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MÍNIMOS CUADRADOS
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Sistema Inconsistente
A mxn A x = b Sistema Inconsistente
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A x = b consistente b está en CA A x = b inconsistente b no está en CA
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b
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A x* es un vector del espacio columna CA
A x* = proy CAb A x* = b* Sistema Consistente
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b – A x* mínima
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x* es una solución de A x* = b* aproximación de A x = b
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A fin de encontrar x* a partir de A x* = b*
podríamos partir de A x* = proyCAb
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Existe una mejor manera de conseguirlo
( b – A x* ) es ortogonal a cada vector de CA
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Por lo tanto, ( b – A x* ) es ortogonal a cada vector columna de A
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c1 . ( b – A x* ) = 0 c2 . ( b – A x* ) = 0 c1T . ( b – A x* ) = 0 c2T . ( b – A x* ) = 0
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AT . ( b – A x* ) = 0 AT b – ATA x* = 0 ATA x* = AT b
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ATA x* = AT b Ecuaciones Normales
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A AT matriz nxn simétrica
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A mxn y b en Rm A x = b siempre tiene al menos una solución por mínimos cuadrados ( o por aproximación ) x*
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x* es una solución por mínimos cuadrados de A x = b
si y sólo si x* es una solución de las ecuaciones normales ATA x* = AT b
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A tiene columnas LI si y sólo si ATA es Invertible En este caso la solución de aproximación de A x = b es única y está dada por
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x* = ( AT A )-1ATb seudoinversa de A
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x - y = 0 x + y = SEL y = Inconsistente A x = b =
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Columnas de A LI ATA = Invertible x* única solución por aproximación
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x* = ( AT A )-1ATb x* =
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x* solución por mínimos cuadrados de A x = b
b – A x* error de mínimos cuadrados
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= b – A x* vector de error de mínimos cuadrados
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vector de error de mínimos cuadrados
1 - 2 3 = b A x* =
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error de mínimos cuadrados
=b – A x* 0,
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Observar las ecuaciones del sistema
x - y = – ( 0 -1/3 ) = 1/3 1 x + y = – ( 0 +1/3 ) = -1/3 2 y = – ( 0 +1/3 ) = 2/3 3
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Columnas de A LD ATA No es Invertible
las ecuaciones normales ATA x* = AT b tienen un número infinito de soluciones
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Buscaremos entonces la solución x* de menor longitud
(la más cercana al origen)
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Ajuste de Curvas por Mínimos Cuadrados
APLICACIONES Ajuste de Curvas por Mínimos Cuadrados
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Curvas que se ajustan aproximadamente a los datos
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Encontrar la recta que da el mejor ajuste para los puntos (1,4) , (-2,5), (3,-1) y (4,1)
y = b + mx
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Sistema Inconsistente
4 = b + m 5 = b - 2m -1 = b + 3m 1 = b + 4m Sistema Inconsistente
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Columnas de A LI ATA Invertible x* única solución por aproximación
= Columnas de A LI ATA Invertible x* única solución por aproximación
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x* = ( AT A )-1ATy x* = y = 3,57 – 0,88 x
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vector de error de mínimos cuadrados
= _ _ A x* y =
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error de mínimos cuadrados
=b – A x* 2,579224
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Observar la primera ecuación del sistema
4 = b + m 4 = 3,57 + (- 0,88) 4 – 2,69 = 1,31= 1 (primer componente del vector )
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Encontrar el mejor ajuste cuadrático para los puntos (1,4) , (-2,5), (3,-1) y (4,1)
y = a + bx + cx2
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Sistema Inconsistente
4 = a + b + c 5 = a - 2b + 4c -1 = a + 3b + 9c 1 = a + 4b + 16c Sistema Inconsistente
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Columnas de A LI ATA Invertible x* única solución por aproximación
= Columnas de A LI ATA Invertible x* única solución por aproximación
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x* = ( AT A )-1ATy x* = y = 3,75 – 0,81 x – 0,04 x2
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vector de error de mínimos cuadrados
_ = _ y x* A =
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error de mínimos cuadrados
=b – A x* 2,
49
Observar la primera ecuación del sistema
4 = a + b + c 4 = 3,75 +(- 0,81)+(- 0,04) 4 – 2,9 = 1,1= 1 (primer componente del vector )
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Curvas de Luz de Cometas
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El estudio de las curvas de luz visuales de los cometas nos pueden dar información sobre el tamaño aproximado que tiene el núcleo, la composición química del cometa, la razón gas-polvo, si el agua domina o no la actividad gaseosa del núcleo y otros parámetros físico-químicos más complejos del cometa
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Los astrónomos profesionales diferencian entre dos tipos de curvas de luz :
Visuales, proporcionan información sobre el agua y la actividad molecular. - CCD, proporcionan información acerca de la actividad del polvo en el cometa. Debido a las cámaras CCD actuales, se puede conocer la tasa de producción de polvo del cometa.
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Las curvas de luz de los cometas suelen representarse gráficamente a lo largo de 2 ejes:
eje x Tiempo eje y Magnitud visual o CCD Cada punto representa una unidad Visual.
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( ignorando la atracción gravitacional de los planetas ).
Según la primera ley de Kepler, un cometa debe tener una órbita elíptica, parabólica o hiperbólica ( ignorando la atracción gravitacional de los planetas ).
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r = β - e ( r cos θ ) En coordenadas polares adecuadas, la posición
( r, θ ) de un cometa satisface una ecuación de la forma: r = β - e ( r cos θ )
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r = β - e ( r cos θ ) β es una constante
donde : β es una constante e es la excentricidad de la órbita : 0 e < 1 para una elipse e = 1 para una parábola e > 1 para una hipérbola.
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Suponga que las observaciones de un cometa recientemente descubierto proporcionan los datos siguientes: θ , , , , ,14 r , , , , ,01
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Determine el tipo de órbita y pronostique dónde estará el cometa cuando
θ = 4,6 (radianes).
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r = β - e ( r cos θ ) Posiciones del cometa ( 3,00 , 0,88 )
( 2.30 , 1,10) ( 1,65 , 1,42 ) ( 1,25 , 1,77 ) ( 1,01 , 2,14 )
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3 = β - 1, e 2,30 = β - 1, e 1,65 = β - 0, e 1,25 = β + 0, e 1,01 = β + 0, e
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= A x b
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x* = ( AT A )-1ATy x* = 0 e < 1 La órbita es una elipse β e
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1,45 0,81 r = β - e ( r cos θ ) r = 1,45 / 1 + 0,81 cos θ
Produce r = 1,33 cuando θ = 4,6 radianes
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FIN
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APLICACIONES Ajuste de Curvas Por Mínimos Cuadrados
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