RATS MODELIZACIÓN DE DISTRIBUCIONES

RATS 1. FUNCIONES DE PROBABILIDAD

RATS 1.1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

RATS 1.2 RELACIONES ENTRE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ESPECÍFICAS Normal: n  N( ,  2 ) Normal estándar: z  N(0,1) Chi-cuadrado: x  X 2 (g) Si z i  N(0,1) son independientes => F-snedecor: f  F(g 1, g 2 ) Si x i  X 2 (g i ) son independientes => t-student: t  t(g) Si z  N(0,1) y x  X 2 (g ) son independientes =>

RATS 1.3 FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN EMPÍRICAS NO PARAMÉTRICAS Histograma: Diagrama de frecuencia relativas. No es una función continua (no se solapan los intervalos) y depende del número de puntos (o unidad de medida) en que centremos cada estimación x 0. –En dónde I(·) es la función Indicador:

RATS Mediante funciones núcleo (Kernel): La función K(·) supone una medida de la densidad o “importancia” relativa de las observaciones entorno al punto de referencia x 0. L a función se va desplazando por el número de puntos de la muestra (N), de forma que consigue una curva continua.

RATS Respecto a la ponderación de los puntos de la muestra que entran en 1.- Depende del tamaño de la ventana (h). Conforme, más alisada será la forma de la curva de, pero estará menos ponderada la importancia del punto de referencia x 0 (estará menos concentrada la probabilidad entorno al punto x 0 ), con lo cual será menos exacta. Existe un trade-off entre exactitud y suavidad de la curva. 2.- El tipo de ponderación depende del tipo de núcleo o Kernel K(·).

RATS Algunos tipos de núcleo o Kernel K(v);

RATS Tipos de núcleos o Kernels: 1: Cuadrático; 2: Triangular; 3: Epanechnikov; 4: Gaussiano o Normal; 5: Uniforme o rectangular.

RATS Respecto a la elección del tipo de núcleo o Kernel K(·), cabe decir que se ha demostrado que aquel más eficiente es el de Epanechnikov, pero la diferencia de la entre una u otra forma funcional, no resulta tan relevante en la práctica.

RATS No pasa lo mismo con la elección del tamaño de la ventana h, que puede producir una estimación de sesgada o con una alta variablidad. Silverman propone un tamaño de h óptimo que pretende equilibrar dicho trade-off: –Dónde RIQ en es rango intercuartílico (diferencia entre la observación del percentil 75 y del percentil 25), y es la desviación típica de la serie x. –Nota: el h que se utiliza por defecto en RATS no depende de N, ; en EViews utiliza el h de Silverman, ponderado con un parámetro que difiere entre K(·).

RATS 2. MODELIZACIÓN DE DISTRIBUCIONES USANDO WinRATS v5.0

RATS Instrucción DENSITY: DENSITY (opciones) serie inicio fin nombre_serie_eje nombre_serie_densidad Estima la función de densidad de una serie aleatoria de datos. Puede ser mediante la utilización de funciones Kernel o un Histograma. –Opciones: »TYPE=[ EPANECHNIKOV ]/TRIANGULAR/GAUSSIAN/ /HISTOGRAM » BANDWITH=h » Por defecto: »GRID=[AUTOMATIC] » Escalona el eje de ordenadas en 100 unidades equidistantes que representan la amplitud de la muestra. /INPUT » Serie que se introduzca

RATS Instrucción ACCUMULATE: ACCUMULATE(Opciones) serie inicio fin nueva_serie nuevo_inicio Realiza la suma la parcial de serie y guarda los resultados en nueva_serie. –Opciones: »SCALE/[NOSCALE] » Divide los datos de entrada de la nueva_serie por la suma total, de forma que acaba con el valor 1.0

RATS FUNCIONES %RAN(s) » Junto con la instrucción SET genera una serie de datos ‘aleatorios’ de distribución normal con media 0 desviación típica s n  N(0, s 2 ) SQRT(x) » Devuelve el valor de la raíz cuadrada de x

RATS 3.1 Normal estándar: z  N(0,1) input_z.prg * Instrucción para operar con series de datos sin fechas y con un tamaño de * muestra N=1000: ALLOCATE 1000 *Para generar una serie aleatoria N(0,1): SET Z1 = %RAN(1) GRAPH 1 # Z1 *Vemos algunos estadísticos descriptivos: TABLE / Z1 STATISTICS Z1

RATS *Para calcular su Función de Densidad Empírica (Histograma *y mediante núcleo o Kernel de Epanechnikov) DENSITY(TYPE=EPANECHNIKOV) z1 / EGRIDZ EDENSZ DENSITY(TYPE=HISTOGRAM) z1 / HGRIDZ HDENSZ SCATTER(STYLE=BARGRAPH,OVERLAY=LINE,$ HEADER= ’FDE DE UNA N(0,1)', KEY=UPLEFT) 2 # HGRIDZ HDENSZ # EGRIDZ EDENSZ *Para calcular su Función de Distribución Empírica (Acumulación de la estimación *de la FDE medinate núcleo o Kernel de Epanechnikov) ACCUMULATE(SCALE) EDENSZ / EDISTRIZ GRAF 1 # EDISTRIZ

RATS Normal estándar: z  N(0,1) Series Obs Mean Std Error Minimum Maximum Z Statistics on Series Z1 Observations 1000 Sample Mean Variance Standard Error SE of Sample Mean t-Statistic Signif Level (Mean=0) Skewness Signif Level (Sk=0) Kurtosis Signif Level (Ku=0) Jarque-Bera Signif Level (JB=0)

RATS Normal estándar: z  N(0,1)

RATS 3.2 Chi-cuadrado: x  X 2 (3) input_x.prg * Instrucción para operar con series de datos sin fechas y con un tamaño de * muestra N=1000: ALLOCATE 1000 *Para generar una serie aleatoria x  X2(3) SET Z1 = %RAN(1) SET Z2 = %RAN(1) SET Z3 = %RAN(1) SET X = (Z1**2)+(Z2**2)+(Z3**2) GRAPH 1 # X TABLE / X STATISTICS X

RATS *Para calcular su Función de Densidad Empírica (Histograma *y mediante núcleo o Kernel de Epanechnikov) DENSITY(TYPE=EPANECHNIKOV) X / EGRIDX EDENSX DENSITY(TYPE=HISTOGRAM) X / HGRIDX HDENSX SCATTER(STYLE=BARGRAPH,OVERLAY=LINE,$ HEADER= ’FDE DE UNAX(3)', KEY=UPLEFT) 2 # HGRIDX HDENSX # EGRIDX EDENSX *Para calcular su Función de Distribución Empírica (Acumulación de la estimación *de la FDE medinate núcleo o Kernel de Epanechnikov) ACCUMULATE(SCALE) EDENSX / EDISTRIX GRAF 1 # EDISTRIX

RATS Chi-cuadrado: x  X 2 (3) Series Obs Mean Std Error Minimum Maximum X Statistics on Series X Observations 1000 Sample Mean Variance Standard Error SE of Sample Mean t-Statistic Signif Level (Mean=0) Skewness Signif Level (Sk=0) Kurtosis Signif Level (Ku=0) Jarque-Bera Signif Level (JB=0)

RATS Chi-cuadrado: x  X 2 (3)

RATS 3.3 F-snedecor: f  F(3,2) input_f.prg * Instrucción para operar con series de datos sin fechas y con un tamaño de * muestra N=1000: ALLOCATE 1000 *Para generar una serie aleatoria f ?F(3,2) SET Z1 = %RAN(1) SET Z2 = %RAN(1) SET Z3 = %RAN(1) SET Z4 = %RAN(1) SET Z5 = %RAN(1) SET X1 = (Z1**2)+(Z2**2)+(Z3**2) SET X2 = (Z4**2)+(Z5**2) SET F = (X1/3)/(X2/2) GRAPH 1 # F TABLE / F STATISTICS F

RATS *Para calcular su Función de Densidad Empírica (Histograma *y mediante núcleo o Kernel de Epanechnikov) DENSITY(TYPE=EPANECHNIKOV) F / EGRIDF EDENSF DENSITY(TYPE=HISTOGRAM) F / HGRIDF HDENSF SCATTER(STYLE=BARGRAPH,OVERLAY=LINE,$ HEADER= ’FDE DE UNA F(3,2)', KEY=UPLEFT) 2 # HGRIDF HDENSF # EGRIDF EDENSF *Para calcular su Función de Distribución Empírica (Acumulación de la estimación *de la FDE medinate núcleo o Kernel de Epanechnikov) ACCUMULATE(SCALE) EDENSF / EDISTRIF GRAF 1 # EDISTRIF

RATS F-snedecor: f  F(3,2) Series Obs Mean Std Error Minimum Maximum F Statistics on Series F Observations 1000 Sample Mean Variance Standard Error SE of Sample Mean t-Statistic Signif Level (Mean=0) Skewness Signif Level (Sk=0) Kurtosis Signif Level (Ku=0) Jarque-Bera Signif Level (JB=0)

RATS F-snedecor: f  F(3,2)

RATS 3.4 t-student: t  t(3) input_t.prg * Instrucción para operar con series de datos sin fechas y con un tamaño de * muestra N=1000: ALLOCATE 1000 *Para generar una serie aleatoria t  t(3) SET Z1 = %RAN(1) SET Z2 = %RAN(1) SET Z3 = %RAN(1) SET Z4 = %RAN(1) SET X = (Z1**2)+(Z2**2)+(Z3**2) SET TS = Z4/(SQRT(X/3)) GRAPH 1 # TS TABLE / TS STATISTICS TS

RATS *Para calcular su Función de Densidad Empírica (Histograma *y mediante núcleo o Kernel de Epanechnikov) DENSITY(TYPE=EPANECHNIKOV)TS / EGRIDT EDENST DENSITY(TYPE=HISTOGRAM) TS / HGRIDT HDENST SCATTER(STYLE=BARGRAPH,OVERLAY=LINE,$ HEADER= ’FDE DE UNA t(3)', KEY=UPLEFT) 2 # HGRIDT HDENST # EGRIDT EDENST *Para calcular su Función de Distribución Empírica (Acumulación de la estimación *de la FDE medinate núcleo o Kernel de Epanechnikov) ACCUMULATE(SCALE) EDENST / EDISTRIT GRAF 1 # EDISTRIT

RATS t-student: t  t(3) Series Obs Mean Std Error Minimum Maximum TS Statistics on Series TS Observations 1000 Sample Mean Variance Standard Error SE of Sample Mean t-Statistic Signif Level (Mean=0) Skewness Signif Level (Sk=0) Kurtosis Signif Level (Ku=0) Jarque-Bera Signif Level (JB=0)

RATS t-student: t  t(3)