Clase 5.4 Aplicaciones: Crecimiento y decrecimiento exponencial Unidad 5 Fundamentos para el Cálculo FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 1.

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1 Clase 5.4 Aplicaciones: Crecimiento y decrecimiento exponencial Unidad 5 Fundamentos para el Cálculo FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 1

2 Reflexión FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 2 Cuando hacemos una tarea por primera vez, ¿qué tan rápida es la adaptación al cambio? CURVA DE APRENDIZAJE Una curva de aprendizaje describe el grado de éxito obtenido durante el aprendizaje en el transcurso del tiempo. t

3 Crecimiento y decrecimiento Exponencial Donde: t: Tiempo. k: Tasa o razón de crecimiento exponencial. Si k es positivo, el crecimiento es exponencial. Si k es negativo, el decrecimiento es exponencial. Q o : es la cantidad presente en t = 0 (valor inicial). Q(t): es la cantidad presente en el tiempo t, FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 3 El crecimiento poblacional, la propagación de una epidemia y los rumores crecen aproximadamente como lo hacen las funciones exponenciales.

4 Decrecimiento Exponencial Crecimiento Exponencial t Q k > 0 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 4 Q0Q0 t Q0Q0 Q k < 0

5 Ejemplo 1. Ver problema 1 desarrollado en el texto a.¿Cuál fue el ingreso de la compañía al inicio de la crisis mundial? b. ¿Cuál fue el ingreso de la compañía 2 años después de la crisis? c. ¿Cuánto tiempo transcurrió desde que empezó la crisis para que el ingreso de la compañía se redujera a la cuarta parte? FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 5

6 Ejemplo 2. a.¿Cuál es el valor de A? b.¿Cuánto cuesta la máquina luego de 10 años? c.¿Al cabo de cuánto tiempo el valor de la máquina se reduce a la tercera parte de su costo original? d.Grafique la función V. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 6

7 La función definida por: donde A, B y k son constantes positivas, L mide el rendimiento en el tiempo t y A representa el máximo rendimiento esperado. Curva de Aprendizaje Para t > 0, con frecuencia describe la relación entre la eficiencia de un individuo al realizar una tarea y la cantidad de tiempo de entrenamiento. 2015 – 1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 3

8 Gráfica de la Curva de Aprendizaje Máximo rendimiento esperado. Observación “A largo plazo”, un individuo se aproxima a su máximo rendimiento “A”, y el tiempo de entrenamiento adicional sólo resultará en una mejora marginal. 2015 – 1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 4

9 a. Determine el valor de B. ¿Cuál fue el ingreso al final del tercer año? b. Esboce el gráfico de I(t). ¿Qué sucede con el ingreso en el largo plazo? Los ingresos por las ventas de cierto artículo son aproximados por I(t) = 20 – Be -0,25t, donde t representa el número de años que ha estado a la venta en el mercado y la función I representa los ingresos en cientos de dólares. Si inicialmente los ingresos fueron de 1 200 dólares, Ejemplo 3. Ver problema 6 desarrollado en el texto 2015 – 1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 5

10 a.¿Cuál es el valor de B? b.Si luego de 15 días que la película está en cartelera han asistido en total 50 millones de personas, ¿cuántas personas asistieron a ver la película después de 1 mes? (Asuma un mes de 30 días) Ejemplo 4. 2015 – 1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 8 Se estima que la cantidad de personas que ha visto la película The social network se modela

11 a. ¿Cuál de las funciones modela la demanda y cuál la oferta? Justifique. b. ¿Cuál es el gasto de la empresa en el equilibrio? c.Grafique las funciones de oferta y demanda de polos en el mismo plano. Otro tipo de problemas que utiliza funciones exponenciales 2015 – 1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 5 Ejemplo 5. Una empresa se dedica a la producción y venta de polos. Se sabe que la demanda y oferta de polos en el mercado se modelan con las siguientes funciones: y, aunque no necesariamente en ese orden, donde q se expresa en unidades y p en dólares por unidad.

12 d. Si se fija en el mercado un precio por polo de 40 dólares, ¿cuál es el gasto que efectivamente realiza el consumidor a ese precio? ¿Y cuál es el gasto que está dispuesto a efectuar? (Redondee sus resultados a números enteros) e. Si se fija en el mercado un precio por polo de 80 dólares, ¿cuál es el ingreso que percibe el ofertante? ¿Y cuál es el ingreso que desearía percibir? (Redondee sus resultados a números enteros) 2015 – 1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 5 Ejemplo 5.