Rotación de cuerpo rígido Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física

Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: Definir y calcular el momento de inercia para sistemas simples. Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de Newton, energía cinética rotacional, trabajo rotacional, potencia rotacional y cantidad de movimiento rotacional a la solución de problemas físicos. Aplicar principios de conservación de energía y cantidad de movimiento a problemas que involucran rotación de cuerpos rígidos.

Dinámica de Rotación. Sólido rígido es el cuerpo cuyas partículas conservan invariantes en el tiempo las distancias relativas que las separan En el movimiento de rotación las partículas del sólido rígido describen trayectorias circulares con centro en el eje de rotación y situadas en planos perpendiculares a dicho eje

Comparación entre dinámica de traslación y de rotación. FUERZA. CAUSA MOMENTO. ACELERACIÓN ANGULAR. EFECTO ACELERACIÓN. MOMENTO DE INERCIA. MASA. INERCIA LEY

Centro de Masas. Propiedades. Definición. El centro de masas de un cuerpo es un punto que describe la misma trayectoria que una partícula sometida a las mismas fuerzas que el cuerpo. Propiedades. La resultante de las fuerzas exteriores aplicadas sobre un sistema puede considerarse aplicada sobre el centro de masas. La cantidad de movimiento de un sistema es igual a la de su centro de masas. Fext = m acm

Momento de Inercia. I = m r2 El momento de Inercia de una partícula respecto a un eje es el producto de la masa “m” por el cuadrado de la distancia al eje de giro “r”. I = m r2 r m Es una medida de la inercia del cuerpo al giro sobre ese eje. No es propio del cuerpo, depende del eje. Es una magnitud tensorial. Su unidad es kg·m2.

Inercia de rotación a = 4 m/s2 a = 2 rad/s2 Considere la segunda ley de Newton para que la inercia de rotación se modele a partir de la ley de traslación. F = 20 N a = 4 m/s2 Inercia lineal, m m = = 5 kg 24 N 4 m/s2 F = 20 N R = 0.5 m a = 2 rad/s2 Inercia rotacional, I I = = = 2.5 kg m2 (20 N)(0.5 m) 4 m/s2 t a La fuerza hace para la traslación lo que el momento de torsión hace para la rotación:

Energía cinética rotacional Considere masa pequeña m: m2 m3 m4 m m1 eje w v = wR Objeto que rota a w constante. K = ½mv2 K = ½m(wR)2 K = ½(mR2)w2 Suma para encontrar K total: K = ½(SmR2)w2 Definición de inercia rotacional: I = SmR2 (½w2 igual para toda m )

I = (3 kg)(1 m)2 + (2 kg)(3 m)2 + (1 kg)(2 m)2 Ejemplo 1: ¿Cuál es la energía cinética rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm? Primero: I = SmR2 3 kg 2 kg 1 kg 1 m 2 m 3 m w I = (3 kg)(1 m)2 + (2 kg)(3 m)2 + (1 kg)(2 m)2 I = 25 kg m2 w = 600 rpm = 62.8 rad/s K = ½Iw2 = ½(25 kg m2)(62.8 rad/s) 2 K = 49,300 J

Inercias rotacionales comunes I = mR2 I = ½mR2 Aro Disco o cilindro Esfera sólida

Ejemplo 2: Un aro circular y un disco tienen cada uno una masa de 3 kg y un radio de 30 cm. Compare sus inercias rotacionales. R I = mR2 Aro I = 0.120 kg m2 R I = ½mR2 Disco I = 0.0600 kg m2

El momento de torsión es un giro o vuelta que tiende a producir rotación. * * * Las aplicaciones se encuentran en muchas herramientas comunes en el hogar o la industria donde es necesario girar, apretar o aflojar dispositivos.

Analogías importantes Para muchos problemas que involucran rotación, hay una analogía extraída del movimiento lineal. R 4 kg w t wo = 50 rad/s t = 40 N m m x f I Un momento de torsión resultante t produce aceleración angular a de disco con inercia rotacional I. Una fuerza resultante F produce aceleración negativa a para una masa m.

Segunda ley de rotación de Newton t = Ia ¿Cuántas revoluciones requiere para detenerse? R 4 kg w F wo = 50 rad/s R = 0.20 m F = 40 N FR = (½mR2)a 2aq = wf2 - wo2 a = 100 rad/s2 q = 12.5 rad = 1.99 rev

Ejemplo 3: ¿Cuál es la aceleración lineal de la masa de 2-kg que cae? R = 50 cm 6 kg 2 kg a = ? M Aplique 2a ley de Newton al disco rotatorio: t = Ia TR = (½MR2)a a = aR; a = pero aR T = ½MRa R = 50 cm 6 kg 2 kg +a T mg T = ½MR( ) ; aR y T = ½Ma T Aplique 2a ley de Newton a la masa que cae: mg - T = ma mg - = ma ½Ma (2 kg)(9.8 m/s2) - ½(6 kg) a = (2 kg) a 19.6 N - (3 kg) a = (2 kg) a a = 3.92 m/s2

Trabajo y potencia para rotación Trabajo = Fs = FRq t = FR q F s s = Rq Trabajo = tq Potencia = = Trabajo t tq t w = q t Potencia = t w Potencia = Momento de torsión x velocidad angular promedio

Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2 Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular  de un disco dada su energía cinética total E. Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2

Estrategia para problemas Dibuje y etiquete un bosquejo del problema. Mencione lo dado y establezca lo que debe encontrar. Escriba fórmulas para encontrar los momentos de inercia de cada cuerpo que rota. Recuerde conceptos involucrados (potencia, energía, trabajo, conservación, etc.) y escriba una ecuación que involucre la cantidad desconocida. Resuelva para la cantidad desconocida.

Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2 Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares, cada uno con la misma masa y radio, ruedan con rapidez lineal v. Compare sus energías cinéticas. w v Dos tipos de energía: KT = ½mv2 Kr = ½Iw2 w = vR Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2 Disco: E = ¾mv2 Aro: E = mv2

Conservación de energía La energía total todavía se conserva para sistemas en rotación y traslación. Sin embargo, ahora debe considerar la rotación. Inicio: (U + Kt + KR)o = Fin: (U + Kt + KR)f mgho ½Iwo2 ½mvo2 = mghf ½Iwf2 ½mvf2 ¿Altura? ¿Rotación? ¿Velocidad? ¿Altura? ¿Rotación? ¿Velocidad?

= v = 8.85 m/s mgho mghf ½Iwo2 ½Iwf2 ½mvo2 ½mvf2 Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa de 2 kg justo antes de golpear el suelo. h = 10 m 6 kg 2 kg R = 50 cm mgho ½Iwo2 ½mvo2 = mghf ½Iwf2 ½mvf2 2.5v2 = 196 m2/s2 v = 8.85 m/s

mgho = ½mv2 + ½mv2; mgho = mv2 Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde lo alto de un plano inclinado. ¿Cuáles son sus rapideces en el fondo si la altura inicial es 20 m? mgho = ½mv2 + ½Iw2 Aro: I = mR2 20 m mgho = ½mv2 + ½mv2; mgho = mv2 Aro: v = 14 m/s Disco: I = ½mR2; mgho = ½mv2 + ½Iw2 v = 16.2 m/s

Definición de cantidad de movimiento angular eje w v = wr Objeto que rota con w constante. Considere una partícula m que se mueve con velocidad v en un círculo de radio r. Defina cantidad de movimiento angular L: L = mvr Al sustituir v= wr, da: Dado que I = Smr2, se tiene: L = m(wr) r = mr2w L = Iw Para cuerpo extendido en rotación: Cantidad de movimiento angular L = (Smr2) w

m = 4 kg L = 2 m Ejemplo 8: Encuentre la cantidad de movimiento angular de una barra delgada de 4 kg y 2 m de longitud si rota en torno a su punto medio con una rapidez de 300 rpm. I = 1.33 kg m2 L = Iw = (1.33 kg m2)(31.4 rad/s)2 L = 1315 kg m2/s

Impulso y cantidad de movimiento Recuerde que, para movimiento lineal, el impulso lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento lineal: Al usar analogías angulares, se encuentra que el impulso angular es igual al cambio en cantidad de movimiento angular :

Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al borde de una rueda libre para girar. La fuerza actúa durante 0.002 s. ¿Cuál es la velocidad angular final? R 2 kg w F wo = 0 rad/s R = 0.40 m F = 200 N D t = 0.002 s I = mR2 = (2 kg)(0.4 m)2 I = 0.32 kg m2 Momento de torsión aplicado t = FR Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular t Dt = Iwf - Iwo FR Dt = Iwf wf = 0.5 rad/s

Conservación de cantidad de movimiento En ausencia de momento de torsión externo, se conserva la cantidad de movimiento rotacional de un sistema (es constante). Ifwf - Iowo = t Dt Ifwf = Iowo Io = 2 kg m2; wo = 600 rpm If = 6 kg m2; wo = ? wf = 200 rpm

Conservación del momento angular El momento angular total de un sistema es constante si el momento de torsión externo resultante que actúa sobre el sistema es cero. Si Entonces L = constante o Iiwi = Ifwf El momento de torsión resultante que actúa sobre un cuerpo alrededor de un eje que pasa por el centro de masa es igual a la tasa de cambio en el tiempo del momento angular independientemente del movimiento del centro de masa.

Resumen – Analogías rotacionales Cantidad Lineal Rotacional Desplazamiento Desplazamiento x Radianes  Inercia Masa (kg) I (kgm2) Fuerza Newtons N Momento de torsión N·m Velocidad v “ m/s ”  Rad/s Aceleración a “ m/s2 ”  Rad/s2 Cantidad de movimiento mv (kg m/s) I (kgm2rad/s)

Movimiento rotacional Fórmulas análogas Movimiento lineal Movimiento rotacional F = ma  = I K = ½mv2 K = ½I2 Trabajo = Fx Trabajo = tq Potencia = Fv Potencia = I Fx = ½mvf2 - ½mvo2  = ½If2 - ½Io2

= Resumen de fórmulas: Trabajo = tq I = SmR2 mgho mghf ¿Altura? ½Iwo2 ½mvo2 = mghf ½Iwf2 ½mvf2 ¿Altura? ¿Rotación? ¿Velocidad?

Los tres objetos que se muestran a continuación, ver figura, tienen la misma masa m y se distribuye uniformemente. A es un cilindro sólido de radio R. B es un cilindro hueco delgado de radio R. C es un cubo sólido de lado 2R. Los objetos tiene ejes de rotación perpendiculares a la página que pasan por el centro de masa. De acuerdo con los antecedentes entregados. Determine: A) Qué objeto tiene menor momento de Inercia? Explique B) Qué objeto tiene mayor momento de Inercia? Explique C) En qué lugar relativo quedaría el momento de inercia de una esfera sólida uniforme si su radio es R, su masa es m y el eje de rotación pasa por el centro de la esfera? Explique.

Se unen cuatro partículas de masa m mediante varillas delgadas de masa despreciable, formando un rectángulo de lados 2a y 2b, tal como muestra la figura. El sistema puede girar alrededor de un eje en el plano de la figura que pasa por el centro, por el eje de lado 2b y por el eje que une las masas 2a. En estas tres situaciones determine el momento de inercia del sistema de partículas. En cuál de los tres casos anteriores, el momento de inercia es menor. Explique.

La figura muestra una barra rígida que puede girar en torno a: O,A y B, según se indique. La relación entre las masas es m1 = 3m2. Se considera positivo el sentido horario de rotación. El torque respecto al punto o es: I . τ = gr ( 2 m2-m1) II . τ =−m2gr III . τ =−1/3m1gr

El torque respecto al punto A El torque respecto al punto B es:

La palanca para moler nueces de la figura trabaja de tal forma que rota respecto al punto 0, fijo al plano horizontal. ¿Cuál es la resistencia R que presenta la nuez si la fuerza F aplicada en el extremo de la prensa es de 10[N]?

Tres niños de 20 kg 45 kg, 60 kg juegan en un balancín de 3 Tres niños de 20 kg 45 kg, 60 kg juegan en un balancín de 3.6 m de largo y pivotado en el centro. Si los niños más pesados se estacionan uno en cada extremo y despreciando el peso del balancín, para producir equilibrio, el niño más liviano deberá ubicarse respecto del centro a una distancia de..

Una rueda de 4 kg y radio de giro de 20 cm está rotando a 360 rpm Una rueda de 4 kg y radio de giro de 20 cm está rotando a 360 rpm. El torque debido a la fuerza de fricción es de 0,12 Nm. Calcule el tiempo necesario para llevar a la rueda hasta el reposo. Solución t = 50,2 s

Como se muestra en la figura, una esfera sólida uniforme rueda sobre una superficie horizontal a 20 m/s y luego rueda hacia arriba sobre un plano inclinado. Si las pérdidas debidas a la fricción son despreciables. ¿Cuál será el valor de h en el lugar donde se detiene la esfera?