5ta U.A “Sobre semejanza de triángulos y áreas de regiones poligonales RECORDANDO PROPORCIONALIDAD Cuestiones preliminares Resp. Prof. Carlos Enrique Navarro.

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1 5ta U.A “Sobre semejanza de triángulos y áreas de regiones poligonales RECORDANDO PROPORCIONALIDAD Cuestiones preliminares Resp. Prof. Carlos Enrique Navarro A

2 S ITUACIÓN PROBLEMÁTICA Sheyla Marisol ha organizado una fiesta por su cumpleaños donde se puede apreciar que la razón de chicos a chicas es de 5 a 3. Luego se van 10 chicos y queda un número perfecto para bailar en parejas. ¿Cuántas chicas hay en la fiesta?

3 MÁQUINAS, VELOCIDAD Y POTENCIA A través de los años, la industria ha ido evolucionando en forma acelerada. Por ejemplo, los engranajes se han usado desde hace siglos y se siguen usando en la actualidad. Los engranajes generan velocidad y potencia que la fuerza humana no puede realizar. A partir del movimiento de la rueda pequeña, se van generando movimientos mayores hasta conseguir la velocidad deseada. Esta función de los engranajes o sistemas de ruedas dentadas. Su funcionamiento parte del principio matemático de la proporcionalidad, que es justamente de lo que nos vamos a ocupar en esta clase.

4 Si nos piden comparar la altura de cada árbol qué dirías Tú “En matemática, al resultado de comparar dos cantidades se llama razón”

5 Tres amigas de la IEMA: Claudia, Dayana y Jennifer se encuentran en una fiesta y conversan entre ellas sobre la cantidad de pulseras que había llevado cada una, en eso llega Patricia y verifica que ellas tenían 15, 9 y 5 pulseras respectivamente; y como buena matemática que es relaciona estas cantidades de siguiente modo, comparándolas: Claudia tenía 6 pulseras más que Dayana Dayana tenía 4 pulseras más que Jennifer. Claudia tenia el triple de pulseras que Jennifer. RAZONES

6 Es el resultado de comparar dos cantidades homogéneas, mediante una sustracción o mediante una división. Según esto la razón puede ser: Razón Aritmética: Se obtiene restando 2 cantidades: a - b = q (constante) Razón Geométrica: Se obtiene al dividir 2 cantidades: ¿Qué es una RAZÓN? (constante)

7 Al comparar dos varillas de acero: 10 unidades 2 unidades Se puede ver que a la segunda le faltan 8 unidades para ser igual a la primera: También se puede ver que la primera es cinco veces la segunda: RAZÓN ARITMÉTICA RAZÓN GEOMÉTRICA Observa este ejemplo:

8 Se establece mediante una diferencia es decir cuantas unidades más posee una cantidad con respecto a la otra. Representa la diferencia de dichas cantidades. Razón Aritmética: Antecedente Consecuente Razón Aritmética Razón Geométrica: Se establece mediante un cociente es decir cuantas veces una de las cantidades está contenida en la otra. La razón geométrica es el cociente de dichas cantidades. Antecedente Consecuente Razón Geométrica

9 APLICACIONES En lenguaje de cartografía la razón se conoce como escala. Si un mapa está a escala 1:1000, ¿Qué significa? Cualquier distancia (digamos 1cm) en el mapa, representa 1000 cm en la vida real es decir 10m.

10 APLICACIONES

11 Es la igualdad de dos razones. Según la clase de razón, una proporción puede ser: Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas, se le denomina también equidiferencia. Proporción Geométrica: Es la igualdad de dos razones geométricas, se le denomina simplemente proporción. ¿Qué es una PROPORCIÓN? a – b = c - d

12 a y c : son antecedentes b y d : consecuentes a y d : Términos extremos b y c : Términos medios Proporción Geométrica Se lee “a es a b como c es a d”

13 Ejemplo: Términos medios: 21 y 25 Términos extremos: 15 y 35 Propiedad fundamental: En toda proporción geométrica, el producto de extremos es igual al producto de medios. Entonces: 15. 35 = 25. 21

14 MAGNITUDES PROPORCIONALES Dos magnitudes son proporcionales, si es que multiplicando o dividiendo una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida(o viceversa) por el mismo número. Observemos los siguientes casos: Longitud en metros(x) Precio a pagar(y) 6S/. 72 2S/. 24 3S/. 36 5S/. 60 8S/. 96 1S/. 12 Obreros(x)Meses(y) 504 1002 258 1020 2001 540 1.La tabla representa la relación entre la cantidad de metros de tela y el precio pagado. 2.La tabla representa la relación entre la cantidad de obreros para hacer una obra y los meses para terminarla: Deducción: a más metros de tela más pago, a menos metros de tela menos paga. Magnitudes directamente proporcionales Deducción: a más obreros empleados menos meses en realizar la obra, a menos obreros más meses en realizar la obra. Magnitudes inversamente proporcionales.

15 PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos o más cantidades a y b son directamente proporcionales cuando su cociente es constante. Kg12347 soles48121628 4 es la constante de proporcionalidad Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra también aumenta. Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra también disminuye. Ejemplo: Cantidad de kg de azúcar y precio a pagar

16 Dos o más cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen al multiplicar los términos de cada una de las razones son constantes. PROPORCIONALIDAD INVERSA Ejemplo: Número de pintores y tiempo en realizar un trabajo Pintores124816 Días48241263 1x48 = 2x24 = 4x12 = 8x6 = 16x3 = 48. Donde 48 es la K de proporcionalidad inversa  Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra disminuye.  Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta.

17 EJEMPLOS DE MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE PROPORCIONALES

18 Número de relojes ( N ) 216 Precio en dólares ( P ) 1000 5003000 : 2 x3 :2:2 La relación entre la cantidad relojes comprados y el precio en dólares a pagar. 1.- Coloco los datos en una tabla. A estos datos los llamaremos magnitudes. Estas Dos magnitudes son directamente proporcionales, pues al aumentar una variable la otra también aumenta, y si disminuye una variable la otra también disminuye. 01.-MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

19 500 3 000 2 500 1 000 2 000 165432 2.- Representar en un plano cartesiano los dos valores de la tabla. Número de relojes( N ) Eje x216 Precio en dólares ( P ) Eje y 1000 5003000 Si al representarlas gráficamente estas dos magnitudes obtenemos una línea recta que pasa por el origen, estas magnitudes son directamente proporcionales

20 02.- MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Estas magnitudes son inversamente proporcionales: a mayor velocidad menor el tiempo empleado; a menor velocidad mayor el tiempo empleado. 120 60 20 VELOCIDAD (V) TIEMPO (t) 1 26 ÷ 2÷ 2 ÷ 6 x 2 x 6 V = 120 km/h La relación entre la velocidad de un vehículo y el tiempo que emplea en recorre una distancia.

21 20 4 2.- Representar en un plano cartesiano los dos valores de la tabla. Velocidad ( V ) Eje y1206020 Tiempo ( t ) Eje x 1 26 Si al representarlas gráficamente estas dos magnitudes obtenemos una línea curva(hipérbola), estas magnitudes son inversamente proporcionales 120 100 40 60 80 16532

22 Resp. Prof. Carlos Enrique Navarro A