La minimización de los Costos Capítulo 19 La minimización de los Costos

Cost Minimization Una empresa es minimizadora de costos si obtiene cualquier nivel de producción y ³ 0 al costo más bajo posible. c(y) denota el costo total más bajo posible par producir y unidades de producto. c(y) es el costo total de la empresa.

Cost Minimization Cuando la empresa enfrenta como dados los precios de los insumos w = (w1,w2,…,wn) el costo total se escribe como: c(w1,…,wn,y).

The Cost-Minimization Problem Consideremos una empresa que emplea dos insumos para obtener un cierto producto. La función de producción es y = f(x1,x2). Tomemos el volúmen de producción y ³ 0 como dado. Dados los precios de los insumos, w1 y w2, el costo del conjunto de insumos (x1,x2) es w1x1 + w2x2.

The Cost-Minimization Problem Dados los precios, w1 y w2 y el volúmen de producción y, el problema de minimización de costos de la empresa es Sujeto a

The Cost-Minimization Problem Las cantidades x1*(w1,w2,y) y x1*(w1,w2,y) en el conjunto de insumos de menor costo, vienen a ser las demandas condicionales de la empresa por los insumos 1 y 2. El costo total (más bajo posible) para producir el nivel y es, en consecuencia

Conditional Input Demands Dados w1, w2 e y, ¿cómo encontramos el conjunto de insumos de menor costo? ¿y cómo la estimamos?

Iso-cost Lines La curva que contiene todas las canastas de insumos con el mismo costo total se conoce como curva isocosto. Por ejemplo, dados w1 y w2, la recta isocosto para un costo de $100 tiene la ecuación

Iso-cost Lines Generalmente, dados w1 y w2, la ecuación de la isocosto está dada por o, lo que es lo mismo La pendiente es - w1/w2.

Iso-cost Lines x2 c” º w1x1+w2x2 c’ º w1x1+w2x2 c’ < c” x1

Iso-cost Lines c” º w1x1+w2x2 c’ º w1x1+w2x2 x2 pendiente = -w1/w2. c’ < c” x1

La isocuanta de producción y’ x2 De todos los conjuntos de factores que generan y’ unidades de producto, ¿cuál es la de menor Costo? f(x1,x2) º y’ x1

El problema de minimización de costos x2 De todos los conjuntos de factores que generan y’ unidades de producto, ¿cuál es la de menor Costo? f(x1,x2) º y’ x1

x2 f(x1,x2) º y’ x1

x2 f(x1,x2) º y’ x1

x2 x2* f(x1,x2) º y’ x1* x1

Para este conjunto de insumos: x2 x2* f(x1,x2) º y’ x1* x1

Y la pendiente de la isocosto = pendiente de la isocuanta x2 Y la pendiente de la isocosto = pendiente de la isocuanta x2* f(x1,x2) º y’ x1* x1

x2 En otras palabras: x2* f(x1,x2) º y’ x1* x1

Un ejemplo con la función de producción Cobb-Douglas Los precios de los insumos son w1 y w2. ¿Cuáles son las demandas condicionales de insumos de la empresa?

Para el conjunto de insumos (x1*,x2*) que minimiza el costo de producir y unidades se cumple: y

(a) (b)

(a) (b) De (b),

(a) (b) De (b), Y sustituyendo en (a)

En consecuencia Es la demanda condicional del insumo 1 por parte de la empresa.

Como y Es la demanda condicional del insumo 2 por parte de la empresa.

Así, el conjunto de insumos de menor costo para producir y unidades, es

Curvas de demanda condicional de insumos w1 y w2, están dados

w1 y w2, están dados

w1 y w2, están dados

w1 y w2, están dados

w1 y w2, están dados Ruta de expansión de la producción

w1 y w2, están dados Ruta de expansión de la producción Demanda condicional del insumo 2 w1 y w2, están dados Ruta de expansión de la producción Demanda condicional del insumo 1

Para la función de producción El conjunto de insumos de menor costo para obtener y unidades es

En consecuencia, la función de costo total de la empresa es

Un ejemplo con la función de producción de complementarios perfectos La función de producción es Los precios de los insumos son w1 y w2. ¿Cuál es la demanda condicional por el insumo 1 y por el insumo 2? ¿Cuál es la función de costo total de la empresa?

x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} º y’ x1

x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} º y’ x1

¿Dónde se enuentra el conjunto de insumos de menor costo y que permite obtener y’ unidades? x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} º y’ x1

x2 4x1 = x2 x2* = y min{4x1,x2} º y’ x1* = y/4 x1

La función de producción es Y las demandas condicionales de insumos son y

Y la función de costo total de la empresa es

Costo Medio de Producción Para valores positivos de y, el costo medio de producir y unidades es

Retornos a escala y costo total Las retornos a escala de la tecnología de una empresa, determinan cómo cambia el costo medio con el nivel de producción. La empresa está ahora produciendo y’ unidades. ¿Cómo cambia el costo medio si la producción fuera 2y’?

Retornos a escala constantes y costo medio Si la tecnología de la empresa presenta retornos a escala constantes, entonces al duplicar el nivel de producción se requiere duplican también el empleo de todos los insumos.

El costo total se duplica.

El costo medio no cambia.

Retornos a escala decrecientes y costo total Si la tecnología de la empresa presenta retornos a escala decrecientes y se duplica el volúmen de producción, de y’ a 2y’, entonces se necesita más del doble de empleo de todos los insumos.

El costo total es más del doble.

El costo medio se incrementa.

Retornos a escala crecientes y costo total Si la empresa presenta retornos a escala crecientes y se duplica la producción, de y’ a 2y’, entonces se requiere el empleo de menos del doble de todos los insumos.

El costo total es menos del doble.

El costo medio disminuye.

Retornos a escala y costo total CMe(y) r.e. decrecientes r. e. constantes r.e. crecientes y

¿Qué implica esto en relación a la forma de las curvas de costos?

El costo medio se incrementa con y si la empresa presenta r. e El costo medio se incrementa con y si la empresa presenta r. e. decrecientes. $ c(2y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’). pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’). c(y’) y’ 2y’ y

$ c(y) c(2y’) c(y’) y’ 2y’ y pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’).

El costo medio disminuye con y si la empresa presenta r.e. crecientes $ c(2y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’). c(y’) pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’). y’ 2y’ y

El costo medio disminuye con y si la empresa presenta r.e. crecientes $ c(y) c(2y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’). c(y’) pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’). y’ 2y’ y

El costo medio es constante si la emprese presenta r.e. constantes $ c(y) c(2y’) =2c(y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = 2c(y’)/2y’ = c(y’)/y’  CMe(y’) = CMe(2y’). c(y’) y’ 2y’ y

Costos en el corto plazo y en el largo plazo En el largo plazo la empresa puede modificar el nivel de empleo de todos sus insumos. Consideremos una empresa que no puede modificar el nivel de empleo del insumo 2, x2’ unidades. ¿cómo se puede comparar el costo total de corto plazo de producir y unidades con el costo total de largo plazo de producir las mismas y unidades?

El problema de minimización de costos en el largo plazo es El problema de minimización de costos en el corto plazo es Sujeto a Sujeto a

El problema de minimización de costos en el corto plazo es el problema de minimización de costos en el largo plazo suje a la restricción adicional: x2 = x2’. Si el nivel óptimo de empleo del insumo 2 en el largo plazo es x2’ entonces esta restricción adicional x2 = x2’ , no es realmente una restricción y el costo de producir y unidades en el corto plazo y en el largo plazo es el mismo.

Pero, si en el largo plazo x2 ¹ x2” entonces esta restricción adicional previene a la empresa en el corto plazo para alcanzar el costo de largo plazo, provocando que el costo en el corto plazo sea mayor al costo en el largo plazo.

Consideremos tres niveles de producción x2 x1

En el largo plazo, cuando la empresa es libre de determinar la cantidad de los insumos 1 y 2, el conjuntos de insumos de menor costo es ... x2 x1

x2 Ruta de expansión en el largo plazo x1

Los costos en el largo plazo son: x2 Ruta de expansión en el largo plazo x1

Ahora, supongamos que la empresa está sujeta a la restricción de corto plazo x2 = x2”.

Los costos en el largo plazo son: Ruta de expansión de corto plazo x2 x1

Los costos en el largo plazo son: Ruta de expansión de corto plazo x2 x1

Los costos en el largo plazo son: Ruta de expansión de corto plazo x2 Los costos en el corto plazo son: x1

Los costos en el largo plazo son: Ruta de expansión de corto plazo x2 Los costos en el corto plazo son: x1

Los costos en el largo plazo son: Ruta de expansión de corto plazo x2 Los costos en el corto plazo son: x1

Los costos en el largo plazo son: Ruta de expansión de corto plazo x2 Los costos en el corto plazo son: x1

El costo total de corto plazo es mayor al costo total de largo plazo, con excepción del nivel de producción donde la restricción del insumo en el corto plazo es igual al nivel de empleo del insumo en el largo plazo. Esto significa que la curva de costo total de largo plazo siempre tiene un punto en común con la curva de costo total de corto plazo.

La curva de costo total de corto plazo siempre tiene un punto en común con la curva de costo total de largo plazo y es mayor a la curva de costo total de largo plazo en cualquier otro punto de su recorrido. $ cs(y) c(y) y