Cálculo de Campos Eléctricos y Magnéticos Universidad Nacional de Colombia Física 1000017 G11N06diego Marzo 2012

Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. x=0 x=L x=b

Suponiendo que la densidad de carga de la barra sea uniforme, al tomar una pequeña sección de la barra cargada siempre obtendremos la misma cantidad de carga almacenada en cada pequeña sección. dq = λ*dx dx x=0 x=L x=b

El campo eléctrico se define como: 𝑑𝐸= 𝑘∗𝑑𝑞 𝑟 2 Como la barra se extiende a lo largo del eje x únicamente, el campo queda así: 𝑑𝐸= 𝑘∗𝑑𝑞 𝑥 2 Reemplazando el valor de Δq nos queda: 𝑑𝐸= 𝑘∗𝜆∗𝑑𝑥 𝑥 2

Cada pequeño dx produce un campo eléctrico sobre el punto b en la dirección de las x positivas, por lo que para hallar el campo eléctrico total se suman las contribuciones de cada una de estas. Esto se puede lograr si integramos el campo desde un extremo de la barra hasta el otro. En el extremo más cercano al punto b, la distancia es b; y en el extremo más lejano la distancia sería L+b 𝑑𝐸= 𝑏 𝐿+𝑏 𝑘∗𝜆∗𝑑𝑥 𝑥 2

Como k y λ son constantes, se pueden sacar de la integral: 𝐸=𝑘∗𝜆∗ 𝑏 𝐿+𝑏 𝑑𝑥 𝑥 2 𝐸=𝑘∗𝜆∗ − 1 𝐿+𝑏 + 1 𝑏 𝐸=𝑘∗𝜆∗ 𝐿 𝑏(𝐿+𝑏)

Como la densidad de carga es uniforme, al multiplicarla por la totalidad de la longitud de la barra, se obtiene la carga total de esta: 𝐸=𝑘∗ 𝜆∗𝐿 𝑏(𝐿+𝑏) 𝐸=𝑘∗ 𝑄 𝑏(𝐿+𝑏) 𝑬= 𝒌∗𝑸 𝒃(𝑳+𝒃)

Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. y=b x=-L/2 x=0 x=L/2

En este caso, el campo eléctrico tendrá componentes en los ejes x y y, pero debido a que la figura es simétrica respecto a y, los componentes del eje x se anulan entre ellos y=b x=-L/2 x=0 x=L/2

Se anulan los componentes en x porque son de la misma magnitud, pero dirección contraria: y=b x=-L/2 x=0 x=L/2 y Ey E E Ey Ex θ Ex θ x

Para hallar el campo eléctrico lo dejamos expresados en función de la distancia r y del ángulo θ: y=b x=-L/2 x=0 x=L/2 y r r θ θ x

𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑏 𝑟 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟= 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑑 𝐸 𝑦 =𝑑𝐸∗𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑘∗𝑑𝑞 𝑟 2 ∗ 𝑏 𝑟 𝑑 𝐸 𝑦 = 𝑘∗𝑏∗𝑑𝑞 𝑟 3 = 𝑘∗𝑏∗𝑑𝑞 ( 𝑥 2 + 𝑏 2 ) 3 𝑑𝐸 𝑦 = 𝑘∗𝑏∗𝑑𝑞 ( 𝑥 2 + 𝑏 2 ) 3 2 Reemplazando dq: 𝑑𝐸 𝑦 = 𝑘∗𝑏∗𝜆∗𝑑𝑥 ( 𝑥 2 + 𝑏 2 ) 3 2

Como la barra está una mitad a un lado y la otra al otro lado del eje de las x, la barra es simétrica respecto a y, por lo que podemos calcular el campo que se produce desde el punto x=0 hasta x=L/2, y luego multiplicarlo por 2, con lo que hallaríamos el campo total de la barra: 𝑑𝐸 𝑦 =2∗ 0 𝐿/2 𝑘∗𝑏∗𝜆∗𝑑𝑥 ( 𝑥 2 + 𝑏 2 ) 3 2 𝐸= 𝐸 𝑦 =2∗𝑘∗𝑏∗𝜆∗ 0 𝐿/2 𝑑𝑥 ( 𝑥 2 + 𝑏 2 ) 3 2

𝐸=2∗𝑘∗𝑏∗𝜆∗ 0 𝐿/2 𝑑𝑥 ( 𝑥 2 + 𝑏 2 ) 3 2 Integrando la función, nos queda así: 𝐸=2∗𝑘∗𝑏∗𝜆∗ 𝑥 𝑏 2 ∗ 𝑥 2 + 𝑏 2 3 2 𝐿/2 0 𝐸= 2𝑘𝜆 𝑏 ∗ 𝐿 2 𝐿 2 2 + 𝑏 2 3 2 −0 𝑬= 𝟖𝑳𝒌𝝀 𝒃 ∗ 𝑳 𝟐 + 𝟒𝒃 𝟐 𝟑 𝟐 = 𝟖𝒌𝑸 𝒃 ∗ 𝑳 𝟐 + 𝟒𝒃 𝟐 𝟑 𝟐

Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por un aro de radio a con una distribución lineal de carga λ. Halle una expresión para E(y) y=b (0,0)

Al igual que en el problema anterior, el campo eléctrico producido en el eje x se cancela por la simetría de la configuración (anillo) y=b 0,0) Como los puntos son equidistantes, el ángulo formado desde cada uno de los puntos siempre será el mismo.

A diferencia del ejercicio anterior, en esta configuración cada uno de los dx aportarán la misma contribución para el campo eléctrico sobre b. Esto se debe a que en el anillo cada uno de los puntos equidistan tanto con respecto al eje x como con respecto al eje y. Aún así, debido a lo anteriormente explicado, solo habra componentes en el eje y (simetría): 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑏 𝑟 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟= 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑑 𝐸 𝑦 =𝑑𝐸∗𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑘∗𝑑𝑞 𝑟 2 ∗ 𝑏 𝑟

𝑑 𝐸 𝑦 = 𝑘∗𝑏∗𝑑𝑞 𝑟 3 = 𝑘∗𝑏∗𝑑𝑞 ( 𝑎 2 + 𝑏 2 ) 3 𝑑𝐸 𝑦 = 𝑘∗𝑏∗𝑑𝑞 ( 𝑎 2 + 𝑏 2 ) 3 2 Como dq será siempre el mismo para todos los dx, no hay necesidad de integrar la función. Para hallar el campo eléctrico basta con sumar cada una de las contribuciones, por lo que se puede usar una sumatoria: 𝑬=𝑬 𝒚 = 𝒌∗𝒃∗𝒅𝒒 ( 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ) 𝟑 𝟐 = 𝒌𝒃𝑸 ( 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ) 𝟑 𝟐

Cálculo de Campo Magnético Calcule el campo magnético en el punto b producido por una corriente I que circula por el aro de radio a . Halle una expresión para B(y) y=b (0,0)

Sea r la distancia entre el elemento de corriente y el punto P Sea r la distancia entre el elemento de corriente y el punto P. La ley de Biot nos permite calcular el campo magnético creado por dicho elemento de corriente. Los vectores unitarios  ut y ur forman 90º El vector campo magnético dB tiene dos componentes: A lo largo del eje de la espira: dB cos(90-θ) Perpendicular al eje de la espira: dB sen(90-θ)

De acuerdo a la ley de Biot – Savart: 𝑑𝐵= 𝜇 0 ∗𝐼∗ (𝑢 𝑡 × 𝑢 𝑟 ) 4𝜋 𝑟 2 ∗𝑑𝑙= 𝜇 0 ∗𝐼 4𝜋 𝑟 2 ∗𝑑𝑙 Debido a la simetría que presenta, las componentes perpendiculares al eje y (componentes del eje “x”) se anulan entre sí. Por tanto, el campo magnético resultante está dirigido a lo largo del eje y puede calcularse mediante una integración sencilla ya que r es constante y θ es constante (debido a que todos sus puntos son equidistantes): 𝐵= 𝑑𝐵∗ cos 90−𝜃 = 𝑑𝐵∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃

𝐵= 𝜇 0 ∗𝐼 4𝜋 𝑟 2 ∗𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑎 𝑟 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟= 𝑎 2 + 𝑏 2 𝐵= 𝜇 0 ∗𝐼 4𝜋 𝑟 2 ∗ 𝑎 𝑟 𝑑𝑙 𝐵= 𝜇 0 ∗𝐼 4𝜋 𝑟 2 ∗ 𝑎 𝑟 ∗2𝜋𝑎 𝑩= 𝝁 𝟎 ∗ 𝒂 𝟐 ∗𝑰 𝟐 𝒓 𝟑 = 𝝁 𝟎 𝒂 𝟐 𝑰 𝟐 (𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ) 𝟑 𝟐

Cálculo de Campo Magnético Usando la Ley de Biot & Savart calcule, en el punto b el campo magnético de una corriente I que fluye por un alambre de longitud infinita Y=b I

Según la ley de Biot - Savart, el campo magnético que produce un elemento diferencial de corriente dL de un alambre recto de longitud L por el que circula una corriente 𝐼 sobre un punto que se encuentra a cierta distancia del elemento dL está dado por: 𝑑𝐵= 𝜇 0 ∗𝐼∗(𝑑𝑙× 𝑢 𝑟 ) 4𝜋 𝑟 2 Donde ur es un vector unitario

El campo magnético está dirigido hacia adentro de la hoja. Para calcularla magnitud del campo magnético total sobre todo el alambre, ya sabiendo la dirección, se parte del hecho de que: 𝑑𝐵= 𝜇 0 ∗𝐼∗𝑑𝑙 4𝜋 𝑟 2 ∗𝑠𝑒𝑛 𝜃 Para poder integrar este resultado, debemos relacionar las variables r, θ y L de alguna forma

Partiendo de la geometría que se observa en la figura se expresa r en términos de la variable θ: 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑏 𝑟 , 𝑟= 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =𝑏∗csc⁡ 𝜃 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =− 𝑏 𝑙 , 𝑙= 𝑏 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =−𝑏∗𝑐𝑜𝑡 𝜃 Derivando esta expresión, obtenemos dl: 𝑑𝑙=𝑏∗ 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃,

Sustituyendo dl y r en dB, nos queda: 𝑑𝐵= 𝜇 0 ∗𝐼∗𝑏∗ 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 4𝜋 (𝑏∗csc⁡ 𝜃 ) 2 ∗𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝐵= 𝜇 0 ∗𝐼∗𝑏∗ 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 4𝜋 𝑏 2 ∗csc⁡ 𝜃 2 𝑑𝜃 𝒅𝑩= 𝝁 𝟎 ∗𝑰∗𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝟒𝝅𝒃 𝒅𝜽 Ya teniendo una a B como una función del ángulo no más, podemos integrar esta ecuación.

θ va a tomar los valores comprendidos entre θ1 y θ2, los cuales, si la longitud es infinita, tenderán cada vez más a un valor de 0° y 180° respectivamente 𝐵= 𝜇 0 ∗𝐼 4𝜋𝑏 𝜃 1 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝜃

Integrando, B nos queda: 𝐵= 𝜇 0 ∗𝐼 4𝜋𝑏 ∗−cos⁡(𝜃) 𝜋 0 = 𝜇 0 ∗𝐼 4𝜋𝑏 ∗2 El campo magnético de un alambre recto infinito es: 𝑩= 𝝁 𝟎 𝑰 𝟐𝝅𝒃