Intervalos de Confianza M. C. José Juan Rincón Pasaye UMSNH – FIE Mayo de 2003.

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1 Intervalos de Confianza M. C. José Juan Rincón Pasaye UMSNH – FIE Mayo de 2003

2 Contenido  Estimación de parámetros  Estimación de intervalos  Intervalo de confianza para la media  Intervalo de confianza para la varianza  Otros Intervalos de Confianza  Intervalos de tolerancia  Ints. de confianza y regresión lineal UMSNH-FIE

3 Estimación de Parámetros Parámetros poblacionales y Estadísticos Muestrales UMSNH - FIE Datos (Población de Interés) Muestras Parámetros: Media (  ) Varianza(  2 ) Desv. Est. (  ) Etc. Estadísticos: Promedio ( ) Varianza muestral(S 2 ) Desv. Est. muestral(S) Etc. Inferencias MuestreoX

4 Estimación de Parámetros Ejemplo: Estimación de la media de una población UMSNH - FIE Estimador: La media muestral ( ) que se calcula a partir de una muestra de N datos como sigue: X Parámetro que se pretende estimar : La media de la población ( µ ) que en general no se conoce, no se puede conocer, o se conoce sólo un valor teórico: El estimador (en el ejemplo la media muestral) puede tomar diferentes valores (aleatorios) dependiendo de la muestra (aleatoria) considerada, es decir, el estimador es una variable aleatoria Es natural preguntarse : ¿Cuál será la distribución de probabilidad del estimador? De hecho ¿cuáles serán sus parámetros? ¿tendrán que ver con los de la población?

5 Estimación de Parámetros Ejemplo: Lanzamiento de un dado UMSNH - FIE Estimador: La media muestral ( ) X Población de interés : El conjunto de datos obtenidos al lanzar un dado legal en diversas ocasiones Parámetro de interés : La media (µ) de la población Experimento aleatorio : Lanzar un dado Variable aleatoria X= número obtenido en la cara superior Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Distribución de la variable aleatoria X: Uniforme Media teórica: µ=3.5

6 Estimación de Parámetros Ejemplo: Lanzamiento de un dado UMSNH - FIE Distribución de la variable aleatoria (X) del experimento Función de Probabilidad: f(x) = P(X=x) x123456 f(x)1/61/61/61/61/61/6 123456 0 0.05 0.1 0.15 0.2 x f(x) Función de Probabilidad

7 Estimación de Parámetros Ejemplo: Lanzamiento de un dado UMSNH - FIE Distribución del estadístico. Muestra x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x3 x4x4x4x4 x5x5x5x5 x6x6x6x6 x7x7x7x7 x8x8x8x8 x9x9x9x9 x 10 113511224222.1 215363364253.8 361535453223.2 425241536643.8 536545432343.7...... X X X Cada muestra puede considerarse como:  10 valores de la variable aleatoria X,  1 sólo valor para 10 variables aleatorias X 1,X 2,...,X 10 Diferentes cálculos de para N=10:

8 Estimación de Parámetros Ejemplo: Lanzamiento de un dado UMSNH - FIE Distribución del estadístico. X X Si obtenemos 1000 muestras, obtendremos 1000 valores de, para estos 1000 valores realizamos el histograma: 123456 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 X frecuencia relativa Distribución de la media muestral

9 Estimación de Parámetros Ejemplo: Lanzamiento de un dado UMSNH - FIE Código en Matlab: %se simula el dado x=round(rand(N,n)*6+0.5);M=sum(x)/N;[X,c]=hist(M,15); %se grafica el histograma de frecuencia relativa en p.u. X=X/n;bar(c,X) Recordatorio: Cada muestra puede considerarse como:  10 valores de la variable aleatoria X,  1 sólo valor para 10 variables aleatorias X 1,X 2,...,X 10

10 Estimación de Parámetros En general: un estadístico que pretende estimar un parámetro  es una v. a. Que depende de las N variables aleatorias que forman una muestra, es decir UMSNH - FIE ^ ^ = f(X 1,X 2,...,X N ) Así, una muestra es un conjunto de valores (x 1,x 2,...,x N ) tomados por las variables aleatorias (X 1,X 2,...,X N ). ^^^ Es natural suponer que la distribución f(X i )=P(X i =x i ) de cada variable de la muestra es igual a la de la población Sin embargo, la distribución f( ) = P( = ) del estadístico como se vió en el ejemplo del dado es otra cosa.

11 Estimación de Intervalos En la explicación previa, un estimador produce un valor que pretende aproximar a un parámetro . A este enfoque se le llama estimación puntual UMSNH - FIE ^ En el enfoque de estimación de intervalos, para un parámetro  no se estima un valor, sino un intervalo de la forma a   b, donde los valores extremos a, b dependen del valor numérico del estadístico para una muestra en particular y de la distribución de muestreo de ^ ^ ^ Es decir, a y b dependen de la muestra, por lo tanto son valores de variables aleatorias.

12 Estimación de Intervalos Partiendo de la distribución de muestreo para, es posible determinar valores de L,U tales que se cumpla lo siguiente: UMSNH - FIE P(L    U) =1 –  Donde 0 <  < 1 Es decir, se puede garantizar con una probabilidad de 1-  que la muestra elegida contendrá el valor verdadero de  ^ Al intervalo resultante l    u se le conoce como el intervalo de confianza del 100(1–  para el parámetro desconocido 

13 Estimación de Intervalos Ejemplo: Construcción repetida de un intervalo de confianza para la media  UMSNH - FIE Si los intervalos de confianza mostrados son del 95% significa que si se construye un gran número de ellos, el 95% de ellos contendrá a la media 

14 Estimación de Intervalos En la práctica se obtiene solamente una muestra y se calcula con ella un intervalo de confianza dicho intervalo contiene o no contiene a , no es razonable asignar una probabilidad a este evento. UMSNH - FIE La proposición a decuada es que el intervalo contiene a  “con una confianza” del 95% La longitud del intervalo de confianza (a-b) es una medida de la calidad de la información obtenida en la muestra, al semi intervalo a- , o  -b se le llama Precisión del estimador. ¿Qué significado tiene un intervalo grande? ¿És deseable que sea grande o que sea pequeño? ¿Qué relación tiene con el valor de 1-  ?

15 Estimación de Intervalos Intervalo para la Media (Varianza conocida) UMSNH - FIE Situación: Se tiene una población con media desconocida , pero se supone conocida la varianza  2. Se toma una muestra aleatoria (X 1,X 2,...,X N ). Con esta muestra se calcula el estadístico el cual es un estimador puntual insesgado para la media  desconocida. Se puede obtener un intervalo de confianza del 100(1-  ) % para  si consideramos los siguientes hechos acerca de la distribución de : X X

16 Intervalo para la media Intervalo para la Media (Varianza conocida) UMSNH - FIE 1. Si la población es Normal, la distribución de es Normal 2. Si la población no es Normal, el Teorema del límite central nos garantiza una distribución de aproximadamente normal cuando N ( tamaño de la muestra )  3. La media de es  ( es insesgado) 4. El error estandar i desvio estandar de la de es  / ˅ N Teorema del Límite Central: Afirma que la media muestral tiene una distribución Normal aunque la población original no la tenga, siempre y cuando la muestra sea muy grande (de manera práctica N>30) X X X X X

17 Intervalo para la media Intervalo para la Media (Varianza conocida) UMSNH - FIE De acuerdo a lo anterior, podemos suponer que la variable Tiene una distribución N(0,1) de la figura: P{-z  /2  Z  z  /2 }=1- . Con lo cual el intervalo de confianza del 100(1-  )% para la media es -z  /2 z  /2 Z  /2  /2

18 Intervalo para la media Intervalo para la Media (Varianza conocida) UMSNH - FIE Ejemplo: Los siguientes son datos de conductividad térmica de cierto tipo de hierro (en BTU/hr-ft-°F): 41.60 41.48 42.34 41.95 41.86 42.18 41.72 42.26 41.81 42.04 Una estimación puntual para la media, es = 41.924. Hallar un intervalo de confianza del 95 % y uno del 99% para la media. Se supone que la población tiene una distribución Normal con  =0.3 Usamos la expresión para encontrar el intervalo de confianza para la media: Usando Matlab para calcular z  /2 = norminv(0.025,0,1) l = 41.924 - 1.96(0.3)/  10 = 41.738, u = 41.924+1.96(0.3)/  10 = 42.110 Entonces el intervalo de confianza del 95% es 41.738    42.11 Y la longitud de este intervalo es 3.92  /  N X

19 Intervalo para la media Intervalo para la Media (Varianza conocida) UMSNH - FIE Selección del tamaño de la muestra: La precisión del intervalo de confianza es z  /2  /  N esto significa que al usar para estimar , el error de estimación, dado por E=| -  | es menor o igual que z  /2  /  N, con una confianza de 100(1-  )%. El problema inverso consiste en calcular N para obtener un error E con una confianza del 100(1-  )% previamente especificado: N 1/2 = z  /2  /E X X Ejercicio: Calcular el tamaño adecuado de la muestra para lograr que el error de estimación de conductividad del hierro sea menor de 0.05 Btu/hr-ft-°F con una confianza del 95%

20 Intervalo para la media Intervalo para la Media (Varianza desconocida) UMSNH - FIE Si no se conoce la varianza  2 de la población, una posibilidad es utilizar la varianza muestral S 2 en las ecuaciones obtenidas para estimar intervalos en el caso de varianza conocida Este procedimiento funciona para muestras grandes (N>30), por ello los intervalos de confianza anteriores se les suele llamar intervalos de confianza para muestras grandes. Si las muestras son pequeñas el enfoque anterior no funciona y para lograr un procedimiento válido se supondrá que la población tiene una distribución Normal

21 Intervalo para la media Intervalo para la Media (Varianza desconocida) UMSNH - FIE Si la población es Normal, la siguiente estadística Tiene una distribución t con N-1 grados de libertad -t  /2,N-1 t  /2,N-1 T  /2  /2