INTELIGENCIA ARTIFICIAL Cinemática Directa Mg. Samuel Oporto Díaz

Mapa Conceptual del Curso Inteligencia y Conocimiento Patrones Agentes Coordinación y Sincronización Robótica de Manipuladores Robótica Móvil Procesamiento de Imágenes Redes Neuronales

Tabla de Contenido REPRESENTACIÓN POSICIÓN Y ORIENTACIÓN TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Parámetros Denavit-Hartenber

Objetivos Al final del curso el alumnos estará en capacidad de: Describir y analizar movimientos rígidos. Describir las ecuaciones cinemáticas de un manipulador y operar con los resultados de las ecuaciones. Resolver problemas de cinemática inversa

REPRESENTACION DE POSICION Y ORIENTACION EN EL ESPACIO

Orientación de los ejes en 3-D Regla de la mano derecha X Z Y Z Y X Z Y X

Ejercicio 1 Para los siguientes sistemas de referencia, indique la orientación de los ejes (el lado positivo). Y X Z X Y Z

Sistema de Referencia Es el sistema de coordenadas con respecto al cual se realizan los cálculos. Se hace uso del sistema de coordenadas cartesianas. {A} x y z Xi I x Pf x y z X’ {B} x Px β Pi Yi {C} Y’

Movimiento del efector final La manipulación de piezas mediante un robot implica conocer la posición del efector final y la orientación que tiene, con respecto a la base del robot. x y z x y z POSICION ORIENTACION

POSICION Una vez que se establece un sistema de coordenadas, podemos localizar cualquier punto en el espacio con un vector de posición (3x1). Se indica con un superíndice el sistema de coordenadas al cual dicho vector es referido. px py pz AP =

ORIENTACION Para describir la orientación de un cuerpo respecto de un sistema de coordenadas dado, se le asigna solidariamente a este, otro sistema de coordenadas. Luego se da la “descripción” de este sistema de coordenadas “relativa” al sistema de coordenadas de referencia. Existen varios métodos para representar la orientación: Matriz de Rotación. Ángulos de Euler (ZXZ y ZYZ) Roll, pitch y yaw. Vector -ángulo (o par de rotación). Cuaternios.

Giro en ángulo positivo Eje + θ +

ORIENTACION

ORIENTACION La orientación de B con respecto a A es representado por: Z θ Y θ

Coordenadas Homogéneas Las matrices que indican la posición y orientación de un espacio no es suficiente para describir un espacio. Por lo que es necesario incluir algunos conceptos adicionales. La nueva matriz incluye la perspectiva y la escala. T = = R3x3 p3x1 f1x3 w1x1 Rotación Traslación Perspectiva Escalado

TRANSFORMACION DE COORDENADAS

TRASLACION Cómo expresar la traslación de sistemas de coordenadas: Sea el espacio {B} que se desplaza P con respecto al espacio {A} XB YB ZB {B} XA YA ZA {A} P 1 0 0 px 0 1 0 py 0 0 1 pz 0 0 0 1 A B T =

Ejercicio 2 Sea el espacio {A} y el vector AP = [2 3 4]T. Indique la matriz de transformación para trasladar el espacio {A} en una distancia dada por el ventor P. Esta matriz permite trasladar cualquier punto en el espacio {B} hacia el espacio {A}. Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes puntos dados en el espacio {B}. [1 2 3]T, [3 4 5]T, [3 2 1]T Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes puntos dados en el espacio {A}. [1 2 2]T, [3 3 5]T, [3 2 2]T

Ejercicio 2 Matriz de transformación de B hacia A. = T = = = 1 2 3 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 5 7 = 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 A B T = 3 4 5 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 7 9 = 3 2 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 5 =

Ejercicio 2 Matriz de transformación de A hacia B. = T = = = 1 2 3 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 5 7 = 1 0 0 -2 0 1 0 -3 0 0 1 -4 0 0 0 1 B A T = 3 4 5 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 7 9 = 3 2 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 5 =

Ejercicio 3 Cierto sistema, se traslada en P1, luego se traslada en P2 y luego en P3, para obtener finalmente el sistema {B}. P1 = [-3, 3, 2]T, P2 = [2, 4 -1]T, P3 = [0, -2, 4]T Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes puntos dados en el espacio {B}. [1 2 3]T, [3 4 5]T, [3 2 1]T Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes puntos dados en el espacio {A}. [-1 2 3]T, [2 2 2]T, [3 -2 1]T

ROTACION Cómo expresar la rotación de coordenadas. Se implementará la función R( eje, ángulo) La función indica la orientación del nuevo sistema de referencia con respecto al primero, cuando se rota cierto eje en cierto ángulo. La rotación positiva se considera tomando en consideración la regla de la mano derecha.

Rotación en el eje X Definir las matrices de rotación para los ejes X, Y, Z

Ejercicio 4 El sistema {A}, se rota 60º, alrededor del eje Z, calcule la ubicación en el sistema {A} del punto P = [2, 3, 4]T, dado en el sistema {B}

Ejercicio 4 Y X 60º 60º cπ/3 -sπ/3 0 0 cπ/3 cπ/3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Z Y Y 60º X 60º cπ/3 -sπ/3 0 0 cπ/3 cπ/3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 cπ/3 -sπ/3 0 0 cπ/3 cπ/3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Rot(z, π/3) =

Ejercicio 5 El sistema {A}, se rota 60º, alrededor del eje X, luego 60º alrededor del eje Y y luego 60º alrededor del eje Z. Calcule la ubicación en el sistema {A} del punto P = [2, 3, 4]T, dado en el sistema {B}

Parámetros Denavit-Hartenber

Conceptos de robótica Cadena cinemática abierta formada por eslabones y articulaciones: Rotación Prismáticas Estudio cinemático Estudio dinámico

Conceptos de geometría espacial Consideraremos como sistemas de referencia los formados por tres ejes rectilíneos (X,Y,Z): Ortogonales (perpendiculares 2 a 2) Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de cada eje son iguales) Dextrógiros (el tercer eje es producto a vectorial de los otros 2)

Conceptos de geometría espacial Las coordenadas de un punto P(x,y,z), son las proyecciones de dicho punto perpendicular a cada eje. Utilización de las llamadas coordenadas generalizadas:

Traslaciones y Rotaciones

Matriz de Transformación T Matriz de dimensión 4X4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro. relaciona el sistema de referencia solidario al punto terminal con un sistema de referencia fijo (mundo).

Cinemática directa Encontrar la forma explicita de la función que relaciona el espacio de articulaciones del robot (dimensiones de los eslabones y giros relativos) con el espacio cartesiano de posiciones/orientaciones. (x, y, z, α, β, γ) = f (q1,q2,...,qn)

Resolución cinemática directa Sn = T . S0 Sn es el origen del sistema de referencia del extremo del robot (pinza) en coordenadas generalizadas S0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot.

Cinemática inversa Consiste en determinar la configuración que debe adoptar un robot para una posición y orientación del extremo conocidas. No existe solución única. (q1,q2,...,qn) = f(x, y, z, α, β, γ)

Obtención de la matriz T Sencillo para cadenas cinemáticas abiertas de cualquier número de grados de libertad, pero complejo para el caso de cadenas cinemáticas cerradas. Parámetros de D-H.

Algoritmo Elegir un sistema de coordenadas fijo (X0, Y0, Z0) asociado a la base del robot Localizar el eje de cada articulación Z: Si la articulación es rotativa, el eje será el propio eje de giro. Si es prismática, el eje lleva a dirección de deslizamiento.

Algoritmo Situar los ejes X el la línea normal común a Zi-1 y Zi. Si estos son paralelos, se elige la línea normal que corta ambos ejes El eje Yi debe completar el triedro dextrógiro

Algoritmo Parámetros de D-H: αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular a Xi. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd). ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi, a lo largo de Xi. El signo lo define el sentido de Xi. θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi, sobre el plano perpendicular a Zi,. El signo lo determina la rmd. di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi, con el eje Xi. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento.

Algoritmo αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular a X. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd).

Algoritmo ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi, a lo largo de Xi. El signo lo define el sentido de Xi.

Algoritmo θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi, sobre el plano perpendicular a Zi,. El signo lo determina la rmd.

Algoritmo di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi, con el eje Xi. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento.

Ejemplo

Obtención de T Matriz de transformación desde el sistema i-1 hasta el i.

Resolución cinemática directa Resolución cinemática directa Sn = T . S0 Sn es el origen del sistema de referencia de la pinza en coordenadas generalizadas S0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot.

Puma 560

Bibliografía John Craig, “Introduction to robotics,” Addison Wesley. G. Dudek and M. Jenkin, “Computational Principles of Mobile Robotics,” Cambridge University Press.

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