TEMA 5 PROBABILID AD. INDICE: 1. Experimentos aleatorios 2. Sucesos. Tipos de sucesos 2.1. Sucesos elementales 2.2. Suceso seguro 2.3. Suceso imposible.

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1 TEMA 5 PROBABILID AD

2 INDICE: 1. Experimentos aleatorios 2. Sucesos. Tipos de sucesos 2.1. Sucesos elementales 2.2. Suceso seguro 2.3. Suceso imposible 3. Álgebra de sucesos 3.1. Unión de sucesos. Sucesos compatibles. 3.2. Intersección de sucesos 3.3. Diferencia de sucesos 3.4. Leyes de Morgan 4. Definición axiomátrica de probabilidad 5. Regla de La Place 6. Probabilidad condicionada 6.1. Sucesos dependientes o independientes 7. Teorema de la probabilidad total. 8. Teorema de Bayes.

3 1. Experimentos aleatorios. Cuando lanzamos un dado no sabemos qué número va a salir; sin embargo, si lanzamos una piedra al aire estamos seguros de que caerá al suelo. Es decir, en algunos experimentos podemos saber lo que va a ocurrir y en otros no. 1. A los experimentos en los cuales no sabemos lo que va a ocurrir se les llama experimentos aleatorios. 2. A los otros, aquellos en los que sí podemos decir lo que va a ocurrir, se les llama experimentos deterministas. Un experimento es aleatorio si hay más de un resultado posible y no podemos decir con anterioridad lo que va a suceder. En este caso se dice que el resultado depende del azar. EJEMPLOS: Todos los juegos de azar son experimentos aleatorios. Como ejemplos podemos poner: Lanzar una moneda al aire podrá salir cara o cruz. Sacar una bola de una urna que contiene bolas de distinto color, si no vemos su interior, Obtener una carta de una baraja, etc...

4 Espacio muestral: Al conjunto de todos los resultados que pueden obtenerse al realizar un experimento aleatorio se le llama espacio muestral y lo representaremos por E. EJEMPLOS: Consideremos los experimentos aleatorios siguientes: Lanzar una moneda. Se puede obtener cara (que representaremos por C) o cruz (que representamos por X). El espacio muestral es E = { C, X } Lanzar un dado de quinielas. Se puede obtener 1, X, 2. El espacio muestral es E = {1, X, 2} Lanzar un dado. Se puede obtener uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 y el espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Obtener una carta de una baraja. Se puede obtener as, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, sota, caballo o rey, de cada uno de los cuatro palos oros, copas, espadas y bastos. Es decir el espacio muestral estaría formado por 40 elementos que se corresponden con las cuarenta cartas de la baraja. Girar la flecha de la rueda como la de la imagen. Se puede obtener 1, 2, 3 y 4. El espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4} Si lanzamos dos monedas el espacio muestral estaría formado por los posibles resultados de cara (C) o cruz (X) de cada una de las dos monedas y sería E = {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}, es decir por cuatro elementos

5 2. Sucesos. En estadística, un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Formalmente, sea Ω un espacio muestral, entonces un evento es un subconjunto A:=\{w_1,w_2,...\}\subseteq\Omega, donde (w_1, w_2,...) son una serie de posibles resultados. Se dice que un evento A ocurre, si el resultado del experimento aleatorio es un elemento de A. Tipos de sucesos. - Suceso elemental: es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5. - Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. - Suceso imposible, Conjunto vacio, es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

6 3. Álgebra de sucesos. Un fenómeno o experiencia se dice que es un repetirlo en condiciones idénticas es imposible predecir su resultado. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral y lo denotaremos mediante Ω. Cada uno de los elementos del espacio muestral se llama punto muestral o suceso elemental. Se denomina suceso a todo conjunto de Ω. diremos que el suceso A ⊆ Ω se verica o se realiza si al realizar el experimento se obtiene como resultado uno de los puntos muestrales de A. El conjunto de todos los sucesos asociados a un experimento se llama espacio de sucesos, que denotaremos mediante S. El suceso ∅ se llama suceso imposible y el suceso Ω se llama suceso seguro.

7 Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común. Intersección de sucesos: Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A∩B al suceso que se verifica cuando ambos se verifican. Diferencia de sucesos: Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A − B al suceso que se verifica cuando se verifica A y no se verifica B. Leyes de Morgan: Las leyes de De Morgan declaran que la suma de n variables globalmente negadas (o invertidas) es igual al producto de las n variables negadas individualmente y que inversamente, el producto de n variables globalmente negadas es igual a la suma de las n variables negadas individualmente.

8 4. Definición de axomática de sucesos. Para hacer una definición rigurosa de la probabilidad, necesitamos precisar ciertas leyes o axiomas que deba cumplir una función de probabilidad. Intuitivamente estos axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cuestiones, que nos parecen lógicas en términos de lo que se puede esperar de una función de probabilidad: * La probabilidad sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1(no puede haber sucesos cuya probabilidad de ocurrir sea del 200% ni del -5%; * La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir, el 100%; * La probabilidad del suceso imposible debe ser 0. * La probabilidad de la intersección de dos sucesos debe ser menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado, es decir,

9 La probabilidad de la unión de sucesos debe ser mayor que la de cada uno de los sucesos por separado: Más aún, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) debe ocurrir que La probabilidad del suceso contrario de A, debe valer. Esto en realidad puede deducirse del siguiente razonamiento:

10 5. Regla de La Place. Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es: EJEMPLOS: Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras. Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}. Casos favorables: 1. En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas). Casos posibles: 40. Casos favorables de ases: 4. Casos favorables de copas: 10.

11 6. Probabilidad condiciona Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de los demás. El proceso de realizar la historia clínica, explorar y realizar pruebas complementarias ilustra este principio. La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define Esta definición es consistente, es decir cumple los axiomas de probabilidad. Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia la probabilidad. A veces es más fácil calcular la probabilidad condicionada teniendo en cuenta este cambio de espacio muestral.

12 EJEMPLO: Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo hijo tenga la enfermedad? Según las leyes de Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la misma probabilidad. El espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY} el suceso A={hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definición clásica de probabilidad p(A) = 1/4 = 0,25 La mujer tiene el hijo y es varón ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad? Se define el suceso B = {ser varón} = {xY, XY} la probabilidad pedida es p(A|B) y aplicando la definición anterior p(B) = 0,5; A Ç B = {xY}; p(A ÇB) = 0,25; p(A|B) = 0,25/0,5 = 0,5 Si sabemos que es varón, el espacio muestral ha cambiado, ahora es B. Por lo tanto se puede calcular p(A|B) aplicando la definición clásica de probabilidad al nuevo espacio muestral p(A|B) = 1/2 = 0,5

13 Sucesos independientes: Dos sucesos son independientes si y sólo si p(A Ç B) = p(A) p(B). Si dos sucesos son independientes y del mismo modo p(B|A) = p(B). Esta propiedad coincide más con la idea intuitiva de independencia y algunos textos la dan como definición. Hay que notar, sin embargo, que ambas definiciones no son estrictamente equivalentes. Sucesos dependientes: Los sucesos dependientes son aquellos sucesos que no cumplen la condición de los sucesos independientes.

14 EJEMPLO: Para un hijo de una mujer portadora de Duchenne, el sexo y la enfermedad ¿son independientes? Según vimos en el Ejemplo anterior el espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY} Definimos los sucesos A = {varón} = {xY, XY}; B = {enfermo} = {xY} A Ç B = {xY} por lo tanto p(A) = 0,5; p(B) = 0,25; p(A Ç B) = 0,25 ¹ p(A) p(B) NO son independientes.

15 7. Teorema de la probabilidad total. Si A 1, A 2,..., A n son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E). Y B es otro suceso. Resulta que: p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) +... + p(An) · p(B/An ) Ejemplo: Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

16 EJEMPLO: Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

17 8. Teorema de Bayes. Si A 1, A 2,..., An son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E). Y B es otro suceso. Resulta que: Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori. Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori. Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.

18 EJEMPLOS: El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

19 En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma.