Recta de Euler

Recta de Euler: La recta de Euler es la recta que contiene al ortocentro, circuncentro y baricentro de un triángulo, lo que significa que los tres puntos están alineados. Ortocentro: Punto de corte de las rectas que contienen a las alturas de un triángulo. Baricentro: Punto de corte de las medianas de un triángulo. Circuncentro: Punto de corte de las mediatrices de un triángulo.

Euler demostró que en cualquier triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro son colineales. Esta propiedad es también cierta para el centro de la circunferencia de los nueve puntos notables; que Euler no había demostrado para ese tiempo. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo no lo hacen, y la recta de Euler está determinada por dos cualesquiera de ellos. El centro del círculo de los nueve puntos notables se encuentra a distancia media en la recta de Euler entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia desde el baricentro al circuncentro es la mitad de la distancia desde el baricentro hasta el ortocentro. Otros puntos destacados que se encuentran en la recta de Euler son el punto de Longchamps, el punto Schiffler, el punto de Exeter y el punto far-out. Sin embargo, el incentro se encuentra en la recta de Euler sólo para triángulos isósceles.

Demostración: 1- CK // MF 2-  FCK =  GFO por alternos internos, respecto a la transversal CF. 3- [CG] es proporcional a [GF] por teorema de la mediana. 4-Los segmentos [CH] y [FO] son proporcionales por ser segmentos de triángulos semejantes (∆GFO semejante a ∆HCG). no incluye la alineación esta ¿cómo se prueba la semejanza? No puede usarse opuestos por el vértice porque si no, usamos que están alineados y aún no lo sabemos. Esta demostración esta incompleta y hay muchas parecidas en internet. Como estoy con poco tiempo les pido que miren el trabajo de los alumnos del otro grupo y fíjense la demostración que les armé yo usando un libro: Geometría métrica de Puig Adam, P. Adapten los nombres de los puntos a su trabajo y queda pronta la demostración. Demostración punto 3 Demostración punto 4

Teorema: Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que las divide en segmentos que están en razón 2: 1 1- MF = ½ AC MF // AC 2- HI = ½ AC HI // AC 3- MF // HI MF = HI 4-HG = GF por diagonales del paralelogramo HG = HB por construcción 5- CG = 2 GF No necesitan demostrar esta propiedad. Yo sacaría esta diapositiva. Demostración punto 4

Ángulo FGO = Ángulo HGC por opuestos al vértice. Ángulo GFO = Ángulo HCG por alternos internos. ∆GFO semejante a ∆HCG