CARACTERISTICAS DE LA PROGRAMACION DINAMICA, DESCOMPOSICIÓN, ETAPAS Y VARIABLES DEL ESTADO Hernández Camacho Víctor Jesus Islas Sánchez Karla Vanessa Mendoza Zacatenco Viridiana Mondragón Ramírez Alexis Fernando

INTRODUCCIÓN Muchos problemas de programación matemática determinan soluciones que repercuten en la formulación de los problemas a resolver en el próximo periodo o etapa. Una alternativa es construir un único modelo completo que tenga un gran conjunto de variables indexadas por etapas e internalizar las relaciones entre etapas como una restricción del problema. Sin embargo esto pude agrandar mucho el tamaño del problema. Surge así Programación Dinámica (PD) como una alternativa de descomposición en que resolvemos sub- problemas mas pequeños y luego los ligamos. Así la Programación Dinámica consiste en solucionar el presente suponiendo que en cada etapa futura siempre se tomaran las decisiones correctas.

PROGRAMACION DINAMICA La programación dinámica es un enfoque general para la solución de problemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. Las decisiones tomadas en una etapa condicionan la evolución futura del sistema, afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrará en el futuro (denominadas estados), y a las decisiones que se plantearán en el futuro. El modelado de problemas de programación dinámica no sigue una forma estándar. Así, para cada problema será necesario especificar cada uno de los componentes que caracterizan un problema de programación dinámica.

La programación dinámica está basada en el principio de optimalidad de Bellman: "Una política (conjunto de decisiones) óptima tiene la propiedad de que cualquiera que sea el estado inicial y las decisiones mismas, las decisiones restantes constituyen una política óptima con respecto al estado resultante de la primera decisión". En la programación dinámica sólo hay que conocer una pequeña cantidad de datos en cada etapa, a fin de describir el problema. Realmente los problemas de programación dinámica se caracterizan por la dependencia del resultado de las decisiones de una pequeña cantidad de variables. Además, en cualquier etapa el resultado de una decisión altera los valores numéricos de la pequeña cantidad de variables relacionadas con el problema. La decisión real no aumenta ni disminuye el número de factores de los que dependen los resultados. Por lo anterior, habrá que tomar en cuenta el mismo número de variables para la, siguiente decisión de la serie.

Características Puede utilizarse en problemas lineales o no lineales, determinísticos o estocásticos, uní o multivariados Es útil para resolver un problema donde se debe tomar una serie de decisiones interrelacionadas Formato general: A diferencia de la Programación Lineal, la Programación Dinámica no tiene formulación matemática estándar. Se trata de un enfoque tipo general para la solución de problemas y las ecuaciones se derivan de sus condiciones individuales. El problema no se puede dividir por etapas que requieren una decisión en cada una de ellas

Cada etapa tiene cierto numero de estados asociados a su inicio Cada etapa tiene cierto numero de estados asociados a su inicio. Estados son las diferentes condiciones posibles en las que se puede encontrar el sistema en cada etapa El efecto de la decisión en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con el INICIO de la siguiente etapa Para que un problema pueda ser resuelto con la técnica de Programación Dinámica, debe cumplir con ciertas características: Naturaleza secuencial de las decisiones: El problema puede ser dividido en etapas. Cada etapa tiene un numero de estados asociados a ella. La decisión ´optima de cada etapa depende solo del estado actual y no de las decisiones anteriores. La decisión tomada en una etapa determina cual será el estado de la etapa siguiente. En síntesis, la política óptima es de un estado “s” de la etapa “k” a la etapa final esta constituida por una decisión que transforma “s” en un estado “s” 0 de la etapa k + 1 y por la política óptima desde el estado s 0 hasta la etapa final

Etapas y variables del estado La programación dinámica permite resolver problemas que se caracterizan por etapas definidas con variables de estado. Estas variables de estado definen la condición del sistema para cada una de las etapas consideradas. Las etapas serían los periodos sucesivos considerados; el programa de cada periodo quedaría definido por los valores que tomen las variables de estado. Se pueden distinguir etapas dentro de la solución de problemas de naturaleza estática La programación dinámica puede resolver problemas de programación de etapas múltiples, en donde las decisiones en una etapa se convierten en una parte de las condiciones que determinan las mejores alternativas en las etapas sucesivas. No existe límite en el número de variables de estado y tampoco existe la limitación de que sean discretas Si las variables son continuas la mecanización de los cálculos se vuelve muy compleja

¿a QUE PROGRAMAS SE APLICA? Esta técnica se aplica sobre problemas que a simple vista necesiten un alto coste computacional (Posiblemente exponencial) donde: Subproblemas optímales: La solución optima a un problema puede ser definida en función de soluciones optimas a sub- problemas de tamaño menor, generalmente de forma recursiva Solapamiento entre sub-problemas: Al plantear la solución recursiva, un mismo problema se resuelve más de una vez

Resolución de un problema de programación dinámica 1-. IDENTIFICACIÓN DE ETAPAS, ESTADOS Y VARIABLE DE DESICIÓN Cada etapa debe tener asociado una o mas decisiones (problema de optimización), cuya dependencia de las decisiones anteriores esta dada exclusivamente por las variables de estado. Cada estado debe contener toda la información relevante para la toma de decisión asociada al periodo. Las variables de decisión son aquellas sobre las cuales debemos definir su valor de modo de optimizar el beneficio acumulado y modificar el estado de la próxima etapa.

2-. DESCRIPCION DE ECUACIONES DE RECURRENCIA Nos deben indicar como se acumula la función de beneficios a optimizar (función objetivo) y como varían las funciones de estado de una etapa a otra 3-. RESOLUCIÓN Debemos optimizar cada sub-problema por etapas en función de los resultados de la resolución del sub-problema siguiente. Notar que para que las recurrencias estén bien definidas requerimos de condiciones de borde

CONCLUSIONES La Programación Dinámica nos permite resolver un problema hallando soluciones sucesivas a sub-problemas de menor tamaño y ligándolas como solución optima del problema. Consiste en solucionar el presente suponiendo que en cada etapa futura siempre se tomaran las decisiones correctas.