Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones factibles, en un problema de programación lineal (PPL).

Principales características Algoritmo eficiente y rápido para encontrar el óptimo. Determina la solución óptima sin evaluar todos los puntos extremos factibles. Capaz de detectar si existen múltiples soluciones, si la solución no está acotada, y si existe incompatibilidad de restricciones.

Ejemplo de PPL Para ilustrar el desarrollo del método simplex, consideremos el problema de los bolsos y mochilas presentado anteriormente, cuyo modelo matemático se expresa de la siguiente manera: MAX Z = 3 x1 + 5 x2 s.a. x1  4 2 x2  12 3 x1 + 2 x2  18 x1 , x2  0 Hemos visto que este modelo matemático tiene la forma de un problema de programación lineal (PPL).

Ejemplo de PPL El modelo anterior de PPL se puede expresar gráficamente de la siguiente manera, donde la recta en azul representa la FO en el punto óptimo: x2 x1 = 4 x2 = 6 6 4 Región Factible 3 x1 + 5 x2 = 36 2 x1 2 4 6 3 x1 + 2 x2 = 18

Variables de Holgura El método Simplex requiere convertir las restricciones en ecuaciones. Para convertir cada restricción del tipo () en (=) se debe agregar una nueva variable positiva llamada variable de holgura (hi). A las variables hi se les denomina de holgura porque representan la cantidad no utilizada del recurso i , es decir, es la diferencia entre la cantidad disponible del recurso i, y la cantidad utilizada.

Variables de Holgura Si agregamos las variables de holgura al ejemplo anterior, obtenemos el siguiente modelo matemático: MAX Z = 3 X1 + 5 X2 s.a. X1 + h1 = 4 2 X2 + h2 = 12 3 X1 + 2 X2 + h3 = 18 X1 , X2  0 h1, h2, h3,  0

Modelo PPL El modelo PPL anterior es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones: Z - 3 X1 - 5 X2 = 0 X1 + h1 = 4 2 X2 + h2 = 12 3 X1 + 2 X2 + h3 = 18 En este sistema se debe encontrar la solución que entregue el mayor valor para la variable Z. Además, se sabe que todas las otras variables deben ser mayores que cero.

Modelo PPL En el sistema de ecuaciones anterior existen 6 incógnitas (Z,X1,X2,h1,h2,h3), y sólo 4 ecuaciones. Luego, para obtener una solución, se debe: asignar un valor a 2 de las variables, y encontrar el valor de las otras 4 variables, resolviendo el sistema de ecuaciones resultante.

Modelo PPL Supongamos que en el sistema de ecuaciones anterior se asigna el valor cero a X1 y X2 (X1=X2=0), entonces se obtienen las siguientes ecuaciones: Z = 0 h1 = 4 h2 = 12 h3 = 18 De donde se puede obtener en forma directa el valor de las otras variables.

Modelo PPL Para el problema anterior, existen muchas alternativas para elegir las variables a las cuales les asignamos un valor, y para elegir el valor de estas variables. Cuando se asigna un valor de cero a las variables en exceso (respecto al número de ecuaciones), y se obtiene el valor de las variables restantes, la solución obtenida se llama Solución Básica. En la representación gráfica del problema, esta solución básica (Z,X1,X2,h1,h2,h3)=(0,0,0,4,12,18) corresponde al origen (X1=X2=0), y el valor de la FO es cero (Z=0). El valor de las variables de holgura es igual a la disponibilidad total de recurso, porque cuando las variables de decisión son cero, no se consumen recursos.

Solución básica Cuando se tiene N variables y m ecuaciones (m<N), entonces una solución básica está compuesta por: N - m variables = 0 (var. no básicas) m variables > 0 (var. básicas)

Forma canónica En el sistema de ecuaciones anterior, al hacer X1=X2=0, se obtuvieron en forma inmediata los valores de las otras variables (Z,h1,h2,h3). Esto se debe a que las ecuaciones estaban en forma canónica para Z, h1, h2 y h3. Siempre es posible llevar un sistema de ecuaciones a forma canónica, realizando operaciones algebraicas con las ecuaciones. Un sistema de ecuaciones está en forma canónica cuando las variables básicas tienen coeficiente 1 en una sola ecuación, y coeficiente cero en todas las otras. Además, cada variable básica debe tener coeficiente 1 en una ecuación distinta.

Forma canónica Ejemplo: Para el sistema de ecuaciones anterior, expresarlo en forma canónica de manera que las variables básicas sean: Z, X2, h1, h3 . Z - 3 X1 - 5 X2 = 0 (1) X1 + h1 = 4 (2) 2 X2 + h2 = 12 (3) 3 X1 + 2 X2 + h3 = 18 (4)

Forma canónica Para ello: Z - 3 X1 + 5/2 h2 = 30 1 Se multiplica la ecuación (3) por 1/2. 2 Se remplaza la ecuación (1) por (1) + 5 x (1 modificada). 3 Se reemplaza la ecuación (4) por (4) - 2 x (1 modificada). Con lo cual se obtiene lo siguiente: Z - 3 X1 + 5/2 h2 = 30 X1 + h1 = 4 X2 + 1/2 h2 = 6 3 X1 - h2 + h3 = 6

Forma canónica En el ejemplo anterior, se ha cambiado la solución, porque se ha cambiado una variable básica por una no básica, según se detalla a continuación: Antes Después Var Básicas (BASE) Z, h1, h2, h3 Z, h1, X2, h3 Var No básicas X1, X2 X1, h2 En la situación anterior, se dice que: La variable X2 entró a la base (tomó un valor > 0) La variable h2 salió de la base (tomó un valor = 0)

Ejemplo de PPL En el modelo anterior de PPL, este cambio de solución básica equivale a moverse desde el punto (0,0) al punto (0,6) de la gráfica. (Z,X1,X2,h1,h2,h3)=(0,0,0,4,12,18) ---> (Z,X1,X2,h1,h2,h3)=(30,0,6,4,0, 6) x2 x1 = 4 x2 = 6 6 4 Región Factible 3 x1 + 5 x2 = 36 2 x1 2 4 6 3 x1 + 2 x2 = 18

Ejemplo de PPL Es importante notar que cada vértice corresponde a una solución básica, y que las variables no básicas permiten identificar a las rectas de frontera que definen cada vértice. Vértice Solución (0,0) ( 0,0,0,4,12,18) (0,6) (30,0,6,4, 0, 6) , y de igual forma para cada vértice Vértice Vars No Básicas Rectas correspondiente (0,0) X1 , X2 X1= 0 , X2 = 0 (0,6) X1 , h2 X1= 0 , 2 X2 + h2 = 12

Ejemplo de PPL Pregunta: Cuál es la solución básica y las rectas de definición correspondientes al vértice (2,6) ? x2 x1 = 4 x2 = 6 6 4 Región Factible 3 x1 + 5 x2 = 36 2 x1 2 4 6 3 x1 + 2 x2 = 18

Fundamentos del método simplex 1 Los vértices de la región factible se llaman soluciones factibles en el vértice (FEV). 2 Si el problema es acotado (existe una región factible) entonces existe un número finito de soluciones FEV. 3 Si el problema es acotado, existe al menos una solución óptima factible que corresponde a una solución FEV. 4 Si una solución FEV es mejor (o igual) que todas las soluciones FEV adyacentes, entonces esta solución es óptima.

Fundamentos del método simplex 5 Las soluciones FEV siempre corresponden a una solución básica (para el sistema de ecuaciones obtenido al agregar las variables de holgura al modelo de PPL).

Método simplex Consiste en avanzar hacia el óptimo a través de los puntos extremos (vértices), en el sentido en que la función objetivo (Z) aumenta. Para ello, utiliza una solución básica factible, evalúa si es óptima, y si no lo es, extrae una variable de la base y se introduce otra, de manera que aumente el valor de la función objetivo.

Método simplex INICIALIZACION SOLUCION OPTIMA ? FIN SI NO ITERACION: 1 DEFINIR VARIABLE QUE ENTRA (hacia dónde) 2 DEFINIR VARIABLE QUE SALE (hasta dónde) 3 DETERMINAR NUEVA SOLUCION BASICA

Presentación tabular Para trabajar se utiliza un cuadro resúmen llamado “Tableau”. Variables de Decisión Variables de Holgura VB CB XB x1 x2 .. xn h1 h2 .. hm  Indica si se está maximizando o minimizando la FO Z z1-c1 z2-c2 .. zn-cn z1-c1 z2-c2 .. zm-cm Max/Min c1 c2 .. cn c1 c2 .. cm Coeficientes en la Función Objetivo

Presentación tabular Para trabajar se utiliza un cuadro resúmen llamado “Tableau”. Coeficientes de las variables en las ecuaciones VB CB XB x1 x2 .. xn h1 h2 .. hm  Z z1-c1 z2-c2 .. zn-cn z1-c1 z2-c2 .. zm-cm Max/Min c1 c2 .. cn c1 c2 .. cm “Lado derecho” de las ecuaciones

Presentación tabular Para trabajar se utiliza un cuadro resúmen llamado “Tableau”. Variables básicas de la solución actual VB CB XB x1 x2 .. xn h1 h2 .. hm  Z z1-c1 z2-c2 .. zn-cn z1-c1 z2-c2 .. zm-cm Max/Min c1 c2 .. cn c1 c2 .. cm Coeficientes en la FO de las variables básicas actuales

Presentación tabular zj =  aij ti Observación: Los coeficientes de la ecuación de la FO se pueden calcular, una vez que se han llevado las otras ecuaciones a la forma canónica, como zj - cj, donde: ti: son los valores de las m variables básicas en la solución actual aij: son los coeficientes de las m ecuaciones para la variable j en la solución actual zj =  aij ti

Método simplex Consideremos nuevamente el PPL de los bolsos y mochilas, y apliquemos las etapas del método simplex: MAX Z = 3 x1 + 5 x2 s.a. x1  4 2 x2  12 3 x1 + 2 x2  18 x1 , x2  0

Método simplex INICIALIZACION SOLUCION OPTIMA ? FIN SI NO ITERACION: 1 DEFINIR VARIABLE QUE ENTRA (hacia dónde) 2 DEFINIR VARIABLE QUE SALE (hasta dónde) 3 DETERMINAR NUEVA SOLUCION BASICA

Método simplex La etapa de Inicialización contempla los siguientes pasos: 1 Se incorporan las variables de holgura a las restricciones 2 Se definen las variables de holgura como variables básicas 3 Se registra la información en la tabla inicial del simplex

Método simplex Agregando las variables de holgura, y expresándolas como variables básicas en forma canónica, tenemos lo siguiente: Z - 3 X1 - 5 X2 = 0 X1 + h1 = 4 2 X2 + h2 = 12 3 X1 + 2 X2 + h3 = 18

Método simplex Al registrar la información en la tabla del simplex se obtiene lo siguiente: VB h1 h2 h3 CB XB X1 X2 1 3 2 - 5 5 - 3 4 12 18 zj - cj Ecuación de la FO Esta tabla es el Tableau Inicial del Método Simplex

Método simplex INICIALIZACION SOLUCION OPTIMA ? FIN SI NO ITERACION: 1 DEFINIR VARIABLE QUE ENTRA (hacia dónde) 2 DEFINIR VARIABLE QUE SALE (hasta dónde) 3 DETERMINAR NUEVA SOLUCION BASICA

Método simplex Criterio de optimalidad: Para identificar si la solución básica actual es óptima, se revisan los coeficientes zj - cj de las variables no básicas (los de las variables básicas son cero cuando la solución está en forma canónica). La solución es óptima si los zj - cj son mayores o iguales que cero. Si los zj - cj son todos positivos se ha llegado al óptimo, sino se debe continuar.

Método simplex En este caso los zj - cj son menores que cero, luego esta solución no es óptima: VB 4 12 18 CB XB X1 X2 h1 h2 h3 1 3 2 - 5 5 - 3 zj - cj Max

Método simplex INICIALIZACION SOLUCION OPTIMA ? FIN SI NO ITERACION: 1 DEFINIR VARIABLE QUE ENTRA (hacia dónde) 2 DEFINIR VARIABLE QUE SALE (hasta dónde) 3 DETERMINAR NUEVA SOLUCION BASICA

Método simplex 1 Criterio para determinar la variable que entra a la base: Se selecciona como variable básica entrante aquella que incrementa más rápidamente la F.O. Para ello, se selecciona como variable que entra la que tiene los coeficientes zj - cj más negativos.

Método simplex En este caso el valor más negativo de zj - cj corresponde a la variable X2 , luego se elige X2 como la variable que entra a la base. VB 4 12 18 CB XB X1 X2 h1 h2 h3 1 3 2 - 5 5 - 3 zj - cj Max

Método simplex INICIALIZACION SOLUCION OPTIMA ? FIN SI NO ITERACION: 1 DEFINIR VARIABLE QUE ENTRA (hacia dónde) 2 DEFINIR VARIABLE QUE SALE (hasta dónde) 3 DETERMINAR NUEVA SOLUCION BASICA

Método simplex 2 Criterio para determinar la variable básica que sale: Se elige como variable básica que sale aquella que llega más rápidamente a cero al incrementar la variable entrante. Para ello, se selecciona como variable básica que sale la que tiene el menor valor de XBi /Yij , para todos los Yij > 0. Yij es el coeficiente de la variable j en la ecuación (o reglón) i.

Método simplex En este caso el menor valor de XBi/Yij corresponde a la segunda ecuación (reglón 2), luego h2 es la variable que sale de la base. Pivote VB 4 12 18 CB XB X1 X2 h1 h2 h3 1 3 2 - 5 5 - 3 Yij = 0 12/2 = 6 18/2 = 9 Max Yij

Método simplex INICIALIZACION SOLUCION OPTIMA ? FIN SI NO ITERACION: 1 DEFINIR VARIABLE QUE ENTRA (hacia dónde) 2 DEFINIR VARIABLE QUE SALE (hasta dónde) 3 DETERMINAR NUEVA SOLUCION BASICA

Método simplex 3 Determinar nueva solución básica: Para determinar la nueva solución básica, se debe hacer lo siguiente: Reemplazar la variable que sale por la variable que entra. Llevar la nueva solución básica a la forma canónica.

Método simplex Después de reemplazar X2 por h2 en la base, y de llevar a la forma canónica, se tiene lo siguiente: VB 4 6 CB 5 XB X1 X2 h1 h2 h3 1 3 1/2 - 1 - 3 30 5/2 Max Nueva variable básica Nueva base canonizada

Método simplex Siguiendo con el desarrollo del metodo simplex para este problema tenemos:

Método simplex Prueba de optimalidad: VB 4 6 CB 5 XB X1 X2 h1 h2 h3 1 CB 5 XB X1 X2 h1 h2 h3 1 3 1/2 - 1 - 3 30 5/2 Max Esta solución aún no es óptima

Método simplex Iteración: 1 Definir variable que entra VB 4 6 CB 5 XB CB 5 XB X1 X2 h1 h2 h3 1 3 1/2 - 1 - 3 30 5/2 Max Entra X1 a la base

Método simplex Iteración : 2 Determinar variable que sale 4/1 = 4 VB 4 6 CB 5 XB X1 X2 h1 h2 h3 1 3 1/2 - 1 - 3 30 5/2 4/1 = 4 Yij = 0 6/3 = 2 Max Yij

Método simplex Iteración: 3 Determinar nueva solución básica VB 2 6 CB CB 5 3 XB X1 X2 h1 h2 h3 1 1/3 1/2 -1/3 36 3/2 Max Nueva variable básica Nueva base canonizada

Método simplex Prueba de optimalidad: VB 2 6 CB 5 3 XB X1 X2 h1 h2 h3 CB 5 3 XB X1 X2 h1 h2 h3 1 1/3 1/2 -1/3 36 3/2 Max Solución óptima

Método simplex FIN

Método simplex Observación: En el sistema de ecuaciones de un PPL con n variables de decisión y m restricciones, siempre tendremos: n + m variables (n de decisión y m de holgura) m ecuaciones (por las m restricciones) Luego, las soluciones básicas para un PPL de n variables de decisión y m restricciones tendrán: m variables básicas (> 0) n variables no básicas (= 0)