa l: longitud Parámetros dinámicos θ : desviación respecto a la vertical

8 Evaluacion de la componente funcional de una ecuación En general, la evaluación de la componente funcional de es equivalente a la especificación de un algoritmo. Hay ocasiones en que el algoritmo consiste en la evaluación “directa” de una fórmula, porque lo que habitualmente llamamos “fórmula” es una secuencia de operaciones matemáticas para obtener el valor. O sea, un algoritmo.

9 Interpretación de una función en la componente funcional de una ecuación Ejemplo: péndulo simple Parámetros estructurales g: aceleracion de la gravedad M: masa l: longitud Parámetros dinámicos θ : desviación respecto a la vertical ¿Puede describir el algoritmo asociado a la evaluación de la energía potencial?

10 Dependencia de la energía potencial con la desviación de la vertical

11 Problema: ¿Para qué ángulo la energía potencial es la mitad de la máxima? ¡ ¡Esto es una ecuación!

12 Solución de la ecuación

13 Métodos numéricos de solución de ecuaciones que utilizan intervalos

14 Proceso de solución Se parte de dos valores iniciales x l y x u. Se supone que la raíz se encuentra entre estos dos valores.

15 Método de bisección (Bolzano)

16 Código SciLab del método de bisección (Bolzano) [parte 1] function [xr, iters]= Bolzano(f, xl, xu, eps, maxIter) // Aplica el método de Bolzano a la ecuación f(x)= 0 // // Calling Sequence // [xr, iters]= Bolzano(f, xl, xu, eps, maxIter) // // Parameters // f: parte funcional de la ecuación // xl: punto inferior // xu: punto superior // eps: precisión // maxIter: número máximo de iteraciones // // Description // // Aplica el método de Bolzano para la solución de ecuaciones siguiendo // esencialmente el algoritmo del texto.

17 Código SciLab del método de bisección (Bolzano) [parte 2] iters= 0; while (abs(xl - xu) > eps) & (iters < maxIter) iters= iters + 1; xr= (xu + xl)/2; signo= f(xu)*f(xl); if signo < 0 then xu= xr; elseif signo > 0 then xl= xr; else break; end endfunction