INVESTIGACIÓN OPERATIVA ASPECTOS GENERALES DE PROGRAMACION LINEAL Curso 2003/2004 ASPECTOS GENERALES DE PROGRAMACION LINEAL

Tema 2 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Introducción. Relación con la Programación Lineal Continua Aplicaciones. Medida de la eficiencia productiva mediante modelos de análisis envolvente de datos (DEA). Formulación de problemas de programación entera y mixta. Aplicaciones. Algoritmos de solución Implementación informática Estudios de casos reales de aplicación

Introducción. Programación Lineal Continua Objetivos: minimizar o maximizar una función lineal en la presencia de restricciones lineales del tipo desigualdad o igualdad. Llamamos “vector factible” al conjunto de valores que satisfacen todas las restricciones. Resolución: consiste en encontrar aquel valor del vector factible que minimiza/maximiza la función objetivo “solución óptima”.

Formulación del problema Función objetivo: Max(Min) Z=c1x1+c2x2+..+cnxn Restricciones (limitaciones del conjunto de soluciones) s.a a11x1+a12x2+..+a1nxn   = b1 a21x1+a22x2+..+a2nxn   = b2 ................................................. am1x1+am2x2+..+ammxn   = bm Otras restricciones características del tipo de variables x1,x2,...xn  0 Variables de decisión (incógnitas) xj (j=1,2,....n) Recursos disponibles (datos) b1,b2,...bm Coeficientes tecnológicos aij , cj (i=1,2,..,m: j=1,2,....,n)

Ejemplo1 X1 cantidad de producto 1 X2 cantidad de producto 2 Planta   Planta Capacidad usada Capacidad disponible   Producto 1 Producto 2 1 2 3 4 12 18 Ganancia 3  5   

Lupita está preocupada por su sobrepeso y el costo de la comida diaria, ella sabe, que para bajar de peso, debe consumir a lo más, 1350 kcalorías, pero requiere de un mínimo de 500 mgr de vitamina A, 350 mgr. de Calcio, 200 mgr. de proteinas y 150 mgr de minerales. Con los alimentos de la tabla, formula el PL que resolvería la dieta de Lupita.   ALIMENTO PORCION VITAM. A CALCIO PROTEINAS MINERALES COSTO KALORIAS LECHE 1 TAZA 105 75 50 35 $ 5 60 HUEVO 2 PIEZAS 80 15 $ 7 ESPINACAS 1 RACION 100   125 78 $ 2 CHULETAS 2 CHULETS 25 10 55 $45 175 PESCADO 1 MOJARRA 150 $60 PASTEL 2 REB. 30 05 08 $50 200  

Ejercicio 2 La cadena de restaurantes California, que trabaja 24 h. al día, ha abierto un nuevo restaurante en Las Palmas, y por ello requiere contratar camareros. El administrador ha dividido las 24 horas en varios turnos. Si cada camarero trabaja 3 horarios consecutivos, formular el problema de P.L. que determine el mínimo número de camareros por contratar. Horario mínimo camareros 0-3 4 3-6 3 6-9 8 9-12 6 12-15 7 15-18 14 18-21 10 21-24 5

Ejercicio 3 Una empresa determinada tiene disponible un millón de euros para invertir. El gerente tiene a su cargo, la díficil tarea de decidir en cuales de los cinco proyectos siguientes desea invertir: PROYECTO COSTO UTILIDAD 1 500000 325000 2 200000 122000 3 195000 095000 4 303000 111000 5 350000 150000 Si el elegir un proyecto implica, pagar el costo total del mismo, formular el modelo P.L. que defina la mejor inversión para la empresa.

Métodos de resolución: Método Gráfico Muy fácil de utilizar pero sólo es aplicable a problemas con dos variables. Max Z= X1+1.4X2 S.a X1+0.5X26, 0.5X1+X26, X1+X27 1.4X1+X29 X1,X20

Resolver gráficamente el problema de P.L del Ejemplo1: Max Z=3x1+5x2 s.a. x14 2x2 12 3x1+2x2 18 x1,x20

Métodos de resolución: Método Simplex Suposiciones: El conjunto formado por las restricciones es convexo La solución siempre ocurre en un punto extremo Un punto extremo siempre tiene dos puntos adyacentes Método: Encontrar una solución inicial factible y calcular su valor en la la función objetivo Examinar un punto extremo adyacente al encontrado en la etapa 1 y calcular el nuevo valor de Z. Si el Z mejora repetir la etapa 2. Caso contrario examinar otro punto. Regla de parada: cuando no existe ningún extremo adyacente que mejore la solución, nos hallamos en el óptimo.

Programación Lineal Entera De aplicación cuando las variables de decisión han de ser enteras (número de personal a contratar). Debemos indicar qué variables ha de tomar valores enteros El Método Simplex no garantiza un solución factible adecuada al problema Algoritmo de Bifurcación y Acotamiento ABA Primeramente aplicamos el M. Simplex para obtener una solución inicial. Si esta es entera (final) Caso contrario aplicamos ABA: cada iteración de ABA escoge un variable que presenta solución no entera y divide el problema en dos sub-problemas añadiendo a cada uno de ellos una nueva restricción (valor superio/inferior). Cada sub-problema se resuleve aplicando el M. Simplex

Programación Lineal Binaria De aplicación cuando las variables de decisión sólo pueden tomar dos valores Xi (0,1) “Ejercicio 3” Max Z=325x1+122x2+95x3+11x4+150x5 s.a 500x1+200x2+195x3+303x4+350x51000 Resolución: Mediante el algoritmo ABA modificado, sujeto a Xi (0,1)

Programación Multiobjetivo En muchas ocasiones, el decisor se enfrenta a situaciones en donde existen varios objetivos a maximizar o minimizar: Ejemplo: Podemos querer maximizar el bienestar de la población minimizando los costes de implantación de una determinada política “El enfoque multiobjetivo busca el conjunto de soluciones eficientes o pareto óptimas Max Z1=2x1-x2+95x3+11x4+150x5 Max Z2=-x1+5x2 s.a x1+x28 -x1+x23 x16, x24 , x1,x20

Análisis Envolvente de Datos (DEA)