Teoría de la computación DECIBILIDAD Equipo 4 Karla Flores Samuel rojas Filiberto Jiménez.

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2 Teoría de la computación DECIBILIDAD Equipo 4 Karla Flores Samuel rojas Filiberto Jiménez

3 Decibilidad Lenguajes decidibles El problema de Halting Decibilidad de Teorías Lógicas

4 Lenguajes decidibles Existen problemas que no pueden ser resueltos por una computadora, dado que las computadoras solamente pueden ejecutar algoritmos, esto es secuencia de instrucciones universalmente precisas y entendibles que resuelven cualquier instancia de problemas computacionales definidos rigurosamente.

5 Los problemas se pueden clasificar desde el punto de vista de la teoría de computabilidad en resolubles y no resolubles. Los problemas resolubles son objeto de estudio de la teoría de complejidad computacional. Decimos que un lenguaje L es decidible si L= (M) para una maquina de Turing M tal que: 1.- Si w pertenece a L, entonces M acepta (y por lo tanto se para). 2.- Si w no pertenece a L, entonces M termina parándose, aunque nunca llega a un estado de aceptación

6 Los lenguajes decidibles son cadenas de palabras calculables mediante funciones recursivas por lo cual también se les llamas lenguajes recursivos Lenguaje decidible La máquina dice si una cadena pertenece al lenguaje o no. Implica reconocer el complemento del lenguaje. Existen lenguajes aceptables que no son decidibles, Un lenguaje es aceptable pero su complemento no

7 Lenguajes decidibles Aquellos que se resuelven mediante un algoritmo Lenguajes indecidibles Lenguajes recursivamente enumerables Lenguajes no recursivamente enumerables Aquellos para los que existen maquinas de Turing de alguna clase Aquellos para los que no existe ninguna maquina de Turing

8 El problema de “Halting” es el primer problema indecidible mediante maquinas de Turing. Equivale a construir un programa que te diga si un problema de ordenador finaliza alguna vez o no (entrando a un bucle infinito, por ejemplo). Para el problema de Halting no existe un algoritmo que pueda decidir si un programa arbitrario se detendrá o no. Su demostración se realiza por contradicción/absurdo Básicamente, Turing definió las bases de las computadoras modernas y planteo un problema sobre ellas, llegando a la conclusión de que no hay ningún algoritmo que lo resuelva. Es el problema de la detención (Halting problem); el problema de saber si un problema se cuelga cuando corre en la computadora. Turing demostró que el problema de la detención es indicidible, es decir, demostró que había problemas que una maquina no podía resolver.

9 Un ejemplo es lo sguiente: Veamos qué ocurre si en dato. p se coloca el código del programa test... Se pueden analizar los siguientes dos casos: 1. Si Halt es TRUE, entonces, de acuerdo a lo supuesto, el programa analizado (TEST) termina luego, TEST termina. Por otro lado, mirando el código de test, si halt es true entra en ciclo infinito, por lo que test NO termina (Contradicción) 2. Si Halt es False, entonces, de acuerdo a lo supuesto, el programa analizado (TEST) no termina; luego, Test NO termina. Por otro lado, mirando el código de test, test escribe un mensaje y termina; esto significaría que Halt termina (Contradicción) Ya que en ambos casos se producen contradicciones, se asegura que la función HALT NO EXISTE

10 Decibilidad de teorías lógicas Una teoría lógica (TL) se define a partir de un conjunto de enunciados dados llamados axiomas, unas reglas de inferencia y un esquema de derivación. A partir de los axiomas y aplicando las reglas de inferencia y el esquema de derivación se infieren los teoremas de la teoría. El conjunto de teoremas de la teoría forman un lenguaje formal Si es posible definir una máquina de Turing tal que reconozca al lenguaje de los teoremas, este lenguaje es decidible y la teoría también lo es en consecuencia. Dicho en otras palabras, si el conjunto de teoremas visto como un lenguaje es reconocido por una máquina de Turing, entonces la TL es decidible. Y viceversa.

11 Desde el punto de vista semántico, las interpretaciones de las cadenas del lenguaje se realizan ya sea por el intérprete ó bien por el compilador del lenguaje de programación en el cual se dan las instrucciones. Las cadenas que resultan en instrucciones realizadas por la computadora pueden considerarse interpretadas como verdaderas y por tanto tienen, al menos, un modelo de la Teoría Lógica formada por tales cadenas. En particular, los axiomas se consideran teoremas de la teoría, los cuales se derivan aplicando cero veces las reglas de inferencia. Axiomas: Los axiomas son verdades incuestionables universalmente válidas y evidentes, que se utilizan a menudo como principios en la construcción de una teoría o como base para una argumentación.teoría