@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 PROBABILIDAD U. D. 13 * 4º ESO E. AC.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 PROBABILIDAD U. D. 13 * 4º ESO E. AC.

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 DIAGRAMA DEL ÁRBOL U. D. 13.3 * 4º ESO E. AC.

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 PRINCIPIO DE LA SUMA Si una elección puede hacerse de varias formas que se excluyen entre sí, el número posible de elecciones es igual a la suma de las posibilidades de cada forma. Ejemplo Una profesora de Lengua manda leer a sus alumnos un libro. Ana tiene 3 libros de poesía, 4 novelas y 5 libros históricos. ¿De cuántas maneras distintas puede elegir el libro?. Solución: 3+4+5 = 12 formas diferentes PRINCIPIO DEL PRODUCTO Si una elección tiene que hacerse de varias elecciones independientes entre sí, el número total de posible de elecciones es el producto de las posibilidades de cada elección. Ejemplo En un restaurante nos ofrecen 3 primeros platos, 4 segundos y 5 postres. ¿De cuántas maneras distintas puede el padre de Ana elegir el menú?. Solución: 3.4.5 = 60 menús diferentes TÉCNICAS DE RECUENTO

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 La Combinatoria es la parte del Algebra que estudia los distintos grupos que se pueden formar con cierto número de objetos. La Combinatoria prescinde de la naturaleza de los objetos, pero no del orden en que están colocados, considerando todos los objetos como diferentes. Al número de elementos de que disponemos se le llama base, mientras que el número de elementos que de ellos tomamos para formar grupos se llama orden de la agrupación (binarias, ternarias, cuaternarias, etc). Según la forma de agrupar los distintos elementos de un conjunto tendremos: –VARIACIONES CON Y SIN REPETICIÓN –PERMUTACIONES CON Y SIN REPETICIÓN –COMBINACIONES CON Y SIN REPETICIÓN Combinatoria

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 Lo más difícil de la Combinatoria es distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones, y después discernir si son no con repetición. En las dos primeras (variaciones y permutaciones) la clave estará en el orden de colocación de los elementos. En la tercera (combinaciones) la clave estará en la ausencia de órden, importando el conjunto de dichos elementos. En la primera forma de agruparlos (variaciones) se toman parte de los elementos de un conjunto, mientras que en la segunda forma (permutaciones) se toman todos los elementos del conjunto. Las claves de la Combinatoria

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 Sea el conjunto o espacio muestral E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Una variación de 3 elementos sería: v1 = 2, 7, 5 Otra variación de 3 elementos sería: v2 = 2, 5, 7 Otra variación de 3 elementos sería: v3 = 8, 7, 5 Importa el orden, aun tomando los mismos tres elementos. Una variación con repetición de 3 elementos sería: v1 = 2, 7, 5 Una variación con repetición de 3 elementos sería: v1 = 2, 2, 7 Una variación con repetición de 3 elementos sería: v1 = 2, 7, 2 Importa el orden, aun repitiendo los mismos tres elementos. Una permutación sería: p1 = 0, 1, 2, 3, 9, 5, 6, 7, 8, 4 Otra permutación sería: p2 = 7, 1, 2, 3, 9, 5, 6, 0, 8, 4 Otra permutación sería: p3 = 9, 1, 2, 3, 7, 5, 6, 0, 8, 4 Se tomas todos los elementos e importa el orden de colocación. Ejemplos comparativos

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 Sea el conjunto o espacio muestral E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Una combinación de 3 elementos sería: c1 = 2, 7, 5 Otra combinación de 3 elementos sería: c2 = 2, 7, 3 Otra combinación de 3 elementos sería: c3 = 8, 7, 5 No pueden estar los mismos tres elementos. Una combinación con repetición de 3 elementos sería: c1 = 2, 7, 5 Otra combinación con repetición de 3 elementos sería: c2 = 2, 2, 5 Otra combinación con repetición de 3 elementos sería: c1 = 7, 7, 7 No importa el orden, y se pueden repetir los mismos elementos. Sea el conjunto o espacio muestral E={1,1,1,3,4,4,7,7,7,7}. Una permutación con repetición sería: p1 = 7,1,1,3,4,4,7,7,7,1 Otra permutación con repetición sería: p2 = 7,1,3,1,4,4,7,7,7,1 Ejemplos comparativos

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 Se lanzan tres monedas al aire. ¿Cuántos resultados posibles puede haber?.¿Qué son?. 1ª Moneda 2ª Moneda 3ª Moneda C C X C X X CCCC X C X C X C X XXC CXC CXX XCC XCX CCX XXX El nº total de resultados es: N=2.2.2 = 2 3 = 8 Como se puede repetir C y X habrá repetición. Como importa el orden, pues no es lo mismo XCC que CXC, no serán combinaciones. Serán variaciones con repetición. DIAGRAMA DEL ÁRBOL

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.9 Un cartero lleva tres cartas a unas viviendas con siete buzones. Como tiene prisa, las distribuye al azar. ¿Cuántos resultados posibles puede haber?.¿Qué son?..B1 B2 B3 B4 B5B6 B7.C2C3.C1C3C2.C1C3.C2C3C1.C1C2.C3 C2C1 Vemos que los buzones 4 al 7 se quedan sin cartas, y además vemos que ningún buzón tiene 2 o 3 cartas. Este esquema no vale para resolver el ejercicio al no permitir todos los casos posibles. Probamos con otro esquema. DIAGRAMA DEL ÁRBOL

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.10.C1 C2 C3.B1.B1B2.B3.B2B4B1.B5B2.B3 B6B3En total habría 342 flechas, pues.B7B4en la primera columna habría 7.B4B5elementos, en la segunda 49 (no.B6solo los 7 señalados) y en la.B5B7tercera habría 343 (no solo los 7.que se muestran)..B6..B7 Vemos ahora que el diagrama del árbol sí que funciona. Cualquier carta puede ser arrojada en cualquier buzón y cualquier buzón puede alojar hasta la totalidad de las tres cartas. El total de resultados es: N=7.7.7= 7 3 = 343 Variaciones con repetición

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.11.T1 T2 T3.P1.P1P3.P4.P2P5P1.P6P3.P3 P7P4.P8P5.P4P6.P7.P5..P6..P7..P8 Para aprobar un examen de matemáticas, un alumno debe hacer bien 3 de los 8 ejercicios propuestos por el profesor. Pero sin haber dado con la solución correcta de uno de ellos no se puede pasar al siguiente. ¿Cuántas maneras distintas de corregir in situ se le pueden presentar al profesor?.¿Qué son?. El alumno, cada alumno, elegirá en primer lugar la pregunta más fácil de las 8. Luego la más fácil de las 7 que le quedan. Y por último la más fácil de las 6 que le quedan. El nº total de casos posibles es: N= 8.7.6=336 Importa el orden y no se pueden repetir: Variaciones sin repetición. DIAGRAMA DEL ÁRBOL En el esquema sólo son visibles 6 de los 336 casos