Relatividad del Movimiento Las velocidades son relativas Cuando medimos una velocidad tomamos como referencia una "posición fija" de algún cuerpo para.

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2 Relatividad del Movimiento Las velocidades son relativas Cuando medimos una velocidad tomamos como referencia una "posición fija" de algún cuerpo para realizar las medidas. Dicho de otra forma, tomamos como referencia algún cuerpo que se considere en reposo y medimos las velocidades de los demás relativas a él o referidas a él. En nuestro caso solemos tomar la Tierra (o algo ligado a ella) como referencia, para lo cual suponemos que está en reposo. Así decimos que la velocidad es medida relativa a la Tierra o tomando la Tierra como referencia. Debido al caracter relativo de la velocidad, un objeto puede aparentar tener un movimiento para un observador y otro movimiento diferente para otro observador, dependiendo de cómo se muevan los observadores uno con respecto a otro. Veamos un ejemplo sencillo. Supón que dos personas van en un autobús, una delante y otra detrás, por una carretera recta. Nosotros, que queremos medir la velocidad, nos situamos en la carretera, hacemos dos marcas separadas 50 m y observamos que el autobús tarda 5 s en recorrer esa distancia. Según nuestros cálculos, la persona que va sentada delante del autobús se mueve con una velocidad de 50 m / 5 s = 10 m/s, relativa a nosotros (o a la Tierra). El pasajero que va sentado detrás del autobús observa que durante ese tiempo, la persona de delante no se ha movido con respecto a él, es decir que mide una velocidad de 0 m / 5 s = 0 m/s, relativa a él (o al autobús). Entonces, ¿cuál es la velocidad correcta del pasajero? Simplemente, la velocidad correcta o verdadera de un cuerpo no existe. Ninguna de estas dos medidas de la velocidad es mejor que la otra. Ambas velocidades son correctas, cada una en su sistema de referencia.

3 Cinemática y Dinámica Cuando estudiamos el movimiento de un cuerpo, puede interesarnos solamente conocer cómo es o puede interesarnos saber por qué tiene las características que observamos en él. La Cinemática se ocupa de describir los movimientos y determinar cuáles son sus características mientras que la Dinámica estudia las relaciones que existen entre las fuerzas y las alteraciones que éstas provocan en el movimiento de los cuerpos. En estas páginas realizaremos un estudio cinemático de los movimientos rectilíneos, lo que requiere el uso de ecuaciones y gráficas y también de palabras o términos cuyo significado correcto es necesario que aprendas.

4 Escalares y Vectores Si nos dicen que un coche circula durante una hora a 60 km/h no podemos saber en qué lugar se encontrará al cabo de ese tiempo porque no sabemos la dirección en la que ha viajado. Hay muchas magnitudes físicas, como por ejemplo la velocidad, en las que hay que especificar una dirección para describirlas completamente. Por ejemplo, si sabemos que el coche anterior se movía hacia el Norte, ya no tenemos el problema de antes. Por supuesto hay también muchas magnitudes, como la masa, que no dependen de la dirección. Así, diciendo que la masa de un cuerpo es 24 kg describimos completamente esta magnitud.  Son escalares las magnitudes que se describen con un valor y una unidad.  Son vectoriales las magnitudes que se describen usando un valor, una unidad y una dirección. Las magnitudes vectoriales se representan a través de vectores, que tienen las siguientes características: (Haz clic con el botón derecho del ratón y elige la opción reproducir)

5 Trayectoria Hemos dicho en el apartado anterior que la trayectoria es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil. Parece razonable que podamos hacer una primera clasificación de los movimientos utilizando como criterio la forma de su trayectoria: Tipos de Movimientos:Tipos de trayectorias: de una dimensiónLíneas rectas de dos dimensionesLíneas curvas planas de tres dimensionesLíneas curvas no planas Movimientos rectilíneos Podemos decir que son los movimientos cuya trayectoria es una línea recta. En éstas páginas hacemos un estudio de este tipo de movimientos y analizamos cuáles son sus características. Una de las características que nos permiten describir un movimiento es la dirección de su velocidad, que puede cambiar o no. Para estudiar los cambios en la dirección de la velocidad utilizamos una magnitud llamada aceleración normal o centrípeta. Como en los movimientos rectilíneos no cambia la dirección, podemos decir que se trata de movimientos en los que la aceleración normal es cero.

6 Movimientos curvilíneos Ya has visto en la tabla anterior que podemos distinguir entre dos tipos de movimientos curvilíneos: los de dos dimensiones y los de tres dimensiones. Como algunas de las curvas son muy conocidas, solemos asociar el nombre de algunos movimientos con la forma de su trayectoria. Así, podemos citar: Movimientos circulares Movimientos elípticos Movimientos parabólicos

7 Distancia y Desplazamiento En el lenguaje ordinario los términos distancia y desplazamiento se utilizan como sinónimos, aunque en realidad tienen un significado diferente. La distancia recorrida por un móvil es la longitud de su trayectoria y se trata de una magnitud escalar. En cambio el desplazamiento efectuado es una magnitud vectorial. El vector que representa al desplazamiento tiene su orígen en la posición inicial, su extremo en la posición final y su módulo es la distancia en línea

8 Celeridad y Velocidad Celeridad y velocidad son dos magnitudes cinemáticas que suelen confundirse con frecuencia. Recuerda que la distancia recorrida y el desplazamiento efectuado por un móvil son dos magnitudes diferentes. Precisamente por eso, cuando las relacionamos con el tiempo, también obtenemos dos magnitudes diferentes. La celeridad es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo. La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición (o desplazamiento) con el tiempo. Unidades Tanto la celeridad como la velocidad se calculan dividiendo una longitud entre un tiempo, sus unidades también serán el cociente entre unidades de longitud y unidades de tiempo. Por ejemplo:  m/s  cm/año  km/h En el Sistema Internacional, la unidad para la celeridad es el m/s (metro por segundo).

9 Aceleración Los conceptos de velocidad y aceleración están relacionados, pero muchas veces se hace una interpretación incorrecta de esta relación. Muchas personas piensan que cuando un cuerpo se mueve con una gran velocidad, su aceleración también es grande; que si se mueve con velocidad pequeña es porque su aceleración es pequeña; y si su velocidad es cero, entonces su aceleración también debe valer cero. ¡Esto es un error! La aceleración relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo en el que se producen, es decir que mide cómo de rápidos son los cambios de velocidad:  Una aceleración grande significa que la velocidad cambia rápidamente.  Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente.  Una aceleración cero significa que la velocidad no cambia. La aceleración nos dice cómo cambia la velocidad y no cómo es la velocidad. Por lo tanto un móvil puede tener un velocidad grande y una aceleración pequeña (o cero) y viceversa. Como la velocidad es una magnitud que contempla la rapidez de un móvil y su dirección, los cambios que que se produzcan en la velocidad serán debidos a variaciones en la rapidez y/o en la dirección. La aceleración es una magnitud vectorial que relaciona los cambios en la velocidad con el tiempo que tardan en producirse. Un móvil está acelerando mientras su velocidad cambia. En Física solemos distinguir ambos tipos de cambios con dos clases de aceleración: tangencial y normal. La aceleración tangencial para relacionar la variación de la rapidez con el tiempo y la aceleración normal (o centrípeta) para relacionar los cambios de la dirección con el tiempo. Normalmente, cuando hablamos de aceleración nos referimos a la aceleración tangencial y olvidamos que un cuerpo también acelera al cambiar su dirección, aunque su rapidez permanezca constante. Como estas páginas están dedicadas al estudio de los movimientos rectilíneos, y en ellos no cambia la dirección, sólo vamos a referirnos a la aceleración tangencial. Pero recuerda: ¡si el movimiento es curvilíneo, no podemos olvidarnos de la aceleración normal!

10 Una característica de los cuerpos acelerados es que recorren diferentes distancias en intervalos regulares de tiempo: IntervaloCeleridad media Distancia recorrida Distancia total durante el intervalo durante el intervalo(desde t = 0) 0 s - 1 s5 m/s5 m5 m 1 s - 2 s 15 m/s 15 m 20 m 2 s - 3 s 25 m/s 25 m 45 m 3 s - 4 s 35 m/s 35 m 80 m Aceleración constante La tabla anterior muestra datos de un movimiento de caída libre, donde observamos que la rapidez cambia en 10 m/s cada segundo, es decir que tiene una aceleración de 10 m/s/s o 10 m/s². Como el cambio de la velocidad en cada intervalo es siempre el mismo (10 m/s/s), se trata de un movimiento de aceleración constante o uniformemente acelerado. Otra conclusión que podemos sacar de los datos anteriores es que la distancia total recorrida es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. Observa que al cabo de 2 s la distancia total recorrida es cuatro (2²) veces la recorrida en el primer segundo; a los 3 s la distancia recorrida es nueve (3²) veces mayor que la del primer segundo y a los 4 s es 16 veces (4²) esa distancia. Los cuerpos que se mueven con aceleración constante recorren distancias directamente proporcionales al cuadrado del tiempo. Aceleración media La aceleración (tangencial) media de un móvil se calcula utilizando la siguiente ecuación: Con ella calculamos el cambio medio de rapidez en el intervalo de tiempo deseado. Para conocer la aceleración instantánea se puede utilizar la misma aproximación que hicimos para el caso de la velocidad instantánea: tomar un intervalo muy pequeño y suponer que la aceleración media en él equivale a la aceleración instantánea.

11 Unidades Como puedes deducir de la ecuación anterior, la aceleración se expresa en unidades de velocidad dividida entre unidades de tiempo. Por ejemplo:  3 (m/s)/s  1 (km/h)/s  5 (cm/s)/min En el Sistema Internacional, la unidad de aceleración es 1 (m/s)/s, es decir 1 m/s². Dirección de la aceleración Como la aceleración es una magnitud vectorial, siempre tendrá asociada una dirección. La dirección del vector aceleración depende de dos cosas:  de que la rapidez esté aumentando o disminuyendo  de que el cuerpo se mueva en la dirección + o -. El acuerdo que hemos tomado es: Si un móvil está disminuyendo su rapidez (está frenando), entonces su aceleración va en el sentido contrario al movimiento. Si un móvil aumenta su rapidez, la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad. Este acuerdo puede aplicarse para determinar cuándo el signo de la aceleración es positivo o negativo, derecha o izquierda, arriba o abajo, etc.

12 Veamos algunos ejemplos:

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14 En resumen:  Si la velocidad y la aceleración van en el mismo sentido (ambas son positivas o ambas negativas) el móvil aumenta su rapidez.  Si la velocidad y la aceleración van en sentidos contrarios (tienen signos opuestos), el móvil disminuye su rapidez.

15 Ecuaciones Todos los cálculos relacionados con las magnitudes que describen los movimientos rectilíneos podemos hacerlos con estas dos ecuaciones: e = e o + v o ·t + ½·a·t² v f = v o + a·t e es el desplazamiento del móvile o es la posición inicial t es el intervalo de tiempo que estamos considerandoa es la aceleración v o es la velocidad inicial (al principio de nuestro intervalo de tiempo) v f es la velocidad final (al final de nuestro intervalo de tiempo) Estas ecuaciones se pueden adaptar según las características concretas del movimiento que estemos estudiando: Si el móvil parte del orígen de coordenadas Significa que la posición inicial e o del cuerpo es cero. En este caso la ecuación del desplazamiento podemos escribirla así: e = v o ·t + ½·a·t² Si el móvil parte del reposo Esto quiere decir que la velocidad inicial es cero. Al sustituir este valor en las ecuaciones anteriores, queda: e = ½·a·t² v f = a·t

16 Si el movimiento es uniforme Es el movimiento de velocidad constante, es decir el movimiento con aceleración cero. Al dar valor 0 a la aceleración, las ecuaciones del principio quedan así: e = v o ·t v f = v o Ya habrás notado que no se trata de ecuaciones diferentes sino de las mismas ecuaciones adaptadas a dos casos concretos, por tanto no es necesario que aprendas de memoria todas las ecuaciones: con las dos primeras y un análisis de la situación tienes suficiente. Cómo resolver los ejercicios Para resolver un ejercicio no basta con aplicar las ecuaciones. Es necesario seguir un método o estrategia que podemos resumir así:  Dibuja un diagrama con la situación propuesta.  Identifica las variables que conocemos y ponlas en una lista de datos.  Identifica las variables desconocidas y ponlas en la lista de incógnitas.  Identifica la ecuación con la que vas a obtener el resultado y comprueba si tienes todos los datos necesarios o debes calcular alguno con la otra ecuación.  Sustituye los valores en las ecuaciones y realiza los pasos y las operaciones que necesites para obtener el resultado.  Comprueba que tu resultado sea correcto matemáticamente y que sea razonable desde el punto de vista físico.

17 Ejemplo Imagina que el conductor de una moto que circula 25 m/s pisa el freno hasta detenerse cuando ve que el semáforo se pone en ámbar. Si los frenos producen una aceleración de -5 m/s², ¿cuál será el desplazamiento durante el proceso de frenado? Comenzamos haciendo un esquema informativo de la situación física, que aparece un poco más abajo. El segundo paso consiste en identificar los datos que nos proporcionan. Observa que la velocidad final v f es cero porque nos dicen que la moto se detiene. La velocidad inicial v o de la moto es +25 m/s porque esa es la velocidad al inicio del movimiento que estamos estudiando (el movimiento de frenado). La aceleración a es -5 m/s². Presta mucha atención a los signos + y - que tienen las magnitudes. El siguiente paso es saber qué queremos calcular. En nuestro caso, tenemos que determinar el desplazamiento e de la moto mientras frena. A continuación tienes el resultado de los tres primeros pasos

18 El cuarto paso consiste en decidir con qué ecuación podemos calcular lo que nos piden y comprobar si tenemos todos los datos que necesitamos. En nuestro caso usaremos la ecuación: e = v o ·t + ½·a·t² Observa que no podemos calcular e hasta que conozcamos el tiempo t que dura la frenada. Lo podemos calcular con la otra ecuación: v f = vo + a·t Si sustituimos los valores conocidos de v f, v o y a, tenemos: 0 = 25 m/s + (-5) m/s²·t -25 m/s = -5 m/s²·t t = -25 m/s / -5 m/s² = 5 s Una vez calculado el tiempo que dura el movimiento, procedemos a determinar el desplazamiento: e = 25 m/s · 5s + ½ (-5)m/s²·(5s)² e = 125 m - 62,5 m = 62,5 m e = 62,5 m El último paso consiste en comprobar que la solución que damos es correcta y razonable. La solución, en este caso, representa el desplazamiento que realiza la moto desde que se pisa el freno hasta que se detiene. Parece razonable que si se circula a 90 km/h (25 m/s), la distancia necesaria para detener la moto sea aproximadamente las dos terceras partes de un campo de fútbol, similar a la que nosotros hemos obtenido.

19 Gráficas e-t, v-t y a-t Una de las formas que utilizamos para describir y estudiar los movimientos es a través de sus gráficas posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo. A veces utilizamos las gráficas como un elemento más del lenguaje científico para describir un movimiento. Otras veces construimos las gráficas con los datos que hemos obtenido en la observación del movimiento para poder sacar conclusiones acerca de las mismas e identificar el tipo de movimiento que estamos estudiando. En cualquiera de los dos casos es necesario que sepamos interpretar correctamente la información que éstas nos ofrecen, cosa que pretendemos conseguir con la sección Estudio Gráfico de éstas páginas. El siguiente applet simula el movimiento rectilíneo de una moto para algunos valores de la posición inicial, velocidad inicial y aceleración constante. Movimiento rectilineo de una moto Con él puedes estudiar algunos casos de movimientos uniformes (cuando a= 0) y de movimientos uniformemente acelerados para valores positivos y negativos de la aceleración.  Una vez que hayas introducido los parámetros del movimiento que desees estudiar, pulsa Lanzar y comenzará el movimiento así como la construcción de las gráficas e-t, v-t y a-t del mismo.  Con el botón Reinicio puedes volver a la situación inicial cuando desees.  El applet sólo admite valores negativos para la aceleración cuando la velocidad inicial es positiva o cuando la velocidad inicial es cero pero la posición inicial no.  Puedes detener y reanudar el proceso pulsando con el ratón.

20 Pendiente de las gráficas e-t Vamos a ver cómo podemos utilizar las gráficas posición-tiempo para describir el movimiento. Podemos deducir las características de un movimiento analizando la forma y la de las gráficas posición-tiempo (e-t). La pendiente de una gráfica e-t representa la velocidad del móvil. Si el movimiento es uniforme, la gráfica e-t es una recta ya que en tiempos iguales se producen desplazamientos iguales. Comprueba en el siguiente simulador que la pendiente de la gráfica representa la velocidad.

21 Si el movimiento es acelerado, la gráfica e-t es una curva ya que en tiempos iguales se producen desplazamientos diferentes. En el siguiente simulador puedes comprobar que la aceleración representa el ritmo con que varía la velocidad.

22 Como ves, la forma de la gráfica posición-tiempo para estos dos tipos de movimientos básicos revela una importante información:  Si la velocidad es constante, la pendiente es constante (línea recta).  Si la velocidad es variable, la pendiente es variable (línea curva).  Si la velocidad es positiva, la pendiente es positiva (la línea es ascendente).  Si la velocidad es negativa, la pendiente es negativa (la línea es descendente). Esto se puede aplicar a cualquier tipo de movimiento. Veamos algunos casos:

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29 Pendiente de la gráfica v-t En una gráfica v-t, la pendiente es la aceleración. En el siguiente simulador podemos hacer que las motos se muevan a velocidad constante. Observa que al representar los datos en la gráfica v-t se obtiene una recta horizontal, cuya pendiente es cero en todos los puntos, ya que en los movimientos uniformes no hay aceleración (la aceleración es cero).

30 En el caso de movimientos uniformemente acelerados, las gráficas v-t también son rectas pero la pendiente no es cero. En el siguiente simulador puedes ver la gráfica v-t para un movimiento uniformemente acelerado.

31 Observa que se trata de una recta ascendente, es decir de pendiente constante y positiva. Como ya hemos dicho, la pendiente de una gráfica v-t es la aceleración por lo que el movimiento de la moto es de aceleración constante y positiva. Los movimientos de aceleración constante son uniformemente acelerados. La forma de la gráfica velocidad-tiempo para estos dos tipos de movimientos revela una importante información:  Si la aceleración es constante, la pendiente es constante (línea recta).  Si la aceleración es cero, la pendiente es cero (línea recta horizontal).  Si la aceleración es positiva, la pendiente es positiva (la línea es ascendente).  Si la aceleración es negativa, la pendiente es negativa (la línea es descendente). Esto se puede aplicar a cualquier tipo de movimiento.

32 Composición de Movimientos Vamos a suponer que deseamos cruzar un río con una moto de agua que se mueve a velocidad constante. Si ponemos el timón en la dirección del punto de destino, no llegaremos a éste porque la corriente nos irá arrastrando mientras avanzamos hacia la otra orilla. (Haz clic con el botón derecho del ratón y elige la opción reproducir)

33 Si observas con detenimiento llegarás a la conclusión de que conseguiremos llegar a nuestro destino cuando la componente X de la velocidad del bote sea de igual valor pero de sentido contrario a la componente X de la velocidad del río (que es su única componente). Lógicamente esto lo hacemos con el timón, poniendo un ángulo de navegación que contrarreste la velocidad del río, es decir navegando un poco a contracorriente. Podemos decir que la moto de agua tiene simultáneamente un movimiento de avance hacia la otra orilla, producido por el motor, y otro movimiento de arrastre, producido por la corriente. Esto equivale a decir que el movimiento de la moto es la composición de los movimientos de avance y arrastre. Ambos movimientos son uniformes (de velocidad constante) y, como consecuencia, el movimiento resultante también lo es. En el simulador dispones de un río que te permitirá experimentar distintas situaciones y sacar tus propias conclusiones para discutirlas con tu profesor. Comprueba si es cierta la siguiente afirmación: "El tiempo que se tarda en cruzar el río no depende de la corriente"

34 Caída libre Se le llama caída libre al movimiento que se debe únicamente a la influencia de la gravedad.  Todos los cuerpos con este tipo de movimiento tienen una aceleración dirigida hacia abajo cuyo valor depende del lugar en el que se encuentren. En la Tierra este valor es de aproximadamente 9,8 m/s², es decir que los cuerpos dejados en caída libre aumentan su velocidad (hacia abajo) en 9,8 m/s cada segundo.  En la caída libre no se tiene en cuenta la resistencia del aire. La aceleración a la que se ve sometido un cuerpo en caída libre es tan importante en la Física que recibe el nombre especial de aceleración de la gravedad y se representa mediante la letra g. Ecuaciones para la caída libre Recuerda las ecuaciones generales del movimiento: e = v o ·t + ½·a·t² v f = v o + a·t Podemos adaptar estas ecuaciones para el movimiento de caída libre. Si suponemos que dejamos caer un cuerpo (en lugar de lanzarlo), entonces su velocidad inicial será cero y por tanto el primer sumando de cada una de las ecuaciones anteriores también será cero, y podemos eliminarlos: e = ½·a·t² v f = a·t Por otro lado, en una caída libre la posición que ocupa el cuerpo en un instante es precisamente su altura h en ese momento. Como hemos quedado en llamar g a la aceleración que experimenta un cuerpo en caída libre, podemos expresar las ecuaciones así: h = ½·g·t² v f = g·t

35 Tiro Parabólico Cuando lanzamos un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo con la horizontal, éste describe una trayectoria parabólica. En su obra Dialogo sobre los Sistemas del Mundo (1633), Galileo Galilei expone que el movimiento de un proyectil puede considerarse el resultado de componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme; otro, vertical y uniformemente acelerado. (Haz clic con el botón derecho del ratón y elige la opción reproducir)

36 En nuestra simulación hemos seleccionado el punto de salida como origen de coordenadas. Si la velocidad de salida es v 0 y el ángulo es α, tendremos que las componentes de la velocidad inicial son: v 0x = v 0 · cos α v 0y = v 0 · sen α Y las propiedades cinemáticas del cuerpo en cualquier instante (t) de su movimiento son: MagnitudComponente x Componente y aceleracióna x = 0 a y = -g velocidadv x = v 0x v y = v 0y - gt posiciónx = v 0x t y = v 0y t-(1/2)gt2 Observa que la aceleración no depende del tiempo (es constante), pero la velocidad y la posición del móvil sí que dependen del tiempo. En el tiro parabólico son de interés la altura máxima y el alcance (o desplazamiento horizontal) conseguido. La altura máxima se alcanza cuando la componente vertical v y de la velocidad se hace cero. Como v y = v 0y - gt, se alcanzará la altura máxima cuando t = v 0y /g. Utilizando estos datos llegarás fácilmente a la conclusión de que el valor de la altura máxima es: y max = v 0y 2 /2g = (v 0 2 /2g) sen 2 α El móvil estará avanzando horizontalmente a la velocidad constante v 0x durante el tiempo de vuelo, que será 2t (siendo t el tiempo en alcanzar la altura máxima) ya que el móvil tarda lo mismo en subir que en bajar, por lo tanto el alcance es: x max = v 0x 2t es decir alcance = x max = (v 0 2 /g) sen 2α

37 Tiro Horizonta l El movimiento que realiza la moto en la siguiente simulación es una rama de parábola y se llama tiro horizontal. (Haz clic con el botón derecho del ratón y elige la opción reproducir)

38 Si la velocidad de salida es v 0, tendremos que las componentes de la velocidad inicial son: v 0x = v 0 v 0y = 0 Como ocurría en el caso del tiro parabólico, este movimiento puede considerarse el resultado de componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme; otro, vertical y uniformemente acelerado. Las propiedades cinemáticas del cuerpo en cualquier instante (t) de su movimiento son: MagnitudComponente x Componente y aceleracióna x = 0 a y = -g velocidadv x = v 0 v y = - gt posiciónx = v 0 t y = h -(1/2)gt2 Combinando las ecuaciones podemos llegar a la conclusión de que el tiempo de vuelo es: t = ( 2h/g)½ y por lo tanto el desplazamiento horizontal alcanzado es: x max = v 0 ( 2h/g)½ Observa que el tiempo de vuelo no depende de la velocidad, sino de la altura y del valor de la gravedad.