P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 1 Repaso de clase anterior Estimación de parámetros por el método de Máxima Verosimilitud.

P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 2 Estimación por el método de los momentos. Dada una variable aleatoria X llamamos momento de orden k de X a μ k (X)=E(X k ) Supongamos X 1,…,X n iid con distribución F que depende de una cantidad d de parámetros desconocidos pero que sabemos que sus momentos de orden k son finitos para k=1,…,d. Obsérvese que dichos momentos serán funciones de los parámetros desconocidos. Ejemplo: si la distribución F es N(μ,σ 2 ) y ambos parámetros son desconocidos, se tiene que μ 1 = μ, μ 2 = μ 2 + σ 2.

P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 3 La LFGN nos dice que si n es grande, S k =(1/n)(X 1 k +…+X n k ) estará muy cerca de μ k por lo cual si asumimos que μ k fuera igual a S k para k de 1 a d y usamos estos valores para “despejar” los d parámetros desconocidos tendríamos una estimación razonable de los mismos. Ejemplo: Volvamos al caso en que F es N(μ,σ 2 ) y ambos parámetros son desconocidos: vimos que μ 1 = μ, μ 2 = μ 2 + σ 2. Tomemos S 1 (promedio de los datos) y S 2 (promedio de los cuadrados de los datos) y planteemos: S 1 = μ, S 2 = μ 2 + σ 2, de donde σ 2 = S 2 - S 1 2, de donde nuestras estimaciones son : μ = S 1, σ 2 = S 2 - S 1 2.

P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 4 el método de los momentosEste método de estimación se conoce como el método de los momentos. No siempre es posible aplicarlo (por ejemplo, no lo es en la Cauchy), pero cuando es posible, en general aporta estimadores consistentes (que tienden a los verdaderos valores de los parámetros cuando n tiende a infinito). Si se observa detenidamente el ejemplo de la Normal, se verá que los métodos de Máxima Verosimilitud y de los Momentos dan las mismas estimaciones. Esto sin embargo es una coincidencia. Veremos a continuación un caso en que ambos métodos dan resultados completamente diferentes.

P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 5 Ejemplo:Ejemplo: Consideremos X 1,..., X n iid ~ U[a,b](distribución con densidad constante 1/(b-a) en el intervalo [a,b] y 0 fuera de [a,b]); entonces los EMV de a y b son (ver Clase 13,slide 7, ejemplo 4): Min(X 1,..., X n ) (para a) Max(X 1,..., X n ) (para b) Apliquemos el método de los momentos. Es muy fácil ver que μ 1 = (a+b)/2, μ 2 = (b 2 +ab+a 2 )/3=(4/3)μ 1 2 – (ab)/3, por lo que: a+b=2 μ 1, ab= 4μ μ 2 ; planteamos entonces a+b=2 S 1, ab= 4S 1 2 – 3S 2 ; Un cálculo muy simple muestra que las estimaciones por el método de los momentos que que de aquí resultan son: A= S 1 – (3[S 2 –S 1 2 ]) (1/2), B= S 1 + (3[S 2 –S 1 2 ]) (1/2), que no coinciden con los EMV antes vistos. Para hacerlo más visible,veamos un ejemplo numérico concreto.

P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 6 Supongamos que tenemos X 1,..., X n iid ~ U[a,b] con n=30 y que deseamos estimar a y b. Si los datos concretos son la columna de la derecha, tenemos S 1 =2,897 y S 2 =8,741 y las estimaciones por el método de momentos son A=1,878 y B= 3,917. En cambio, los EMV son: A=1,818 y B= 3,879. En este caso, los 30 datos fueron simulados y por ende sabemos que a=1,8 y b=3,9. Obsérvese que con una muestra de apenas 30 datos, ambos métodos dieron muy buenas estimaciones, diferentes pero coherentes entre sí. 2,068 3,171 2,509 2,965 3,659 3,484 2,649 1,818 3,123 1,836 3,296 3,160 2,458 2,753 3,442 1,952 2,301 1,982 3,047 3,561 3,177 3,024 3,402 3,540 2,657 3,855 2,639 2,605 2,910 3,879

P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 7 Estimaciones basadas en cuantiles. Si F es una distribución continua y estrictamente creciente, entonces para todo 0<p<1, existe un único valor q(p), que llamamos cuantil p de F tal que F(q(p))=p (cuando p=1/4 se le llama en la literatura primer cuartil, cuando p=3/4 se le llama tercer cuartil, cuando p=1/5 primer quintil, etc.) estadísticos de orden Si X 1,..., X n iid ~ F, llamamos X 1 *≤...≤ X n * a la muestra ordenada de menor a mayor (los también llamados estadísticos de orden) y llamamos cuantil p empírico a q n (p)=X [np] * Puede probarse que para una F continua y estrictamente creciente lim n q n (p)=q(p) (es decir que los cuantiles empíricos son estimadores consistentes de los cuantiles de F)

P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 8 Un parámetro muy usado para cuantificar la dispersión de los datos es la distancia intercuartílica. Llamamos distancia intercuartílica de F a d = q(3/4) - q(1/4) y distancia intercuartílica empírica a d n = q n (3/4) - q n (1/4).

P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 9 Ejemplo: Estimación de parámetros en el problema de posición y escala. El problema de posición (  ) y escala (  ) coresponde a la estimación de ambos parámetros cuando tenemos una muestra iid de datos cuya distribución F es la misma que la de la variable  +  Y, con Y con distribución F 0 completamente conocida. Supondremos además que la distribución F 0 es continua, estrictamente creciente y con mediana cero (éste es el caso, por ejemplo, cuando nuestros datos tienen distribución C( ,  2 ), donde F 0 es la distribución C(0,1)). En la Cauchy hasta ahora no teníamos cómo estimar los parámetros. Usaremos para ello los cuantiles.

P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 10 Llamando t(p) a los cuantiles de F 0 (que son valores conocidos), es muy fácil verificar que q(p) =  +  t(p); evaluando la anterior ecuación para p = 0.25, 0.5 y 0.75 y despejando, resulta   = q(0.5),   = (q(0.75) - q(0.25)) / (t(0.75) - t(0.25)), de donde resultan los estimadores consistentes   n = q n (0.5),   n = (q n (0.75) - q n (0.25)) / (t(0.75) - t(0.25)); En la C(0,1), t(0.75) =1, t(0.25)=-1, por lo que para el caso Cauchy tenemos: ·  n = q n (0.5), ·  n = (q n (0.75) - q n (0.25)) / 2.

P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 11 En el caso en que en lugar de F 0 completamente conocida tenemos F  que depende de un parámetro adicional , podemos aplicar una variante de éste método, llamado método de ajuste cuadrático de percentiles para estimar los tres parámetros desconocidos. En este método, se toma un entero k  3 y se eligen k valores 0<p 1 <p 2 <...<p k <1. Si llamamos q(p,  ) al cuantil p de F , entonces se estiman los tres parámetros desconocidos por los valores que minimizan  1  i  k (q n (p i ) -  -  q(p i,  )) 2

P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 12 Calculando las derivadas respectivas, los parámetros resultan estimados por: 1. En el caso de , la solución de la ecuación-no lineal A/B=N/D, donde · A= M(q n,  ) - M(q n )M(q  ), · B=M(q  2 )- M(q  ) 2, · N=(1/k) - M(q n )M(q  ’) · D= (1/k) - M(q  )M(q  ’) y q n,  es el vector (q n (p 1 ) q(p 1,  )),..., q n (p k ) q(p k,  ))), q  2 es el vector (q(p 1,  )) 2,..., q(p k,  )) 2 ), q n es el vector (q n (p 1 ),..., q n (p k )), q  es el vector (q(p 1,  )),..., q(p k,  ))), q  ’ es el vector de derivadas (  q(p 1,  ))/ ,...,  q(p k,  ))/  )), denota el producto escalar de los vectores u y v (o sea, u 1 v u k v k ) y M(u) el promedio de las coordenadas del vector u (o sea {u u k }/k)

P y E 2012 Clase 14 Gonzalo Perera 13 2.En el caso de , si  es el que resulta del punto anterior,  =(M(q n,  )-M(q n )M(q  ))/(M(q  2 )-M(q  ) 2 ) 3. En el caso de , si  y  son los que resultan del punto anterior  = M(q n ) -  M(q  ). Hay muchos métodos numéricos de resolución de ecuaciones no- lineales (bisecciòn, Newton-Raphson, etc.).