Programa de certificación de Black Belts ASQ Seis Sigma Programa de certificación de Black Belts ASQ 7. Metodología Seis Sigma - Análisis P. Reyes /Septiembre de 2007

7. Metodología Seis Sigma - Análisis C. AMEF y Herramientas de análisis A. Análisis de datos exploratorio B. Pruebas de hipótesis

7C1. Análisis del Modo y Efecto de Falla (FMEA)

¿ Qué es el FMEA? El Análisis de del Modo y Efectos de Falla es un grupo sistematizado de actividades para: Reconocer y evaluar fallas potenciales y sus efectos. Identificar acciones que reduzcan o eliminen las probabilidades de falla. Documentar los procesos con los hallazgos del análisis. Existe el estándar MIL-STD-1629, Procedure for Performing a Failure Mode, Effects and Criticality Analysis

Propósitos del FMEA Mejorar la calidad, confiabilidad y seguridad de los productos y procesos evaluados Reducir el tiempo y costo de re-desarrollo del producto Documenta y da seguimiento a acciones tomadas para reducir el riesgo Soporta el desarrollo de planes de control robustos

Propósitos del FMEA Soporta el desarrollo de planes de verificación del desarrollo de diseño robusto Apoya a priorizar y enfocarse en eliminar/reducir problemas de proceso y producto y/o previene la ocurrencia de problemas Mejora la satisfacción del cliente/consumidor

Tipos del FMEA AMEF de diseño (DFMEA) AMEF de Proceso (PFMEA) AMEF de concepto (CFMEA) A nivel de sistema, subsistema y componente AMEF de diseño (DFMEA) AMEF de Proceso (PFMEA) AMEF de maquinaria (como aplicación del DFMEA)

Tipos de FMEAs FMEA de Diseño (AMEFD), su propósito es analizar como afectan al sistema los modos de falla y minimizar los efectos de falla en el sistema. Se usan antes de la liberación de productos o servicios, para corregir las deficiencias de diseño. FMEA de Proceso (AMEFP), su propósito es analizar como afectan al proceso los modos de falla y minimizar los efectos de falla en el proceso. Se usan durante la planeación de calidad y como apoyo durante la producción o prestación del servicio.

PFMEA o AMEF de Proceso Fecha límite: Concepto Prototipo Pre-producción /Producción FMEAD FMEAP FMEAD FMEAP Característica de Diseño Paso de Proceso Falla Forma en que el Forma en que el proceso falla producto o servicio falla al producir el requerimiento que se pretende Controles Técnicas de Diseño de Controles de Proceso Verificación/Validación

Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla

Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla Prevenir los errores y mejorar la robustes son dos esfuerzos distintos y complementarios para evitar los modos de falla Diagrama de fronteras Define las fronteras / alcance y clarifica la relación entre el sistema enfocado y sus sistemas de interfase Matriz de interfases Identifica las interfases del sistema y ambos el efecto de interfases al sistema enfocado y las interfases del sistema. Documenta los detalles de interfases del sistema

Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla DFMEA Es un análisis detallado de los modos de falla potenciales relacionados con las funciones primarias y de interfases del sistema. Es el documento primario para demostrar que se han evitado errores e identifica los controles y acciones para reducir los riesgos asociados

Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla REDPEPR (Robustness Engineering Design and Product Enhacement Process) P-Diagrama: Identifica y documenta las señales de entrada, factores de ruido, factores de control y estados de error asociadas con las funciones ideales Lista de verificación de Robustez (RCL): es un análisis profundo del impacto de factores de ruido en la función ideal y estados de error. Es una evaluación metódica de la efectividad de métodos de verificación de diseño (DVMs) en términos de cobertura de factores de ruido. Genera estrategias de gestión de factores de ruido.

Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla REDPEPR (Robustness Engineering Design and Product Enhacement Process) Matriz de Demostración de Robustez (RDM) es un enfoque de los datos para asegurar las pruebas de factores de ruido, y métricas de prueba medidas/cuantificadas para probar la robustez. Es una parte del plan de verificación de diseño (DVP). El DFMEA e Ingeniería de Robustez son complementarios

Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla Plan de Verificación de Diseño (DVP): Es un plan exhaustivo de verificación que incluye entradas de ambos DFMEA y REDPEPR. Asegura que los factores de ruido sean incluidos en las pruebas y atiende las mediciones críticas para evaluar las funciones ideales y los modos de falla potenciales/anticipados durante y después de las pruebas

Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla Fuentes de entrada al FMEA: Requerimientos (WCR, reglamentarios, etc.) SDS, QFDs, información de desempeño histórico Datos de Benchmarking, Datos previosde PD Diagrama P Funciones ideales como funciones Estados de error como Modos o Efectos de Falla Factores de control Diagrama de fronteras y Matriz de Interfases Salidas intencionadas como funciones Las interacciones pueden ayudar a identificar Causas de Fallas

Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla El FMEA sirve de entrada para: DVP Lista de verificación de Robustez Características críticas/significativas Especificaciones de diseño de Sistema / Subsistema / Componente Criterios de validación Liberación de seguridad Planes de control

Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Concepto Los beneficios de hacer un FMEA de concepto incluyen: Ayuda a seleccionar las alternativas de concepto óptimas, o determina cambios a Especs. De Diseño de Sistema (SDS) Identifica modos de falla potencial y causas debido a interacciones dentro del concepto Incrementa la verosimilitud de todos los efectos potenciales de los modos de falla del concepto

Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Concepto Ayuda a generar tasas de ocurrencia de causas que puede ser usada para estimar una meta de alternativa particular de concepto Identifica requerimientos de prueba a nivel de sistema y subsistema Ayuda a determinar si la redundancia del hardware del sistema puede ser requerido dentro de una propuesta de diseño

Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Concepto Se enfoca a los modos de falla potencial asociados con las funciones propuestas de una propuesta de concepto causado por decisiones de diseño que introduce deficiencias (incluye el layout del proceso) Incluye la interacción de sistemas múltiples y la interacción entre los elementos de un sistema en las etapas de concepto (incluye interacciones de operación en el proceso)

Beneficios de los tipos de FMEA Salidas del FMEA de Concepto Una lista de Causas y Modos de falla potenciales del concepto Una lista de acciones de diseño para eliminar las causas de modos de falla para reducir su tasa de ocurrencia Cambios recomendados a SDSs Especificar parámetros de operación como especificaciones clave del diseño

Beneficios de los tipos de FMEA Salidas del FMEA de Concepto Cambios a estándares o procesos de manufactura globales Nuevos métodos de prueba o recomendaciones para nuevas pruebas genéricas Decisión sobre cual concepto seleccionar

Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Diseño Soporta el proceso de diseño al reducir el riesgo de fallas (incluyendo las salidas no intencionadas) por: Soporta la evaluación objetiva de diseño, incluyendo requerimientos funcionales y alternativas de diseño Evaluar los diseños iniciales sobre requerimientos de manufactura, ensamble, servicio y reciclado Incrementar la probabilidad de que los modos de falla potencial y sus efectos en el sistema y operación del producto se han considerado en el procesos de diseño/desarrollo

Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Diseño Proporcionar información adicional como apoyo en la planeación exhaustiva de programas de diseño eficiente, desarrollo y validación Desarrollo de una lista priorizada de modos de falla potenciales de acuerdo a su efecto en el “cliente” estableciendo un sistema de prioridades para mejoras al diseño, desarrollo, validación, prueba y análisis Proporcionar un formato de problemas pendientes para recomendar y dar seguimiento de acciones que reduzcan el riesgo

Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Diseño Proporcionar referencias futuras, vg. lecciones aprendidas, ayuda en análisis de problemas de campo, evaluar cambios de diseño y desarrollo de diseños avanzados Ayuda a identificar características críticas potenciales y características significativas potenciales Ayuda a validad el plan de verificación del diseño (DVP) y las especificaciones de diseño del sistema (SDSs)

Beneficios de los tipos de FMEA Salidas del FMEA de Diseño Se enfoca a modos de falla potenciales de productos causadas por deficiencias de diseño Identifica características potenciales designadas o características especiales Proporciona una lista de Modos y Causas de Modos de falla del producto Una lista de características críticas potenciales y/o características significativas

Beneficios de los tipos de FMEA Salidas del FMEA de Diseño Una lista de acciones recomendadas para reducir severidad, eliminando las causas de los modos de falla del producto o reduciendo su tasa de ocurrencia o mejora de la detección Para FMEAs de nivel de sistema, confirma las SDS o las actualiza Confirmación del Plan de Verificación del Diseño (DVP) Retrolalimentación de cambios de diseño a los comités

Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Proceso Los beneficios de un FMEA de proceso incluyen: Identifica las funciones y requerimientos del proceso Identifica modos de falla potenciales relacionados con el producto y proceso Evalúa los efectos de las fallas potenciales con el cliente Identifica las causas potenciales en el proceso de manufactura Identifica las variables de proceso en las cuales hay que enfocarse para reducir las fallas muy lejanas

Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Proceso Los beneficios de un FMEA de proceso incluyen: Identificar las variables del proceso centrandose en la ocurrencia Reducción o detección de las condiciones de falla Identificar variables del proceso a las cuales enfocar el control Desarrollar una lista ordenada clasificada de modos de falla estandarizados para establecer un sistema de prioridades

Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Proceso Sistema del prioridad del riesgo para consideraciones de acciones preventivas y correctivas Documentar los resultados del proceso de manufactura o proceso de ensamble Documenta los resultados del proceso de manufactura o ensamble Identifica deficiencias del proceso para orientar a establecer controles para reducir la ocurrencia de productos no conformes o en métodos para mejorar su detección

Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Proceso Identifica características críticas y/o significativas confirmadas Apoya en el desarrollo de Planes de Control a través de todo el proceso de manufactura Identifica aspectos de preocupación en relación con la seguridad del operador Retroalimenta información sobre cambios de diseño requeridos y factibilidad de manufactura a las áreas de diseño

Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Proceso Se enfoca a modos de falla potenciales del producto causados por deficiencias de manufactura o ensamble Confirma la necesidad de controles especiales en manufactura y confirma las “Características Especiales” designadas en el DFMEA Identifica modos de falla del proceso que pudieran violar las reglamentaciones del gobierno o comprometer la seguridad del personal, identificando otras “Características especiales” – de Seguridad del operador (OS) y con alto impacto (HI)

Salidas del FMEA de Proceso Una lista de modos potenciales de falla Una lista de Caracteríticas críticas y/o significativas Una lista de características relacionadas con la seguridad del operador y con alto impacto Una lista de controles especiales recomendados para las Características Especiales designadas y consideradas en el Plan de control

Salidas del FMEA de Proceso Una lista de procesos o acciones de proceso para reducir la Severidad, eliminar las causas de los modos de falla del producto o reducir su tasa de ocurrencia, y mejorar la tasa de Detección de defectos si no se puede mejorar la capacidad del proceso Cambios recomendados a las hojas de proceso y dibujos de ensamble

Modos de fallas vs Mecanismos de falla El modo de falla es el síntoma real de la falla (altos costos del servicio; tiempo de entrega excedido). Mecanismos de falla son las razones simples o diversas que causas el modo de falla (métodos no claros; cansancio; formatos ilegibles) o cualquier otra razón que cause el modo de falla

Definiciones Modo de Falla - La forma en que un producto o proceso puede fallar para cumplir con las especificaciones o requerimientos. - Normalmente se asocia con un Defecto, falla o error. Diseño Proceso Alcance insuficiente Omisiones Recursos inadecuados Monto equivocado Servicio no adecuado Tiempo de respuesta excesivo

Definiciones Efecto - El impacto en el Cliente cuando el Modo de Falla no se previene ni corrige. - El cliente o el siguiente proceso puede ser afectado. Ejemplos: Diseño Proceso Serv. incompleto Servicio deficiente Operación errática Claridad insuficiente Causa - Una deficiencia que genera el Modo de Falla. - Las causas son fuentes de Variabilidad asociada con variables de Entrada Claves Ejemplos: Diseño Proceso Material incorrecto Error en servicio Demasiado esfuerzo No cumple requerimientos

Preparación del AMEF Se recomienda que sea un equipo multidisciplinario El responsable del sistema, producto o proceso dirige el equipo, así como representantes de las áreas involucradas y otros expertos en la materia que sea conveniente.

¿Cuando iniciar un FMEA? Al diseñar los sistemas, productos y procesos nuevos. Al cambiar los diseños o procesos existentes o que serán usados en aplicaciones o ambientes nuevos. Después de completar la Solución de Problemas (con el fin de evitar la incidencia del problema). El AMEF de diseño, después de definir las funciones del producto, antes de que el diseño sea aprobado y entregado para su manufactura o servicio. El AMEF de proceso, cuando los documentos preliminares del producto y sus especificaciones están disponibles.

FMEA de Diseño - DFMEA

AMEF de Diseño El DFMEA es una técnica analítica utilizada por el equipo de diseño para asegurar que los modos de falla potenciales y sus causas/mecanismos asociados, se han considerado y atendido

AMEF de Diseño El proceso inicia con un listado de lo que se espera del diseño (intención) y que no hará el diseño Las necesidades y expectativas de los clientes de determinan de fuentes tales como el QFD, requerimientos de diseño del producto, y/o requerimientos de manufactura/ensamble/servicio. Entre mejor se definan las características deseadas, será más fácil identificar Modos de de falla potenciales para toma de acciones correctivas / preventivas.

Entradas al FMEA de Diseño

Equipo de trabajo El equipo se divide en dos secciones: El equipo central (“core”) que participa en todas las fases del FMEA y el equipo de soporte que apoya conforme es requerido El apoyo de la alta dirección es crucial para el éxito

Alcance del DMEA El alcance se establece en el Diagrama de límites (Boundary Diagram) por medio de consenso con el equipo de: ¿Qué se va incluir? ¿Qué se va a excluir? Establecer los límites adecuados antes de hacer el DFMEA evitará entrar en áreas que no se están revisando o creando, para asegurar que el equipo adecuado realice el análisis

Alcance del DMEA Para determinar la amplitud del alcance, se deben hacer las decisiones siguientes: Determinar la estabilidad del diseño o desarrollo del proceso, a lo mejor primero se deben aclarar y resolver asuntos pendientes antes del DMFEA, ¿está finalizado o es un punto de control? ¿Cuántos atributos o características están todavía bajo discusión o la necesidad debe determinarse? ¿Qué tan avanzado va el diseño o proceso para su terminación? Tendrá cambios

Entradas al DFMEA Herramientas de robustez Su propósito es reducir la probabilidad de campañas de calidad, mejorar la imagen, reducir reclamaciones de calidad e incrementar la satisfacción del cliente Se generan del diagrama P que identifica los cinco factores de ruido, para ser atendidos a tiempo haciendo al diseño insensible al ruido

Entradas al DFMEA Diagrama de límites Un diagrama de límites es una ilustración gráfica de las relaciones entre subsistemas, ensambles, subensambles y componentes dentro del objeto, así como las interfases con los sistemas vecinos y el entorno Al inicio del diseño, el diagrama de límites puede ser de algunos bloques representado las funciones principales y sus interrelaciones al nivel del sistema. Conforme madura el diseño, se pueden revisar o complementar para mostrar niveles inferiores de detalle, profundizando hasta el nivel de componente

Entradas al DFMEA Matriz de interfase Ilustra las relaciones entre subsistemas, ensambles, subensambles, y componentes dentro del objeto así como las interfases con los sistemas vecinos y el entorno. Documenta los detalles tales como tipos de interfases, fuerza/importancia de las interfases, efecto potencial de interfases, etc. Si no se atienden las interacciones en este punto pueden generarse garantías potenciales y problemas de devoluciones

Entradas al DFMEA Diagrama P Se usa para identificar entradas intencionadas (señales) y salidas (funciones) para el objeto de estudio bajo una función específica. Se identifican los estados de error. Los factores de ruido fuera del control del diseñador que puedan ocasionar estados de error se listan (de acuerdo a las cinco fuentes básicas de ruido) Variación pieza a pieza Cambios en el tiempo (desgaste) Uso del cliente Efectos del ambiente (tipo de camino, clima) Interacciones del sistema Finalmente se identifican y ajustan los factores de control para minimizar el ruido

Entradas al DFMEA Diagrama P Dependiendo del nivel de detalle del Diagrama P, la información se alimenta a diversas columnas del FMEA. Se sugiere anexarlo El Diagrama P: Describe los factores de ruido, factores de control, funciones ideales y estados de error Asisten en la identificación de: Causas potenciales de falla Modos de falla Efectos potenciales de la falla Controles actuales Acciones recomendadas

Entradas al DFMEA Diagrama P

Entradas al DFMEA Diagrama P Los factores de control permiten hacer ajustes para que las funciones del producto sean más robustos Un estado de error se puede clasificar en dos categorías: 1. Desviación de la función intencionada con modos de falla potenciales: No funciona Funciona parcialmente (incluye degradación en el tiempo) Función intermitente Sobrefunción

Entradas al DFMEA Diagrama P 2. Salida no intencionada del sistema (v. gr. Vibraciones) Los factores de ruido son interfases no intencionadas, o condiciones e interacciones que pueden ocasionar falla de la función (v. gr. La vibración produce desgaste) Las respuestas son salidas intencionadas de salida ideales (vg. Bajo consumo) Los factores de señal son los que se activan para iniciar la función (v. gr. El usuario activa un switch)

Modelo DFMEA – Paso 1 Funciones Identificar todas las funciones en el alcance Identificar como cada una de las funciones puede fallar (Modos de falla) Identificar un grupo de efectos asociados para cada modo de falla Identificar el rango de severidad para cada uno de los grupos de efectos que prioriza los modos de falla Si es posible recomendar acciones para eliminar los modos de falla sin atender las “causas” Completar pasos 2 y 3

Modelo DFMEA – Paso 1 Funciones La función da respuesta a ¿Qué se supone que hace este artículo? Las funciones son intenciones del diseño o especs. de ing. y: Se escriben en forma de verbo/nombre/caract. medible La característica Medible o SDS: Puede ser verificada/validada; incluye parámetros adicionales o parámetros de diseño como especificaciones de servicio, condiciones especiales, peso, tamaño, localización y accesibilidad o requerimientos de estándares (v. gr. EMVSS)

Modelo DFMEA – Paso 1 Funciones Las funciones representan las expectativas, necesidades y requerimientos tanto explícitos como no explícitos de los clientes y sistemas Las funciones no pueden “fallar” si no son medibles o especificadas Ejemplos: Almacenar fluido, X litros sin fugas Controlar el flujo, X centímetros cúbicos por segundo Abrir con X fuerza Mantener la calidad del fluido durante X años bajo condiciones de operación

Modelo DFMEA – Paso 1 Modos de falla potenciales Son las formas en las cuales un componente, subsistema o sistema pueden potencialmente no cumplir o proporcionar la función intencionada, pueden ser también las causas El Modo de falla en un sistema mayor puede ser el efecto de un componente de menor nivel Listar cada uno de los modos de falla potenciales asociados con el artículo en particular y con su función (revisar el historial de garantías y fallas o hacer tormenta de ideas También se deben considerar modos de falla potenciales que pudieran ocurrir sólo bajo ciertas condiciones (vg. Calor, frío, humedad, polvo, etc)

Modelo DFMEA – Paso 1 Tipos de Modos de falla potenciales No funciona Funciona parcialmente / sobre función / degradación con el tiempo Función intermitente A veces causado por los factores ambientales Función no intencionada Los limpiadores operan sin haber actuado el switch El coche va hacia atrás aún con la palanca en Drive

Modelo DFMEA – Paso 1 Preguntas para Modos Potenciales de falla ¿De que manera puede fallar este artículo para realizar su función intencionada? ¿Qué puede salir mal (go wrong), a pesar de que el artículo se fabrica de acuerdo al dibujo? ¿Cuándo se prueba la función, como se debería reconocer su modo de falla? ¿Dónde y cómo operará el diseño?

Modelo DFMEA – Paso 1 Preguntas para Modos Potenciales de falla ¿Bajo que condiciones ambientales operará? ¿El artículo será usado en ensambles de más alto nivel? ¿Cómo interactúa/interfase con otros niveles del diseño? No introducir modos de fallas triviales que no pueden o no ocurrirán Asumiendo la función: Almacenar fluido, X litros, 0 fugas, durante 10 años Sus modos de falla son: Almacenar < X, presenta fugas

Modelo DFMEA – Paso 1 Efectos Potenciales de falla Se definen como los efectos del modo de falla en la función percibida por el cliente. Qué puede notar o experimentar ya sea interno o final Establecer claramente si la función podría impactar a la seguridad, o no cumplimiento de reglamentaciones Los efectos se establecen en términos de sisemas específicos, subsistemas o componentes conforme sean analizados La intención es analizar los efectos de falla al nivel de experiecia y conocimiento del equipo.

Modelo DFMEA – Paso 1 Efectos Potenciales de falla Describir las consecuencias de cada uno de los modos de falla identificados en: Partes o componentes Ensambles del siguiente nivel Sistemas Clientes Reglamentaciones NOTA. Todos los estados de error del diagrama P deben ser incluidos en la columna de Modos de falla o efectos del DMFEA

Modelo DFMEA – Paso 1 Ejemplos de Efectos Potenciales de falla Ruidos Operación errática – no operable Apariencia pobre – olores desagradables Operación inestable Operación intermitente Fugas Ruido de radiofrecuencia (EMC)

Modelo DFMEA – Paso 1 Severidad Es la evaluación asociada con el efecto más serio de la columna anterior. Habrá sólo una severidad para cada modo de falla Para reducir la severidad es necesario hacer un cambio de diseño La severidad se estima de la tabla siguiente

Rangos de Severidad (AMEFD) Efecto Rango Criterio . No 1 Sin efecto Muy poco 2 Cliente no molesto. Poco efecto en el desempeño del componente o servicio. Poco 3 Cliente algo molesto. Poco efecto en el desempeño del comp. o servicio. Menor 4 El cliente se siente un poco fastidiado. Efecto menor en el desempeño del componente o servicio. Moderado 5 El cliente se siente algo insatisfecho. Efecto moderado en el desempeño del componente o servicio. Significativo 6 El cliente se siente algo inconforme. El desempeño del comp. o servicio se ve afectado, pero es operable y está a salvo. Falla parcial, pero operable. Mayor 7 El cliente está insatisfecho. El desempeño del servicio se ve seriamente afectado, pero es funcional y está a salvo. Sistema afectado. Extremo 8 Cliente muy insatisfecho. Servicio inadecuado, pero a salvo. Sistema inoperable. Serio 9 Efecto de peligro potencial. Capaz de descontinuar el uso sin perder tiempo, dependiendo de la falla. Se cumple con el reglamento del gobierno en materia de riesgo. Peligro 10 Efecto peligroso. Seguridad relacionada - falla repentina. Incumplimiento con reglamento del gobierno.

Rangos de Severidad (AMEFD)

Modelo DFMEA – Paso 1 Clasificación Cuando un modo de falla tiene un rango de severidad de 9 o 10, existe una característica crítica, se identifica como “YC” y se inicia un FMEA de proceso Estas características del producto afectan su función segura y/o cumplimiento de reglamentaciones gubernamentales y pueden requerir condiciones especiales de manufactura, ensamble, abastecimiento, embarque, monitoreo y/o acciones de inspección o controles

Modelo DFMEA – Paso 1 Acciones recomendadas Eliminar el Modo de falla Mitigar el efecto Es necesario un énfasis especial en acciones posibles cuando la severidad es 9 o 10. Para valores menores también se pueden considerar acciones Para eliminar el modo de falla considerar la acción: Cambiar el diseño (vg. Geometría, material) si está relaionado a una característica del producto

Modelo DFMEA – Paso 2 Identificar: Las Causas asociadas (primer nivel y raíz) Su tasa de ocurrencia estimada La designación de la característica adecuada (si existe) a ser indicada en la columna de clasificación Acciones recomendadas para Severidad y Criticalidad alta (S x O)

Model DFMEA – Paso 2 Causa potencial o mecanismo de falla La causa potencial de falla se define como un indicador de debilidad del diseño cuya consecuencia es el modo de falla Listar como sea posible, cada causa de falla y/o mecanismo de falla para cada uno de los modos de falla. El detalle de la descripción permitirá enfocar los esfuerzos para atacar la causa pertinente

Model DFMEA – Paso 2 Causa potencial o mecanismo de falla Se puede emplear un diagrama de Ishikawa o un Árbol de falla (FTA), preguntarse: ¿Qué circunstancia pudo causar que fallara el artículo para su fúnción? ¿Cómo podría fallar el artículo para cumplir con las especificaciones? ¿Cómo pueden ser incompatibles artículos que interactúan? ¿Qué información desarrollada en los diagramas P y Matriz de Interfase pueden identificar causas potenciales? ¿Qué puede causar que el artículo no de la función intencionada? ¿Qué información en el Diagrama de límites pudo haberse pasado que pueda causar este modo de falla? ¿En que puede contribuir el historial de 8Ds y FMEAs a las causas potenciales?

Model DFMEA – Paso 2 Causa potencial o mecanismo de falla Supuesto 1: El artículo se fabricó de acuerdo a especificaciones, ejemplos de causas de falla: La especificación de Porosidad del material es muy alta La dureza del material especificada es muy baja El lubricante especificado es muy viscoso Torque especificado demasiado bajo Supuesto de confiabilidad inadecuada Degradación de parámetro del Componente Calor excesivo

Model DFMEA – Paso 2 Causa potencial o mecanismo de falla Supuesto 2: El artículo puede incluir una deficiencia que causa variabilidad introducida en el proceso de ensamble o manufactura: Especificar un diseño simétrico que permita que la parte se pueda instalar desde atrás o de arriba a abajo Torque incorrecto debido a que el hoyo está diseñado fuera de posición Cinturón equivocado debido a que el diseño es similar a otro que es estándar también en uso

Modelo DFMEA – Paso 2 Causa potencial o mecanismo de falla Precauciones: El DFMA no confía en los controles del proceso para subsanar debilidades del diseño, pero toma en cuenta sus limitaciones El objetivo es identificar las deficiencias del diseño que peuden causar variación inaceptable en el proceso de manufactura o ensamble a través de un equipo multidisciplinario Las causas de variación que no sean el resultado de directo de deficiencias de diseño pueden identificarse en el DFMEA y ser atendidas en el FMEA de Proceso Otro objetivo es identificar las características que mejoren la robustez del diseño que pueda compensar variaciones en proceso

Modelo DFMEA – Paso 2 Ocurrencia Ocurrencia es la probabilidad de que una causa/mecanismo (listado en la columna previa) ocurra durante la vida del diseño El rango de ocurrencia tiene un significado relativo más que sea absoluto La prevención o control de las Causas / Mecanismos del modo de falla se realiza a través de cambios de diseño o cambios de diseño del proceso para reducir la ocurrencia

Modelo DFMEA – Paso 2 Estimación de la Ocurrencia ¿Cuál es el historial de servicio y campo experimentado con artículos similares? ¿El artículo es similar al utilizado en niveles anteriores de subsistemas? ¿El componente es radicalmente diferente de los anteriores? ¿Ha cambiado la aplicación del componente? ¿Se han instalado controles preventivos en el proceso? ¿Cuáles son los cambios en el ambiente? ¿Se ha realizado un análisis análítico de la predicción de confiabilidad para estimar la tasa de ocurrencia?

Rangos de Ocurrencia (AMEFD) Ocurrencia Criterios Remota Falla improbable. No existen fallas asociadas con este producto o con un producto / Servicio casi idéntico Muy Poca Sólo fallas aisladas asociadas con este producto / Servicio casi idéntico Poca Fallas aisladas asociadas con productos / Servicios similares Moderada Este producto / Servicio ha tenido fallas ocasionales Alta Este producto / Servicio ha fallado a menudo Muy alta La falla es casi inevitable Rango Probabilidad de Falla 1 <1 en 1,500,000 Zlt > 5 2 1 en 150,000 Zlt > 4.5 3 1 en 30,000 Zlt > 4 4 1 en 4,500 Zlt > 3.5 5 1 en 800 Zlt > 3 6 1 en 150 Zlt > 2.5 7 1 en 50 Zlt > 2 8 1 en 15 Zlt > 1.5 9 1 en 6 Zlt > 1 10 >1 en 3 Zlt < 1 Nota: El criterio se basa en la probabilidad de ocurrencia de la causa/mecanismo. Se puede basar en el desempeño de un diseño similar en una aplicación similar.

Ocurrencia

Clasificación Cuando el Modo de falla/causa tien una severidad de 5 a 8 y una ocurrencia de 4 o mayor, entonces se tiene una caracterítica significativa crítica potencial que se identifica con “YS” y se inicia el FMEA de proceso Estas características del producto afectan la función del producto y/o son importantes para la satisfacción del cliente y pueden requerir condiciones especiales de manufactura, ensamble, embarque, monitoreo y/o inspección

Clasificación

Modelo DFMEA Paso 3 Si las causas no se pueden eliminar en paso 1 o 2, Identificar Controles actuales de prevención usados para establecer la ocurrencia Controles actuales de detección (vg. Pruebas) usadas para establecer la Detección Determinar la efectividad de los controles de Detección en escala de 1 a 10 El RPN inicial (Risk Priority Number). Acciones Recomendadas (Prevenciónn and Detección). Cuando ya se hayan implementado las acciones recomenddas, se revisa el formato DFMEA en relación a la Severidad, Ocurrencia, Detección y RPN

Modelo DFMEA – Paso 3 Controles de diseño actuales Listar las actividades terminadas para prevención, vaidación/verificación del diseño (DV), u otras actividades que aseguran la adecuación del diseño para el modo de falla y/o causa / mecanismo bajo consideración Controles actuales (vg. Diseños falla/seguro como válvulas de alivio, revisiones de factibilidad, CAE, Confianilidad y robustez analítica) son los que han sido o estan usándose con los mismos diseños o similares. El equipo siempre debe enfocarse a mejorar los controles de diseño, por ejemplo la creación de nuevos sistemas de prueba en el laboratorio, o la creación de muevos algoritmos de modelado, etc.

Modelo DFMEA – Paso 3 Controles de diseño actuales Hay dos tipos de controles de diseño: Prevención y detección De prevención: Previenen la ocurrencia de la causa/mecanismo o Modo de falla/efecto reduciendo la tasa de Ocurrencia De detección: Detectan la causa/mecanismo o Modo de falla/efecto ya sea por métodos analíticos o físicos antes que el artículo se libere para Poducción Si solo se usa una columna indicarlos con P o D

Modelo DFMEA – Paso 3 Controles de diseño actuales Identificación de controles de diseño Si una causa potencial no fue analizada, el producto con deficiencia de diseño pasará a Producción. Una forma de detectarlo es con su Modo de falla resultante. Se debe tomar acción correctiva Identificar controles de diseño como sigue: Identificar y listar los métodos que puedan ser utilizados para detectar el modo de falla, como: FMEA anteriores, Planes de DV anteriores, Lista de verificáción de robustez, Acciones de 8Ds

Modelo DFMEA – Paso 3 Controles de diseño actuales 2. Listar todos los controles de diseño históricos que puedan ser suados para causas de primer nivel listadas. Revisar reportes históricos de pruebas 3. Identificar otros métodos posibles preguntando: ¿De que manera puede la causa de este modo de falla ser reconocida? ¿Cómo puedo descubrir que esta causa ha ocurrido? ¿De que manera este modo de falla puede ser reconocido? ¿Cómo puedo descubrir que este modo de falla ha ocurrido?

Modelo DFMEA – Paso 3 Detección Cuando se estima una tasa de Detección, considerar solo los controles que serán usados para detectar los Modos de Falla o sus Causas. Los controles intencionados para prevenir o reducir la Ocurrencia de una Causa o Modo de falla son considerados al estimar la tasa de Ocurrencia Si los controles de prevención no detectan deben ser calificadas con 10 Solo se deben considerar los métodos que son usados antes de la liberación a Producción para estimar la tasa de Detección Los programas de verificación de diseño deben basarse en la efectividad de los controles de diseño

Modelo DFMEA – Paso 3 Detección Para evaluar la efectividad de cada control de diseño considerar las siguientes categorías (de mayor a menor): Métodos de análisis de diseño Modelado y simulación probada (vg. Análisis de elementos finitos) Estudios de tolerancias (vg. Tolerancias deométricas dimensionales) Estudios de compatibilidad de materiales (vg. Expansión térmica, corrosión) Revisión de diseño subjetiva Métodos de desarrollo de pruebas: Diseño de experimentos/ experimentos de peor caso (vg. Ruido)

Modelo DFMEA – Paso 3 Detección Métodos de desarrollo de pruebas (cont…): Pruebas en muestras de pre-producción o prototipo Maquetas usando partes similares Pruebas de durabilidad (verificación de diseño) Número de muestras a ser probadas Muestra significativa estadísticamente Cantidad pequeña, no significativa estadísticamente Oportunidad de la aplicación de control de diseño Desde la etapa de diseño del concepto (vg. Decisión del tema) Al tener prototipos de ingeneiría Justo antes de liberarse a Producción

Rangos de Detección (AMEFD) Rango de Probabilidad de Detección basado en la efectividad del Sistema de Control Actual; basado en el cumplimiento oportuno con el Plazo Fijado 1 Detectado antes del prototipo o prueba piloto 2 - 3 Detectado antes de entregar el diseño 4 - 5 Detectado antes del lanzamiento del servicio 6 - 7 Detectado antes de la prestación del servicio 8 Detectado antes de prestar el servicio 9 Detectado en campo, pero antes de que ocurra la falla o error 10 No detectable hasta que ocurra la falla o error en campo

Rangos de Detección (AMEFD)

DFMEA – Cálculo del riesgo El número de prioridad del rieso (RPN) es el producto de Severidad (S), Ocurrencia (O) y Detección (D) RPN = (S) x (O) x (D) con valores entre 1 y 1000 Puede usarse como en un Pareto para priorizar riesgos potenciales con efectos que tengan las tasas más altas de severidad Atender los aspectos con Severidad 9 o 10 y después los efectos con Severidad alta; los de criticalidad alta (S x O) y al final los que tienen RPNs más altos

DFMEA – Acciones recomendadas Considerar acciones como las siguientes: Revisión del diseño de la Geometría y/o tolerancias Revisión de especificación de materiales Diseños de experimentos (con múltiples causas interactuando) u otras técnicas de solución de problemas Revisión de planes de prueba Sistemas redundantes – dispositivos de aviso – estados de falla (ON y OFF) El objetivo primario de las acciones recomendadas es reducir riesgos e incrementar la satisfacción del cliente al mejorar el diseño. Para reducir la severidad es necesario un cambio de diseño

DFMEA – Acciones tomadas Se identifica la organización y persona responsable para las acciones recomendadas y la fecha de terminación Dar seguimiento: Desarrollar una lista de características especiales parasu consideración en el DFMEA Dar seguimiento a todas las acciones recomendadas y actualizar las acciones del DFMEA Después de que se implementa una acción, anotar una descripción breve y la fecha de efectividad

DFMEA – Nivel de riesgo RPN Después de haber implementado las acciones preventivas/correctivas, registrar la nueva Severidad, Ocurrencia y Detección Calcular el nuevo RPN Si no se tomaron acciones en algunos aspectos, dejarlos en blanco

DFMEA – Lista de verificación de robustez Es una salida del proceso integrado de robustez: Resume los atributos de robustez clave y controles de diseño Enlaza el DFMEA y los 5 factores de ruido del diseño al Plan de verificación de diseño (DVP); vg., esta lista es una entrada al DVP Debe ser un documento clave a revisar como parte del proceso de revisión de diseño

FMEA de Proceso - PFMEA

FMEA de Proceso

PFMEA Equipo Se inicia por el Ing. responsable de la actividad, en conjunto con un equipo de personas expertas además de incluir personas de apoyo Alcance Define que es incluido y que es excluido

Entradas al PFMEA Diagrama de flujo del proceso El equipo debe desarrollar el flujo del proceso, preguntando ¿Qué se supone que hace el proceso?; ¿Cuál es su propósito?; ¿Cuál es su función? El Diagrama P es una entrada opcional al PFMEA

Modelo del PFMEA – Paso 1 Identificar todos los requerimientos funcionales dentro del alcance Identificar los modos de falla correspondientes Identificar un conjunto de efectos asociados para cada modo de falla Identificar la calificación de severidad para cada conjunto de efectos que de prioridad el modo de falla De ser posible, tomar acciones para eliminar modos de falla sin atender las “causas”

Modelo de PFMEA – Paso 1 Requerimientos de la función del proceso Contiene características de ambos el producto y el proceso Ejemplos Operación No. 20: Hacer perforación de tamaño X de cierta profundidad Operación No. 22: Realizar el subensamble X al ensamble Y

Pasos del proceso Del diagrama de flujo

Modelo de PFMEA – Paso 1 Modos de falla potenciales No funciona Funcionamiento parcial / Sobre función / Degradación en el tiempo Funcionamiento intermitente Función no intencionada Los modos de falla se pueden categorizar como sigue: Manufactura: Dimensional fuera de tolerancia Ensamble: Falta de componentes Recibo de materiales: Aceptar partes no conformes Inspección/Prueba: Aceptar partes equivocadas

Modelo de PFMEA – Paso 1 Efectos de las fallas potenciales (consecuencias en) Seguridad del operador Siguiente usuario Usuarios siguientes Máquinas / equipos Operación del producto final Cliente último Cumplimiento de reglamentaciones gubernamentales

Modelo de PFMEA - Paso 1 Efectos de las fallas potenciales (en usuario final) Ruido Operación errática Inoperable Inestable Apariencia mala Fugas Excesivo esfuerzo Retrabajos / reparaciones Insatisfacción del cliente

Modelo de PFMEA –Paso 1 Efectos de las fallas potenciales (en siguiente operación) No se puede sujetar No se puede tapar No se puede montar Pone en riesgo al operador No se ajusta No conecta Daña al equipo Causa excesivo desgaste de herramentales

CTQs del QFD o Matriz de Causa Efecto

Efecto en Manufactura /Ensamble CRITERIO DE EVALUACIÓN DE SEVERIDAD SUGERIDO PARA AMEFP Esta calificación resulta cuando un modo de falla potencial resulta en un defecto con un cliente final y/o una planta de manufactura / ensamble. El cliente final debe ser siempre considerado primero. Si ocurren ambos, use la mayor de las dos severidades Efecto Efecto en el cliente Efecto en Manufactura /Ensamble Calif. Peligroso sin aviso Calificación de severidad muy alta cuando un modo potencial de falla afecta la operación segura del producto y/o involucra un no cumplimiento con alguna regulación gubernamental, sin aviso Puede exponer al peligro al operador (máquina o ensamble) sin aviso 10 Peligroso con aviso Calificación de severidad muy alta cuando un modo potencial de falla afecta la operación segura del producto y/o involucra un no cumplimiento con alguna regulación gubernamental, con aviso Puede exponer al peligro al operador (máquina o ensamble) sin aviso 9 Muy alto El producto / item es inoperable ( pérdida de la función primaria) El 100% del producto puede tener que ser desechado op reparado con un tiempo o costo infinitamente mayor 8 Alto El producto / item es operable pero con un reducido nivel de desempeño. Cliente muy insatisfecho El producto tiene que ser seleccionado y un parte desechada o reparada en un tiempo y costo muy alto 7 Modera do Producto / item operable, pero un item de confort/conveniencia es inoperable. Cliente insatisfecho Una parte del producto puede tener que ser desechado sin selección o reparado con un tiempo y costo alto 6 Bajo Producto / item operable, pero un item de confort/conveniencia son operables a niveles de desempeño bajos El 100% del producto puede tener que ser retrabajado o reparado fuera de línea pero no necesariamente va al àrea de retrabajo . 5 Muy bajo No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos y rechinidos. Defecto notado por el 75% de los clientes El producto puede tener que ser seleccionado, sin desecho, y una parte retrabajada 4 Menor No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos y rechinidos. Defecto notado por el 50% de los clientes El producto puede tener que ser retrabajada, sin desecho, en línea, pero fuera de la estación 3 Muy menor No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos, y rechinidos. Defecto notado por clientes muy críticos (menos del 25%) El producto puede tener que ser retrabajado, sin desecho en la línea, en la estación 2 Ninguno Sin efecto perceptible Ligero inconveniente para la operación u operador, o sin efecto 1

Modelo de PFMEA – Paso 1 Severidad La severidad es la seriedad de cada efecto, poner la severidad del efecto más crítico para cada modo de falla

Modelo de PFMEA – Paso 1

Efecto en Manufactura /Ensamble CRITERIO DE EVALUACIÓN DE SEVERIDAD SUGERIDO PARA PFMEA Esta calificación resulta cuando un modo de falla potencial resulta en un defecto con un cliente final y/o una planta de manufactura / ensamble. El cliente final debe ser siempre considerado primero. Si ocurren ambos, use la mayor de las dos severidades Efecto Efecto en el cliente Efecto en Manufactura /Ensamble Calif. Peligroso sin aviso Calificación de severidad muy alta cuando un modo potencial de falla afecta la operación segura del producto y/o involucra un no cumplimiento con alguna regulación gubernamental, sin aviso Puede exponer al peligro al operador (máquina o ensamble) sin aviso 10 Peligroso con aviso Calificación de severidad muy alta cuando un modo potencial de falla afecta la operación segura del producto y/o involucra un no cumplimiento con alguna regulación gubernamental, con aviso Puede exponer al peligro al operador (máquina o ensamble) sin aviso 9 Muy alto El producto / item es inoperable ( pérdida de la función primaria) El 100% del producto puede tener que ser desechado op reparado con un tiempo o costo infinitamente mayor 8 Alto El producto / item es operable pero con un reducido nivel de desempeño. Cliente muy insatisfecho El producto tiene que ser seleccionado y un parte desechada o reparada en un tiempo y costo muy alto 7 Modera do Producto / item operable, pero un item de confort/conveniencia es inoperable. Cliente insatisfecho Una parte del producto puede tener que ser desechado sin selección o reparado con un tiempo y costo alto 6 Bajo Producto / item operable, pero un item de confort/conveniencia son operables a niveles de desempeño bajos El 100% del producto puede tener que ser retrabajado o reparado fuera de línea pero no necesariamente va al àrea de retrabajo . 5 Muy bajo No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos y rechinidos. Defecto notado por el 75% de los clientes El producto puede tener que ser seleccionado, sin desecho, y una parte retrabajada 4 Menor No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos y rechinidos. Defecto notado por el 50% de los clientes El producto puede tener que ser retrabajada, sin desecho, en línea, pero fuera de la estación 3 Muy menor No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos, y rechinidos. Defecto notado por clientes muy críticos (menos del 25%) El producto puede tener que ser retrabajado, sin desecho en la línea, en la estación 2 Ninguno Sin efecto perceptible Ligero inconveniente para la operación u operador, o sin efecto 1

Modelo de PFMEA – Paso 2 Paso 2 identificar: Las causas asociadas (primer nivel y raíz) Su tasa de ocurrencia La designación apropiada de la característica indicada en ola columna de clasificación Acciones recomendadas para alta severidad y criticalidad (S x O) así como la Seguridad del operador (OS) y errores de proceso de alto impacto (HI)

Modelo de PFMEA – Paso 2 Causa/Mecanismo potencial de falla Describe la forma de cómo puede ocurrir la falla, descrito en términos de algo que puede ser corregido o controlado Se debe dar priorioridad a rangos de prioridad de 9 o 10 Ejemplos, especificar claramente: Torque inadecuado (bajo o alto) Soldadura iandecuada (corriente, tiempo, presión) Lubricación inadecuada

Efecto(s) Potencial(es) de falla Evaluar 3 (tres) niveles de Efectos del Modo de Falla Efectos Locales Efectos en el Área Local Impactos Inmediatos Efectos Mayores Subsecuentes Entre Efectos Locales y Usuario Final Efectos Finales Efecto en el Usuario Final del producto o Servicio

Modelo de PFMEA – Paso 2 Suposición 1: Los materiales para la operación son correctos Ajuste de herramentales a la profundidad equivocada Desgaste de herramentales Temperatura del horno muy alta Tiempo de curado muy corto Presión de aire muy baja Velocidad del transportador no es constante Jets de lavadora desconectados

Modelo de PFMEA – Paso 2 Suposición 2: Los materiales para la operación tienen variación Material demasiado duro / suave / quebradizo La Dimensión no cumple especificaciones El acabado superficial de la operación 10 no cumple especificaciones El localizador de perforación fuera de posición correcta

Modelo de PFMEA – Paso 2 Ocurrencia: Es la probabilidad de que una causa/mecanismo ocurra Se puede reducir o controlar solo a través de un cambio de diseño Si la ocurrencia de la causa no puede ser estimada, entonces estimar la tasa de falla posible

Modelo de PFMEA – Paso 2 Ocurrencia

CRITERIO DE EVALUACIÓN DE OCURRENCIA SUGERIDO PARA AMEFP Probabilidad Indices Posibles de falla ppk Calif. Muy alta: Fallas persistentes < 0.55 10 50 por mil piezas > 0.55 9 Alta: Fallas frecuentes 20 por mil piezas > 0.78 8 10 por mil piezas > 0.86 7 Moderada: Fallas ocasionales 5 por mil piezas > 0.94 6 2 por mil piezas > 1.00 5 1 por mil piezas > 1.10 4 Baja : Relativamente pocas fallas 0.5 por mil piezas > 1.20 3 0.1 por mil piezas > 1.30 2 Remota: La falla es improbable < 0.01 por mil piezas > 1.67 1 100 por mil piezas

Modelo de PFMEA – Paso 2 Clasificación de características especiales si: Afectan la función del producto final, cumplimiento con reglamentaciones gubernamentales, seguridad de los operadores, o la satisfacción del cliente, y Requieren controles especiales de manufactura, ensamble, proveedores, embarques, monitoreo y/o inspección o seguridad

Modelo de PFMEA – Paso 2

Modelo de PFMEA – Paso 3 En el paso 3 identificar: Controles actuales de prevención del proceso (con acciones de diseño o proceso) usados para establecer la ocurrencia Controles actuales de detección (vg. Inspección) usados para establecer la tasa de detección Efectividad de los controles de detección del proceso en una escala de 1 a 10 El factor de riesgo RPN inicial Acciones recomendadas (Prevención y Detección)

Identificar Causa(s) Potencial(es) de la Falla Causas relacionadas con el diseño - Características del servicio o Pasos del proceso Diseño de formatos Asignación de recursos Equipos planeados Causas que no pueden ser Entradas de Diseño, tales como: Ambiente, Clima, Fenómenos naturales Mecanismos de Falla Rendimiento, tiempo de entrega, información completa

Causas potenciales De Diagrama de Ishikawa Diagrama de árbol o Diagrama de relaciones

Modelo de PFMEA – Paso 3 Controles de proceso actuales: Son una descripción de los controles ya sea para prevenir o para detectar la ocurrencia de los Modos/causas de falla Consideraciones Incrementar la probabilidad de detección es costosa y no efectiva A veces se requiere un cambio en el diseño para apoyar la detección El incremento del control de calidad o frecuencia de inspección sólo debe utilizarse como medida temporal Se debe hacer énfasis en la prevención de los defectos

Identificar Controles de Diseño o de Proceso Actuales Verificación/ Validación de actividades de Diseño o control de proceso usadas para evitar la causa, detectar falla anticipadamente, y/o reducir impacto: Cálculos, Análisis, Prototipo de Prueba, Pruebas piloto Poka Yokes, planes de control, listas de verificación Primera Línea de Defensa - Evitar o eliminar causas de falla o error Segunda Línea de Defensa - Identificar o detectar fallas o errores Anticipadamente Tercera Línea de Defensa - Reducir impactos/consecuencias de falla o errores

Modelo de PFMEA – Paso 3 Seleccionar un rango en la tabla de detección Si se usa inspección automática al 100% considerar: La condición del gages La calibración del gage La variación del sistema de medición del gage Probabilidad de falla del gage Probabilidad de que el sistema del gage sea punteado Si se usa inspección visual al 100% considerar: Es efectiva entre un 80 a 100% dependiendo del proc. El número de personas que pueden observar el modo de falla potencialmente La naturaleza del modo de falla - ¿es claro o confuso?

CRITERIO DE EVALUACIÓN DE DETECCION SUGERIDO PARA AMEFP  Detecciòn Criterio Tipos de Inspección Métodos de seguridad de Rangos de Detección Calif     A B C     Casi imposible Certeza absoluta de no detección     X No se puede detectar o no es verificada 10 Muy remota Los controles probablemente no detectarán     X El control es logrado solamente con verificaciones indirectas o al azar 9 Remota Los controles tienen poca oportunidad de detección     X El control es logrado solamente con inspección visual 8 Muy baja Los controles tienen poca oportunidad de detección     X El control es logrado solamente con doble inspección visual 7 Baja Los controles pueden detectar   X X El control es logrado con métodos gráficos con el CEP 6 Moderada Los controles pueden detectar   X   El control se basa en mediciones por variables después de que las partes dejan la estación, o en dispositivos Pasa NO pasa realizado en el 100% de las partes después de que las partes han dejado la estación 5 Moderadamente Alta Los controles tienen una buena oportunidad para detectar X X   Detección de error en operaciones subsiguientes, o medición realizada en el ajuste y verificación de primera pieza ( solo para causas de ajuste) 4 Alta Los controles tienen una buena oportunidad para detectar X X   Detección del error en la estación o detección del error en operaciones subsiguientes por filtros multiples de aceptación: suministro, instalación, verificación. No puede aceptar parte discrepante 3 Muy Alta Controles casi seguros para detectar X X   Detección del error en la estación (medición automática con dispositivo de paro automático). No puede pasar la parte discrepante 2 Muy Alta Controles seguros para detectar X     No se pueden hacer partes discrepantes porque el item ha pasado a prueba de errores dado el diseño del proceso/producto 1 Tipos de inspección: A) A prueba de error B) Medición automatizada C) Inspección visual/manual  

Modelo de PFMEA – Paso 3

Modelo de PFMEA – Paso 3

Modelo de PFMEA – Paso 3 Número de prioridad de riesgo Se calcula como RPN = (S) x (O) x (D) Acciones recomendadas Se deben dirigir primero a las de valores altos de Severidad (9 o 10) o RPNs, después continuar con las demás Las acciones se deben orientar a prevenir los defectos a través de la eliminación o reducción de las causas o modos de falla

Calcular RPN (Número de Prioridad de Riesgo) Producto de Severidad, Ocurrencia, y Detección RPN / Gravedad usada para identificar principales CTQs Severidad mayor o igual a 8 RPN mayor a 150

Reducir el riesgo general del diseño Planear Acciones Requeridas para todos los CTQs Listar todas las acciones sugeridas, qué persona es la responsable y fecha de terminación. Describir la acción adoptada y sus resultados. Recalcular número de prioridad de riesgo . Reducir el riesgo general del diseño

Modelo de PFMEA – Paso 3 Acciones tomadas Identificar al responsable de las acciones recomendadas y la fecha estimada de terminación Después de terminar una acción, dar una descripción breve de la acción real y fecha de efectividad Responsabilidad y fechas de terminación Desarrollar una lista de características especiales proporcionándola al diseñador para modificar el DFMEA Dar seguimiento a las acciones recomendadas y actualizar las últimas columnas del FMEA

Modelo de PFMEA – Paso 3 RPN resultante Salidas del PFMEA Después de implementadas las acciones recomendadas, estimar de nuevo los rangos de Severidad, Ocurrencia y Detección y calcular el nuevo RPN. Si no se tomaron acciones dejarlo en blanco. Salidas del PFMEA Hay una relación directa del PFMEA a el Plan de Control del proceso

Causas probables a atacar primero

FMEA de Concepto - DFMEA

CDFMEA Entradas al FMEA de Concepto El diagrama de flujo, diagrama de límites, Matriz de interfase y Diagrama P pueden ser menos detallados que para el DFMEA o PFMEA La columna de clasificación no se utiliza Causas potenciales / Mecanismo de falla Es importante analizar las interfases e interacciones donde los modos de falla deben ser atendidos antes de aprobar el conceptp Deben incluirse los factores humanos como fuentes de falla potenciales. El cliente puede interactuar con un elemento en el Diagrama de límites o en el Diagrama de flujo Algunos modos de falla y causas se pueden eliminar con cambios como agregar redundancia al sistema propuesto

CDFMEA Ocurrencia Controles actuales Frecuentemente se toma 10 ya que no se puede estimar en este tiempo. Una acción recomendada es necesaria para eliminar la causa. Lo mismo se aplica a las tasas de Ocurrencia altas Controles actuales Si no se conocen poner “No identificado en este momento” o “No se conoce la prevención o detección” Ejemplos: Simulación, modelos matemáticos, pruebas de laboratorio en elementos, análisis de elementos finitos, etc.

CDFMEA Detección Puede ser “Sin detección en este momento” con una estimación de 10. Se recomienda tomar una acción para identificar e implementar un método de detección Nivel de riesgo = RPN = (S) x (O) x (D) Acciones recomendadas para altos RPNs Modificar la propuesta para reducir la ocurrencia Agregar un sistema redundante para confiabilidad Agregar dispositivos de detección para que el cliente tome acciones que prevengan modos de falla Especificar un cierto tipo de material

Herramientas para el FMEA

Herramientas Diagramas de límites Diagramas de flujo de proceso Matriz de características Tormenta de ideas Árboles de funciones Lista de efectos: FMEA de diseño Lista de efectos: FMEA de proceso Diagrama de Ishikawa Tecnica de preguntas

Herramientas Análisis de árbol de fallas (FTA) Análisis del modo de falla (FMA) Diseño de experimentos (DOE) Proceso de solución de problemas de 8Ds Planes de Control Planeación dinámica de control (DCP) Despliegue de la función de calidad (QFD) Análisis de valor/ Ingeniería del valor (VA/VE) REDPEPR FMEA Express FMEA del software

Diagrama de límites Diagramas de límites de funciones Salida del análisis de funciones para la fase de concepto CFMEA, ilustran funciones en vez de partes Diagramas de límites Hardware/funcional Dividen al sistema en elementos más pequeños desde un punto de vista funcional. Muestran relaciones físicas, se usan en los DFMEAs.

Nombres de verbos útiles

Tormenta de ideas Seleccionar el problema a tratar. Pedir a todos los miembros del equipo generen ideas para la solución del problema, las cuales se anotan en el pizarrón sin importar que tan buenas o malas sean estas. Ninguna idea es evaluada o criticada antes de considerar todos los pensamientos concernientes al problema. Aliente todo tipo de ideas, ya que al hacerlo pueden surgir cosas muy interesantes, que motivan a los participantes a generar más ideas. Apruebe la naturalidad y el buen humor con informalidad, en este punto el objetivo es tener mayor cantidad de ideas Se les otorga a los participantes la facultad de modificar o mejorar las sugerencias de otros. Una vez que se tengan un gran número de ideas el facilitador procede a agrupar y seleccionar las mejores ideas por medio del consenso del grupo Las mejores ideas son discutidas y analizadas con el fin del proponer una solución.

Herramientas para el FMEA Árbol de funciones Ayuda a que los requerimientos del cliente no expresados explícitamente sobre el producto o proceso se cumplan Es conveniente describir las funciones de un producto o proceso por un verbo – pronombre medible, por ejemplo: Calentar el interior a XºC Enfriar a los ocupantes a XºC Eliminar la niebla del parabrisas en X segundos

Técnica de preguntas MODO DE FALLA: No ajustan los faros delanteros Hacer una oración con el modo de falla, causa y efecto y ver si la oración tiene sentido. Un modo de falla es debido a una causa, el modo de falla podría resultar en efectos, por ejemplo: MODO DE FALLA: No ajustan los faros delanteros P: ¿Qué podría ocasionar esta falla? R: La luz desalineada -> Efecto P: ¿A que se puede deber esta falla? R: Cuerda grande en tornillo de ajuste -> Causa El “No ajuste de faros delanteros” se debe a “Cuerda grande en tornillo de ajuste”. El “desajuste de los faros” ocasiona “haces de luz desalineados”

Técnica de preguntas Paso 3 Paso 1 ¿Qué lo causa? Paso 2 Modo de falla ¿Qué efecto tiene?

Análisis de árbol de fallas (FTA) Es una técnica analítica deductiva que usa un árbol para mostrar las relaciones causa efecto entre un evento indeseable (falla) y las diversas causas que contribuyen. Se usan símbolos lógicos para interconectar las ramas Después de hacer el FTA e identificadas las causas raíz, se pueden determinar las acciones preventivas o los controles necesarios Otra aplicación es determinar las probabilidades de las causas que contribuyen a la falla y propagarlas hacia adelante

Análisis del Modo de Falla (FMA) Es un enfoque sistemático disciplinado para cuantificar el modo de falla, tasa de falla, y causa raíz de fallas o tasas de reparación conocidas (el FMEA para las desconocidas) Se basa en información histórica de garantías, datos de campo, datos de servicios, y/o datos de procesos Se usa para identificar la operación, modos de falla, tasas de falla y parámetros críticos de diseño de hardware o procesos. También permite identificar acciones correctivas para causas raíz actuales

Diseño de experimentos (DOE) Es un método para definir los arreglos en cuales se puedas realizar experimentos, donde se cambian de manera controlada las variables independientes de acuerdo a un plan definido y se determinan los efectos Para pruebas de confiabilidad el DOE usa un enfoque estadístico para diseñar pruebas para identificar los factores primarios que causas eventos indeseables Se usan para identificar causas raíz de modos de falla, cuando varios factores pueden estar contribuyendo o cuando estos factores están interrelacionados y se desean conocer los efectos de sus interacciones

Método de 8 disciplinas (8Ds) Es un método de solución de problemas orientado a equipos de trabajo, las disciplinas o pasos son: Preparar el proceso Establecer el equipo Describir el problema Desarrollar las acciones de contención o contingentes Diagnosticar el problema (definir y verificar causa raíz) Seleccionar y verificar acciones correctivas permanentes (PCAs) para causas raíz y puntos de escape Implementar y validar PCAs Reconocer contribuciones del equipo y los miembros

Planes de control Es una descripción escrita del sistema para controlar el proceso de producción Lista todos los parámetros del proceso y características de las partes características de las partes que requiere acciones específicas de calidad El plan de control contiene todaslas características críticas y significativas Hay planes de control a nivel de manufactura de: Prototipos, producción piloto (capacidad de procesos) y de producción

Planeación dinámica de control (DCP) Es un procesos que liga las herramientas de calidad para construir planes de control robustos a través de un equipo Lanzamiento – definir los requerimientos de recursos Estructura del equipo central y de soporte Bitácora de preguntas

Planeación dinámica de control (DCP) 4. Información de soporte (ES, DFMEAs, DVP&R, PFMEA, etc.) 5. Diagrama de flujo y carácterísticas de enlace 6. Pre lanzamiento o controles preliminares 7. PFMEA 8. Plan de control 9. Desarrollar ilustraciones e instrucciones 10. Implementar y mantener

Despliegue de la función de calidad (QFD) El QFD es un método estructurado en el cual los requerimientos del cliente son traducidos en requerimientos técnicos para cada una de las etapas del desarrollo del producto y producción El QFD es entrada al FMEA de diseño o al FMEA de concepto. Los datos se anotan en el FMEA como medidas en la columna de función La necesidad de obtener datos de QFD pueden ser también una salida del FMEA de concepto

Análisis del valor / Ingeniería del valor (VA/VE) Son metodologías usadas comúnmente para despliegue del valor. La Ingeniería del valor se realiza antes de comprometer el herramental. El análisis del valor (VA) se realiza después del herramentado. Ambas técnicas usan la fórmula: Valor = Función (primaria o secundaria) / Costo Los datos de VA/VE pueden ser entradas al FMEA de diseño o de proceso en columna de Función como funciones primaria y secundaria. También pueden ser causas, controles o acciones recomendadas La metodología VA debe ser incluida en la revisión de FMEAs actuales como apoyo para evaluar riesgos y beneficios cuando se analizan varias propuestas

REDPEPR (Robust Engineering Design Product Enhacement Process) Es una herramienta que proporciona a los equipos de Diseño: Un proceso paso a paso para aplicar el RED Las herramientas necesarias para completar el diagrama P, listas de verificación de confiabilidad y robustez (RRCL) y la matriz de demostración de confiabilidad y robustez (RRDM) Preguntas y tips para guiar al equipo en el proceso Capacidad para generar reportes en Excel Un proceso para mejorar la comunicación con el equipo de ingeneiría El Web site donde se encuentra el software es www.redpepr.ford.com

Express Ambiental De máquinas Aplicaciones del FMEA Express Ambiental De máquinas

FMEA Express Es un proceso que aplica técnicas de FMEA simultaneamente tanto a los aspectos de diseño como a los de manufactura de un proyecto: Consiste de cuatro fases: Preparación: Se forma un equipo directivo para definir el alcance del proyecto, equipo de trabajo multidisciplinario, colección de información y documentos de modos de falla conocidos, causas, efectos y controles

FMEA Express Desarrollo del FMEA: El equipo de trabajo multidisciplianrio completa el FMEA utilizando formatos y definiciones estándar Posterior a la tarea: El facilitador y el equipo directivo generan un reporte final y un plan de seguimiento. El líder del equipo de FMEA es responsable de monitorear el avance Auditoría de calidad: Después de una verificación de calidad, se proporciona un certificado de cumplimiento Software para el FMEA: www.quality.ford.com/cpar/fmea/

E-FMEA ambiental

E-FMEA ambiental

Matriz de requerimientos ambientales con criterios múltiples Para cada alternativa de diseño resumir la siguiente información Uso de substancias prohibidas o de uso restringido Tipo y cantidad de residuos (refleja el nivel de materiales utilizados) Consumo de energía por componente Consumo de agua por componente Otros objetivos ambientales

E-FMEA Ejemplos de acciones recomendadas (hacer una revisión previa de efectos secundarios en la vida del producto): Sistemas de conexión alternos Reciclar Rutas alternas de disposición de residuos Uso de materiales naturales Revisar rutas de transporte Reducir trayectorias de proceso Optimizar el consumo de agua y energía

E-FMEA Salidas del FMEA ambiental: Recomendaciones de materiales Recomendaciones de diseño (vg. Tipo de enlace) Recomendaciones de proceso (vg. Potencial de ahorro de energía) Recomendación para rutas de disposición

MFMEA – FMEA de maquinaria

FMEA de maquinaria Su propósito es que a través de un equipo se asegure que los modos de falla y sus causas/mecanismos asociados se hayan atendido Soporta el proceso de diseño en: Apoyar en la evaluación objetiva de las funciones del equipo, requerimientos de diseño y alternativas de diseño Incrementar la probabilidad de que los modos de falla y sus efectos en la maquinaria se han considerado en el proceso de diseño y desarrollo

FMEA de maquinaria Proporcionar información adicional como apoyo a la planeación de todos los programas de diseño, prueba y desarrollo Desarrollar una lista de modos de falla potenciales en base a su efecto con el cliente, estableciendo prioridades para mejoras al diseño y desarrollo Proporcionar documentación para referencia futura para el análisis de problemas de campo, evaluando cambios de diseño y desarrollo de maquinaria.

FMEA de maquinaria Ejemplos de descripción de funciones Proceso de partes – 120 tareas / hora Cabezal del índice – MTBF > 200 Hrs Control del flujo hidráulico – 8p cl/seg. Sistema de posición – Ángulo de rotación de 30º Hacer un barreno – Rendimiento a la primera 99.9%

FMEA de maquinaria Efectos potenciales como consecuencias de falla de subsistemas en relación a seguridad y “Las 7 grandes pérdidas” Falla – pérdidas resultado de una pérdida funcional o reducción de la función sobre una parte del equipo requiriendo intervención de mantenimiento Preparación y ajustes – pérdidas que son resultado de procedimientos de preparación tal como herramentado, cambio de modelo o cambio de molde. Los ajustes incluyen el tiempo muerto usado para ajustar el equipo para evitar defectos y bajo rendimiento, requiriendo intervención del operador o ajustador

FMEA de maquinaria Tiempo de espera y paros menores – pérdidas resultado de interrupciones menores al flujo del proceso (como atoramiento de microswitch) requiriendo intervención del operador. El tiempo de espera sólo se puede resolver revisando el sistema / línea completa Capacidad reducida – pérdidas que resultan de la diferencia entre el ciclo de tiempo ideal del equipo y su tiempo de ciclo real. El tiempo de ciclo ideal se determina por: a) velocidad original; b) condiciones óptimas y c) tiempo máximo de ciclo logrado con maquinaria similar

FMEA de maquinaria Pérdidas en el arranque – pérdidas que ocurren durante los primeros pasos del proceso productivo después de paros largos (fines de semana, días de azueto, o entre turnos), resultando en rendimiento reducido o incremento de desperdicio y rechazos Partes defectivas – pérdidas que resultan de la generación de defectos que producen retrabajo, reaparaciones, y/o partes no útiles Herramentales – pérdidas que resultan de fallas en el herramental, rotura, deterioración o desgaste (vg. Herramientas de corte, tips de soldadura, etc.)

FMEA de maquinaria Criterios de Severidad

FMEA de maquinaria Causas potenciales, se asume que la maquinaria se fabricó, instaló, usó, y se dispuso de acuerdo a sus especificaciones, preguntarse para identificar causas potenciales lo siguiente: ¿Cuáles son las circunstancias que pueden orientar al componente, subsistema y sistema a no cumplir sus requerimientos funcionales / de desempeño? ¿A qué grado pueden los componentes, subsistemas y sistemas que interactúan ser compatibles? ¿Qué especificaciones garantizan compatibilidad?

FMEA de maquinaria Criterios de Ocurrencia

FMEA de maquinaria Criterios de Detección

Herramientas de la Fase de Análisis Identificación de causas potenciales Cartas Multivari y Análisis de Regresión Intervalos de confianza y Pruebas de Hipótesis

7C2. Identificación de causas potenciales Tormenta de ideas Diagrama de Ishikawa Diagrama de Relaciones Diagrama de Árbol Verificación de causas raíz

Tormenta de ideas Técnica para generar ideas creativas cuando la mejor solución no es obvia. Reunir a un equipo de trabajo (4 a 10 miembros) en un lugar adecuado El problema a analizar debe estar siempre visible Generar y registrar en el diagrama de Ishikawa un gran número de ideas, sin juzgarlas, ni criticarlas Motivar a que todos participen con la misma oportunidad

Tormenta de ideas Permite obtener ideas de los participantes

Diagrama de Ishikawa Anotar el problema en el cuadro de la derecha Anotar en rotafolio las ideas sobre las posibles causas asignándolas a las ramas correspondientes a: Medio ambiente Mediciones Materia Prima Maquinaria Personal y Métodos o Las diferentes etapas del proceso de manufactura o servicio

Diagrama de Ishikawa

TIPS PARA EL INSTRUCTOR Diagrama de relaciones Programación deficiente Capacidad instalada desconocida Marketing no tiene en cuenta cap de p. Mala prog. De ordenes de compra Compras aprovecha ofertas Falta de com..... Entre las dif. áreas de la empresa Duplicidad de funciones Las un. Reciben ordenes de dos deptos diferentes Altos inventarios No hay control de inv..... En proc. Demasiados deptos de inv..... Y desarrollo Falta de prog. De la op. En base a los pedidos No hay com..... Entre las UN y la oper. Falta de coordinación al fincar pedidos entre marketing y la op. Falta de control de inventarios en compras Influencia de la situación econ del país No hay com..... Entre compras con la op. general No hay coordinación entre la operación y las unidades del negocio Falta de coordinación entre el enlace de compras de cada unidad con compras corporativo Influencia directa de marketing sobre Compra de material para el desarrollo de nuevos productos por parte inv..... Y desarrollo’’’ No hay flujo efectivo de mat. Por falta de programación de acuerdo a pedidos Perdida de mercado debido a la competencia Constantes cancelaciones de pedidos de marketing entre marketing operaciones Falta de comunicación entre las unidades NOTAS DEL INSTRUCTOR TIPS PARA EL INSTRUCTOR El instructor mostrará éste ejemplo de inventarios y pedirá a los participantes elaboren, si es que aplica, un diagrama de relaciones para su proyecto. Tomar 25 minutos para que trabajen los equipos y 5 minutos de plenaria. D-17

Dancer Taco generador del motor Poleas guías Presión del dancer Mal guiado Sensor de velocidad de línea Sensor circunferencial Bandas de transmisión Empaques de arrastre Presión de aire de trabajo Drive principal Voltaje del motor Ejes principales Poleas de transmisión ¿Que nos puede provocar Variación de Velocidad Durante el ciclo de cambio en la sección del Embobinadores? Causas a validar 13/0 2/4 0/4 1/2 5/1 1/4 2/1 1/1 0/3 5/2 4/1 1/5 Entradas Causa Salidas Efecto

TIPS PARA EL INSTRUCTOR Diagrama de árbol o sistemático NOTAS DEL INSTRUCTOR Meta Medio Segundo nivel Cuarto nivel Tercer nivel Primer nivel Meta u objetivo Medios o planes TIPS PARA EL INSTRUCTOR El instructor explicará que ésta es la forma que toma el diagrama sistemático, resaltando que una meta se convierte en un medio Es decir vamos dividiendo las grandes tareas en pequeñas tareas, que a su vez son más fáciles de solucionar y nos ayudan a alcanzar nuestro objetivo. D-20

Diagrama de Arbol- Aplicación Sistema SMED ¿Cómo? ¿Cuándo? Preparación para el SMED Filmar la preparación 5- 12 - Mar-04 Analizar el video 10 y 17 –Mar-04 Describir las tareas 17- Mar-04 ¿Objetivo? Separar las tareas 17- Mar-04 Fase 1: Separación de la preparación interna de la externa Elaborar lista de chequeo 2- Mar-04 Implantar el Sistema SMED Producto DJ 2702 Realizar chequeo de funciones 24- Mar-04 Analizar el transporte de herramientas y materiales 24- Mar-04 ¿Qué? Analizar las funciones y propósito de c/operación 12 - Abr- 04 Fase 2: Conversión de preparación interna en externa Convertir tareas de prepa- ración interna a externas 15 –Abr - 04 Elaboramos un Diagrama de Arbol para poder analizar nuestro problema siguiendo el sistema SMED. Realización de operaciones en paralelo. 5 –May -04 Fase 3: Refinamiento de todos los aspectos de la preparación. Uso de sujeciones funcionales. 19– May -04 Eliminación de ajustes 12- May -04 19

Verificación de posibles causas Para cada causa probable , el equipo deberá por medio del diagrama 5Ws – 1H: Llevar a cabo una tormenta de ideas para verificar la causa. Seleccionar la manera que: represente la causa de forma efectiva, y sea fácil y rápida de aplicar.

Calendario de las actividades ¿qué? ¿por qué? ¿cómo? ¿cuándo? ¿dónde? ¿quién? 1 Tacogenerador de motor embobinador 1.1 Por variación de voltaje durante el ciclo de cambio 1.1.1 Tomar dimensiones de ensamble entre coples. 1.1.2 Verificar estado actual y especificaciones de escobillas. 1.1.3 tomar valores de voltaje de salida durante el ciclo de cambio. Abril ’04 1804 Embob. J. R. 2 Sensor circular y de velocidad de linea. 2.1 Por que nos genera una varión en la señal de referencia hacia el control de velocidad del motor embobinador 2.1.1 Tomar dimensiones de la distancia entre poleas y sensores. 2.1.2 Tomar valores de voltaje de salida de los sensores. 2.1.3 Verificar estado de rodamientos de poleas. 1804 Embob. U. P. 3 Ejes principales de transmisión. 3.1 Por vibración excesiva durante el ciclo de cambio 3.1.1 Tomar lecturas de vibración en alojamientos de rodamientos 3.1.2 Comparar valores de vibraciones con lecturas anteriores. 3.1.3 Analizar valor lecturas de vibración tomadas. Abril’04 F. F. 4 Poleas de transmisión de ejes embobinadores. 4.1 Puede generar vibración excesiva durante el ciclo de cambio. 4.1.1 Verificar alineación, entre poleas de ejes principales y polea de transmisión del motor. 4.1.2 Tomar dimensiones de poleas(dientes de transmisión). 4.1.3 Tomar dimensiones de bandas (dientes de transmisión) 4.1.4 Verificar valor de tensión de bandas.

7A. Análisis exploratorio de datos 1. Estudios Multivari 2. Modelando relaciones entre variables

7A1. Análisis exploratorio de datos - Análisis Multivari

7A1. Análisis exploratorio de datos - Estudios Multivari La carta multivari permite analizar la variación dentro de la pieza, de pieza a pieza o de tiempo en tiempo Permite investigar la estabilidad de un proceso consiste de líneas verticales u otro esquema en función del tiempo. La longitud de la línea o del esquema representa el rango de valores encontrados en cada conjunto de muestras

7A1. Análisis exploratorio de datos - Estudios Multivari La variación dentro de las muestras (cinco puntos en cada línea). La variación de muestra a muestra como posición vertical de las líneas. E S P O R Número de subgrupo

7A1. Análisis exploratorio de datos - Estudios Multivari Ejemplo de parte metálica Centro más grueso

7A1. Análisis exploratorio de datos - Estudios Multivari Procedimiento de muestreo: Seleccionar el proceso y la característica a investigar Seleccionar tamaño de muestra y frecuencia de muestreo Registrar en una hoja la hora y valores para conjunto de partes

7A1. Estudios Multivari Procedimiento de muestreo: Realizar la carta Multivari Unir los valores observados con una línea Analizar la carta para variación dentro de la parte, de parte a parte y sobre el tiempo Puede ser necesario realizar estudios adicionales alrededor del área de máxima variación aparente Después de la acción de mejora comprobar con otro estudio Multivari

7A1. Cartas Multivari Su propósito fundamental es reducir el gran número de causas posibles de variación, a un conjunto pequeño de causas que realmente influyen en la variabilidad. Sirven para identificar el patrón principal de variación de entre tres patrones principales: Temporal: Variación de hora a hora; turno a turno; día a día; semana a semana; etc. Cíclico: Variación entre unidades de un mismo proceso; variación entre grupos de unidades; variación de lote a lote.

7A1. Cartas Multivari Posicional: Variaciones dentro de una misma unidad (ejemplo: porosidad en un molde de metal) o a través de una sola unidad con múltiples partes (circuito impreso). Variaciones por la localización dentro de un proceso que produce múltiples unidades al mismo tiempo. Por ejemplo las diferentes cavidades de un molde Variaciones de máquina a máquina; operador a operador; ó planta a planta

7A1. Cartas Multivari VARIACIÓN POSICIONAL DENTRO DE LA UNIDAD Ejemplo: Se toman 3 a 5 unidades consecutivas, repitiendo el proceso tres o más veces a cierto intervalo de tiempo, hasta que al menos el 80% de la variación en el proceso se ha capturado. A 1 2 3 4 5 27 28 29 30 31 55 56 57 58 59 VARIACIÓN POSICIONAL DENTRO DE LA UNIDAD

7A1. Cartas Multivari VARIACIÓN CÍCLICA DE UNIDAD A UNIDAD Ejemplo: (cont...) B 1 2 3 4 5 27 28 29 30 31 55 56 57 58 59 VARIACIÓN CÍCLICA DE UNIDAD A UNIDAD

7A1. Cartas Multivari VARIACIÓN TEMPORAL DE TIEMPO A TIEMPO Ejemplo: (cont...) C 1 2 3 4 5 27 28 29 30 31 55 56 57 58 59 VARIACIÓN TEMPORAL DE TIEMPO A TIEMPO

7A1. Cartas Multivari Ejemplo: Un proceso produce flecha cilíndricas, con un diámetro especificado de 0.0250”  0.001”. Sin embargo un estudio de capacidad muestra un Cp = 0.8 y una dispersión natural de 0.0025” (6  ) contra la permitida de 0.0002”. Se tiene pensado comprar un torno nuevo de US$70,000 para tolerancia de  0.0008”, i.e. Cpk = 1.25. Se sugirió un estudio Multi Vari previo. Se tomaron cuatro lecturas en cada flecha, dos a cada lado. Estas muestran una disminución gradual desde el lado izquierdo al lado derecho de las flechas, además de excentricidad en cada lado de la flecha. La variación cíclica, de una flecha a la siguiente, se muestra mediante las líneas que concentran las cuatro lecturas de cada flecha. También se muestra la variación temporal.

Cartas Multivari 8 AM 9 AM 10 AM 11 AM 12 AM .0.2510” 0.2500” 0.2490” Izquierda Máximo Derecha Mínimo

7A1. Cartas Multivari Un análisis rápido revela que la mayor variación es temporal con un cambio mayor entre las 10 AM y las 11 AM. A las 10 AM se para el equipo para el almuerzo y se arranca a las 11 AM, con lecturas similares a las de las 8 AM. Conforme pasa el tiempo las lecturas tienden a decrecer más y más, hasta que se invierten a las 10 A.M. en forma drástica. Se investigó y se encontró que la temperatura tenía influencia en la variación. La variación en temperatura era causada por que la cantidad de refrigerante no era la adecuada, lo cual se notaba más cuando se paraba el equipo y se volvía a arrancar. Se adicionó, reduciendo la variación en 50% aproximadamente..

7A1. Cartas Multivari También se encontró que el acabado cónico era causado por que la herramienta de corte estaba mal alineada. Se ajustó, contribuyendo a otra reducción del 10% de la variabilidad. La excentricidad de las flechas se corrigió al cambiar un rodamiento excéntrico por desgaste en el torno. Se instaló un nuevo rodamiento eliminándose otro 30% de la variabilidad. La tabla siguiente muestra un resumen de los resultados.

7A1. Cartas Multivari Tipo de % var. Causas de Acción % de variación Variación Total Variación Correctiva Reducida Temporal 50 Bajo nivel de Adicionar Casi 50 Tiempo a tiempo Refrigerante refrigerante Dentro de 10 Ajuste no Ajuste de la Casi 10 la flecha no paralelo herramienta de corte Dentro de 30 Rodamiento Nuevo Casi 30 la flecha gastado rodamiento Flecha a 5 -??? - - flecha

7A1. Cartas Multivari Resultados: La variación total en la siguiente corrida de producción se redujo de 0.0025” a 0.0004” El nuevo Cp fue de 0.002 / 0.0004 = 5.0 Como beneficios se redujo a cero el desperdicio y no hubo necesidad de adquirir una nueva máquina. Se observa que antes de cambiar equipo o máquinas, es conveniente realizar un estudio de variabilidad para identificar las fuentes de variación y tratar de eliminarlas.

7A1. Cartas Multivari Diámetro de Flecha (0.150" +/- .002) Ejemplo: Búsqueda de fuentes de variación con el diagrama sistemático. Diámetro de Flecha (0.150" +/- .002) Operador a operador Programa Máquina Accesorios

7A1. Cartas Multivari Se Rechaza Ho: Oper1 = Oper2 = Oper3 Ejemplo (cont..): Al realizar la prueba de homogeneidad de varianza F, se encontró que había una diferencia significante entre los operadores. Se Rechaza Ho: Oper1 = Oper2 = Oper3 Para probar si existe diferencia significativa entre medias de operadores se hacen las siguientes comparaciones Ho: Oper1 = Oper2 Ho: Oper1 = Oper3 Ho: Oper2 = Oper3 Ha: Oper1 Oper2 Oper3

SinterTime MetalType Strength Corrida en Minitab Se introducen los datos en varias columnas C1 a C3 incluyendo la respuesta (strenght) y los factores (time y Metal) SinterTime MetalType Strength 0.5 15 23 0.5 15 20 0.5 15 21 0.5 18 22 0.5 18 19 0.5 18 20 0.5 21 19 0.5 21 18

Corrida en Minitab Utilizar el achivo de ejemplo Sinter.mtw Opción: Stat > Quality Tools > Multivari charts Indicar la columna de respuesta y las columnas de los factores En opciones se puede poner un título y conectar las líneas

Resultados

7A2a. Regresión lineal simple

Definiciones Correlación Establece si existe una relación entre las variables y responde a la pregunta, ”¿Qué tan evidente es esta relación?" Regresión Describe con más detalle la relación entre las variables. Construye modelos de predicción a partir de información experimental u otra fuente disponible. Regresión lineal simple Regresión lineal múltiple Regresión no lineal cuadrática o cúbica

El 1er. paso es realizar una gráfica de la información. Correlación Propósito: Estudiar la posible relación entre dos variables. • • • • Correlación positiva, posible • • • Accidentes laborales • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Graphs are used to visualize relationships or associations between variables. Linear relationships between (primarily) continuous variables can be quantified using the Pearson product moment correlation coefficient (correlation for short) and regression. When might you use regression and correlation? To determine if a less expensive (or faster) procedure can be substituted for a procedure currently in use. As a first step in determining key input variables in a process (correlating input and out put variables). • • • Numero de órdenes urgentes El 1er. paso es realizar una gráfica de la información.

Correlación de la información (R ) de las X y las Y Correlación Positiva Evidente Correlación Negativa Evidente 25 25 20 20 15 15 Y 10 Y 10 5 5 Sin Correlación 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 X R=1 25 X R=-1 20 15 Correlación Positiva Y 10 Correlación Negativa 5 25 5 10 15 20 25 25 20 R=0 X 20 15 15 Y 10 Y 10 5 5 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 X R=>1 X R=>-1

Correlaciones (Pearson) Tabla de Correlación mínima de confianza de confianza 3 1.00 1.00 4 0.95 0.99 5 0.88 0.96 6 0.81 0.92 7 0.75 0.87 8 0.71 0.83 9 0.67 0.80 10 0.63 0.76 11 0.60 0.73 12 0.58 0.71 13 0.53 0.68 14 0.53 0.66 n 95% 99% de confianza de confianza 15 0.51 0.64 16 0.50 0.61 17 0.48 0.61 18 0.47 0.59 19 0.46 0.58 20 0.44 0.56 22 0.42 0.54 24 0.40 0.52 26 0.39 0.50 28 0.37 0.48 30 0.36 0.46 Para un 95% de confianza, con una muestra de 10, el coeficiente (r) debe ser al menos .63

7A2. Correlación La correlación puede usarse para información de atributos, variables normales y variables no normales. La correlación puede usarse con un “predictor” o más para una respuesta dada. La correlación es una prueba fácil y rápida para eliminar factores que no influyen en la predicción, para una respuesta dada.

7A2. Análisis de Regresión El análisis de regresión es un método estandarizado para localizar la correlación entre dos grupos de datos, y, quizá más importante, crear un modelo de predicción. Puede ser usado para analizar las relaciones entre: Una sola “X” predictora y una sola “Y” Múltiples predictores “X” y una sola “Y” Varios predictores “X” entre sí

Supuestos de la regresión lineal Los principales supuestos que se hacen en el análisis de regresión lineal son los siguientes: La relación entre las variables Y y X es lineal, o al menos bien aproximada por una línea recta. El término de error  tiene media cero. El término de error  tiene varianza constante 2. Los errores no están correlacionados. Los errores están normalmente distribuidos.

Modelo de regresión lineal Se aume que para cualquier valor de X el valor observado de Y varia en forma aleatoria y tiene una distribución de probabilidad normal El modelo general es: Y = Valor medio de Yi para Xi + error aleatorio

yi ei Regresión Lineal Simple y = b0 + b1x xi SSE = ei2 = yi - yi2 La línea de regresión se calcula por el método de mínimos cuadrados. Un residuo es la diferencia entre un punto de referencia en particular (xi, yi) y el modelo de predicción ( y = a + bx ). El modelo se define de tal manera que la suma de los cuadrados de los residuales es un mínimo. La suma residual de los cuadrados es llamada con frecuencia la suma de los cuadrados de los errores (SSE) acerca de la línea de regresión yi y = b0 + b1x ei • • • • • a y b son Estimados de 0 y 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • xi SSE = ei2 = yi - yi2

Gráfica de la Línea de Ajuste Recta de regresión Y=-.600.858+5738.89X R2 = .895 600 Retención 500 Regresión 95% Intervalo de confianza de predicción 400 0.18 0.19 0.20 Altura del muelle

Interpretación de los Resultados La ecuación de regresión (Y = -600.858 + 5738.89X) describe la relación entre la variable predictora X y la respuesta de predicción Y. R2 (coef. de determinación) es el porcentaje de variación explicado por la ecuación de regresión respecto a la variación total en el modelo El intervalo de confianza es una banda con un 95% de confianza de encontrar la Y media estimada para cada valor de X [Líneas rojas] El intervalo de predicción es el grado de certidumbre de la difusión de la Y estimada para puntos individuales X. En general, 95% de los puntos individuales (provenientes de la población sobre la que se basa la línea de regresión), se encontrarán dentro de la banda [Líneas azules]

Interpretación de los Resultados Los valores “p” de la constante (intersección en Y) y las variables de predicción, se leen igual que en la prueba de hipótesis. Ho: El factor no es significativo en la predicción de la respuesta. Ha: El factor es significativo en la predicción de la respuesta. s es el “error estándar de la predicción” = desviación estándar del error con respecto a la línea de regresión. R2 (ajustada) es el porcentaje de variación explicado por la regresión, ajustado por el número de términos en el modelo y por el número de puntos de información. El valor “p” para la regresión se usa para ver si el modelo completo de regresión es significativo. Ho: El modelo no es significativo en la predicción de la respuesta. Ha: El modelo es significativo en la predicción de la respuesta.

Errores residuales Los errores se denominan frecuentemente residuales. Podemos observar en la gráfica de regresión los errores indicados por segmentos verticales.

Errores residuales Los residuos pueden ser graficados para: Checar normalidad. Checar el efecto del tiempo si su orden es conocido en los datos. Checar la constancia de la varianza y la posible necesidad de transformar los datos en Y. Checar la curvatura de más alto orden que ajusta en las X’s. A veces es preferible trabajar con residuos estandarizados o estudentizados:

Errores residuales Análisis de los errores o residuales

Ejemplo Considere el problema de predecir las ventas mensuales en función del costo de publicidad. Calcular el coeficiente de correlación, el de determinación y la recta. MES Publicidad Ventas 1 1.2 101 2 0.8 92 3 1.0 110 4 1.3 120 5 0.7 90 6 0.8 82 7 1.0 93 8 0.6 75 9 0.9 91 10 1.1 105

Cálculo manual Calcular columnas para Suma X, Suma Y, Xi2, XiYi y Yi2 MES Publicidad Ventas Xi2 XiYi Yi2 1 1.2 101 1.44 121.2 10201 2 0.8 92 0.64 73.6 8464 3 1.0 110 1.00 110.0 12100 4 1.3 120 1.69 156 14400 5 0.7 90 0.49 63.0 8100 6 0.8 82 0.64 65.6 6724 7 1.0 93 1.00 93.0 8649 8 0.6 75 0.36 45.0 5625 9 0.9 91 0.81 81.9 8281 10 1.1 105 1.21 115.5 11025 SUMA 9.4 959 9.28 924.8 93,569

Método de mínimos cuadrados Donde: Yest = Valor predicho de para un valor particular de x. b0 = Estimador puntual de .(ordenada al origen) b1= Estimador puntual de (pendiente) Para el cálculo de b0 y b1 se utilizamos las siguientes fórmulas:

Análisis de varianza en la regresión La desviación estándar S corresponde a la raíz cuadrada del valor de MSE o cuadrado medio residual. Los residuos son:

Análisis de varianza en la regresión Las conclusiones son como sigue: Intervalos de confianza para Beta 0 y Beta 1

Análisis de varianza en la regresión El intervalo de confianza para la desviación estándar es: Intervalos de confianza para la Y estimada promedio Intervalo de predicción para un valor particular de Y estimado

Análisis de varianza en la regresión Prueba de Hipótesis para Beta 1: Ho: 1 = 0 contra H1:1  0 Si el coeficiente Beta 1 es significativo

Análisis de varianza en la regresión Coeficiente de correlación r: Coeficiente de determinación: r2 R2 mide la proporción de la variación total respecto a la media que es explicada por la regresión. Se expresa en porcentaje.

Análisis de varianza en la regresión Prueba de hipótesis para el Coeficiente de correlación r: H0:  = 0 contra H1:   0 Si se rechaza la hipótesis Ho, indicando que existe una correlación significativa

Riesgos de la regresión Los modelos de regresión son válidos como ecuaciones de interpolación sobre el rango de las variables utilizadas en el modelo. No pueden ser válidas para extrapolación fuera de este rango. Mientras que todos los puntos tienen igual peso en la determinación de la recta, su pendiente está más influenciada por los valores extremos de X.

Riesgos de la regresión Los outliers u observaciones aberrantes pueden distorsionar seriamente el ajuste de mínimos cuadrados. Si se encuentra que dos variables están relacionadas fuertemente, no implica que la relación sea casual, se debe investigar la relación causa – efecto entre ellas. Por ejemplo el número de enfermos mentales vs. número de licencias recibidas.

Cálculo manual(cont..) Cálculo de la recta de regresión lineal: Sxx = 9.28 - (9.4)^2/10 = 0.444 Sxy = 924.8 - (9.4)(959) / 10 = 23.34 Ymedia = 959 / 10 = 95.9 Xmedia = 9.4 / 10 = 0.94 b1 = Sxy / Sxx = 23.34 / 0.444 = 52.57 b0 = Ymedia - b1*Xmedia = 95.9 - (52.5676)(0.94) = 46.49 Yest. = 46.49 + 52.57* X

Ejemplo (cont..) Cálculo de S2 estimador de  S2 = SSE / (n - 2) = Syy - (Sxy)^2/Sxx Syy = 93,569 - (959)^2 / 10 = 1600.9 SSE = Syy - b1*Sxy = 1600.9 - (52.567)(23.34) = 373.97 S2 = SSE / (n - 2) = 373.97 / 8 = 46.75 S = 6.84 El intervalo de confianza donde caerán el 95% de los puntos es el rango de 1.96S = 13.41 o sea a  13.41 de la línea.

Ejemplo (cont..) Inferencias respecto a la pendiente de la línea b1: Se usa el estadístico t = b1 / (S / Sxx) El término del denominador es el error estándar de la pendiente. Para probar la hipótesis nula Ho: 1 = 0 En este caso tc = 52.57 / (6.84 / 0.444) = 5.12 El valor crítico tcrit. para alfa/2 = 0.025 con (n-2) = 8 grados de libertad es 2.306. Como tc > tcrítico se rechaza la hipótesis de que b1 = 0 existiendo la regresión.

Ejemplo (cont..) Estableciendo un 95% de confianza para la pendiente de la recta b1. Usando la fórmula b1  t0.025 (S / Sxx) se tiene: 52.57  2.306 * 6.84 /  0.444 = 52.57  23.67. Por tanto una unidad de incremento en publicidad, hará que el volumen de ventas se encuentre entre $28.9 a $76.2.

Ejemplo (cont..) Cálculo del coeficiente de Correlación: ________ r = Sxy / (SxxSyy) ____________ r = 23.34 / 0.444*1600.9 = 0.88 Como r es positivo, la pendiente de la recta apunta hacia arriba y a la derecha. El coeficiente de determinación r^2 = 1 - SSE/Syy r^2 = ( Syy - SSE ) / Syy = 0.774

7A2. Análisis de Regresión 1. Teclear los datos para Xi y Yi 2. Llamar a TOOLS o HERRAMIENTAS, DATA ANALYSIS o ANALISIS DE DATOS, CORRELATION o CORRELACIÓN 3. Dar INPUT RANGE (rango de datos), OUTPUT RANGE (para los resultados) y obtener los resultados Column 1 Column 2 Column 1 1 0.875442 Column 2 0.875442 1 El coeficiente de correlación r = 0.875442

Cálculo con Excel) 4. Llamar a TOOLS o HERRAMIENTAS, DATA ANALYSIS o ANALISIS DE DATOS, REGRESION o REGRESIÓN 3. Dar INPUT RANGE Y (rango de datos Yi), INPUT RANGE X (rango de datos Xi), CONFIDENCE INTERVAL 95%, OUTPUT RANGE (para los resultados), RESIDUAL PLOTS o GRAFICAS DE RESIDUALES y obtener una tabla de resultados como los que se muestran en las páginas siguientes. NOTAS: a) La gráfica de probabilidad normal debe mostrar puntos fácilmente aproximables por una línea recta, indicando normalidad. B) La gráfica de residuos estandarizados se deben distribuir en forma aleatoria alrededor de la línea media igual a cero.

Resultados de Excel SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0.875442 R Square 0.766398 Adjusted R Square0.737198 Standard Error 6.83715 Observations 10 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1 1226.927 1226.927 26.24633 0.000904 Residual 8 373.973 46.74662 Total 9 1600.9 Confidence 95% Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower Upper Intercept 46.48649 9.884566 4.702936 0.001536 23.69262 69.28035 X Variable1 52.56757 10.26086 5.123117 0.000904 28.90597 76.22916 La ecuación de la recta es Yest = 46.48649 + 52.56757 X Como los valores p para los coeficientes son menores a 0.05, ambos son significativos

Gráfica normal de Excel

Gráfica de Residuos vs. X de Excel

Ejercicio Calcular la recta de predicción con sus bandas de confianza, la correlación y la determinación para la respuesta de un Taxi, los datos se muestran a continuación: Distancia Tiempo 0.8 200 2.2 400 1.0 160 0.6 120 1.0 360 1.4 280 2.2 560 0.6 320

Relaciones no Lineales ¿Qué pasa si existe una relación causal, no lineal? ¿Cómo describiría esta relación? El siguiente es un conjunto de datos experimentales codificados, sobre resistencia a la compresión de una aleación especial: Resistencia a Concentración la Compresión x y 10.0 25.2 27.3 28.7 15.0 29.8 31.1 27.8 20.0 31.2 32.6 29.7 25.0 31.7 30.1 32.3 30.0 29.4 30.8 32.8 (ref. Walpole & Myers, 1985)

Resultados del Análisis de Regresión - Modelo Cuadrático Y = 19.0333 + 1.00857X - 2.04E-02X**2 R2 = 0.614 Análisis de Variancia FUENTE DF SS MS F p Regresión 2 38.9371 19.4686 9.54490 3.31E-03 Error 12 24.4762 2.0397 Total 14 63.4133 FUENTE DF Seq SS F p Lineal 1 28.0333 10.3005 6.84E-03 Cuadrática 1 10.9038 5.34584 3.93E-02

Regresión cuadrática

Regresión cuadrática

Regresión cuadrática Los residuos No son normales Se deben transformar Las variables

Otros Patrones No Lineales A veces es posible transformar una o ambas variables, para mostrar mejor la relación entre ambas. La meta es identificar la relación matemática entre las variables, para que con la variable transformada se obtenga una línea más recta. Algunas transformaciones comunes incluyen: x’ = 1/x x’ = Raíz cuadrada de (x) Funciones trigonométricas: x’ = Seno de x x’ = log x

Trasformación de funciones Ejemplo: sea se transforma como

Transformación de variables del ejemplo de regresión cuadrática Transformando la variable X’ = 1/X se tiene, utilizando Minitab

Transformación de variables del ejemplo de regresión cuadrática Transformando la variable X’ = 1/X se tiene, utilizando Minitab

Transformación de variables del ejemplo de regresión cuadrática Los residuos ahora ya se muestran normales

Transformación para homoestacidad de la varianza Algunas transformaciones para estabilizar la varianza

Transformación para homoestacidad de la varianza Ejemplo: Se hizo un estudio entre la demanda (Y) y la energía eléctrica utilizada (X) durante un cierto periodo de tiempo

Transformación para homoestacidad de la varianza Ejemplo: Se hizo un estudio entre la demanda (Y) y la energía eléctrica utilizada (X) durante un cierto periodo de tiempo

Transformación para homoestacidad de la varianza Se observa que la varianza se incrementa conforme aumenta X

Transformación para homoestacidad de la varianza Se observa que la varianza se incrementa conforme aumenta X

Transformación para homoestacidad de la varianza Transformando a X por su raíz cuadrada se tiene:

Transformación para homoestacidad de la varianza Transformando a X por su raíz cuadrada se tiene:

Transformación para homoestacidad de la varianza Transformando a X por su raíz cuadrada se tiene:

7A2b. Regresión lineal múltiple

Regresión múltiple Cuando se usa más de una variable independiente para predecir los valores de una variable dependiente, el proceso se llama análisis de regresión múltiple, incluye el uso de ecuaciones lineales. Se asume que los errores u tienen las características siguientes: Tienen media cero y varianza común 2. Son estadísticamente independientes. Están distribuidos en forma normal.

Regresión múltiple Estimación de los parámetros del modelo Se trata de minimizar los errores cuadráticos en: El modelo de regresión múltiple en forma matricial es: Y = X  +  = [1 : D]  +  Y es un vector N x 1. X es una matriz de orden N x (k + 1), donde la 1ª. columna es 1’s.  es un vector de orden (k + 1) x 1.  es un vector de orden N x 1. D es la matriz de Xij con i = 1, 2, ..., N; j = 1, 2, ......, k

Regresión múltiple Estimación de los parámetros del modelo: b = (X’X)-1 X’Y El vector de valores ajustados se puede expresar como: La varianza del modelo se estima como:

Tamaño de muestra Tomar 5 observaciones para cada una de las variables independientes, si esta razón es menor de5 a 1, se tiene el riesgo de “sobreajustar” el modelo Un mejor nivel deseable es tomar 15 a 20 observaciones por cada variable independiente

Ejemplo de regresión múltiple Un embotellador está analizando las rutas de servicio de máquinas dispensadoras, está interesado en predecir la cantidad de tiempo requerida por el chofer para surtir las máquinas en el local (Y). La actividad de servicio incluye llenar la máquina con refrescos y un mantenimiento menor. Se tienen como variables el número de envases con que llena la máquina (X1) y la distancia que tiene que caminar (X2).

Ejemplo de regresión múltiple

Ejemplo de regresión múltiple Solución matricial

Ejemplo de regresión múltiple Solución matricial

Ejemplo de regresión múltiple Solución matricial

Ejemplo de regresión múltiple Solución matricial Intervalo de confianza para Beta 1 Por tanto el intervalo de confianza para el 95% es: 1.26181  1  1.97001

Ejemplo de regresión múltiple Solución matricial El embotellador desea construir un intervalo de confianza sobre el tiempo medio de entrega para un local requiriendo: X1 = 8 envases y cuya distancia es X2 = 275 pies. La varianza de la Y0 estimada es (tomando M8=inv(X’X) :

Ejemplo de regresión múltiple Solución matricial El intervalo de confianza sobre el tiempo medio de entrega para un local requiriendo es para 95% de nivel de confianza: Que se reduce a: 17.66  Y0  20.78

Ejemplo de regresión múltiple Solución matricial El análisis de varianza es:

Ejemplo de regresión múltiple Solución matricial El comportamiento de los residuos es como sigue:

Multicolinealidad La multicolinealidad implica una dependencia cercana entre regresores (columnas de la matriz X ), de tal forma que si hay una dependencia lineal exacta hará que la matriz X’X sea singular. La presencia de dependencias cercanamente lineales impactan dramáticamente en la habilidad para estimar los coeficientes de regresión. La varianza de los coeficientes de la regresión son inflados debido a la multicolinealidad. Es evidente por los valores diferentes de cero que no están en la diagonal principal de X’X. Que son correlaciones simples entre los regresores.

Multicolinealidad Una prueba fácil de probar si hay multicolinealidad entre dos variables es que su coeficiente de correlación sea mayor a 0.7 Los elementos de la diagonal principal de la matriz X’X se denominan Factores de inflación de varianza (VIFs) y se usan como un diagnóstico importante de multicolinealidad. Para el componente j – ésimo se tiene: Si es mayor a 10 implica que se tienen serios problemas de multicolinealidad.

Análisis de los residuos Los residuos graficados vs la Y estimada, pueden mostrar diferentes patrones indicando adecuación o no adecuación del modelo: Gráfica de residuos aleatorios cuya suma es cero (null plot) indica modelo adecuado Gráfica de residuos mostrando una no linealidad curvilínea indica necesidad de transformar las variables Si los residuos se van abriendo indica que la varianza muestra heteroestacidad y se requiere transformar las variables. Se puede probar con la prueba de Levene de homogeneidad de varianzas

Escalamiento de residuos En algunos casos es difícil hacer comparaciones directas entre los coeficientes de la regresión debido a que la magnitud de bj refleja las unidades de medición del regresor Xj. Por ejemplo: Para facilitarla visualización de residuos ante grandes diferencias en los coeficientes, se sugiere estandarizar o estudentizar los residuos

Escalamiento de residuos Residuos estandarizados Se obtienen dividiendo cada residuo entre la desviación estándar de los residuos Después de la estandarización, los residuos tienen una media de 0 y desviación estándar de 1 Con más de 50 datos siguen a la distribución t, de manera que si exceden a 1.96 (límite para alfa 0.05) indica significancia estadística y son “outliers”

Escalamiento de residuos Residuos estudentizados Son similares a los residuos donde se elimina una observación y se predice su valor, pero además se elimina la i-ésima observación en el cálculo de la desviación estándar usada para estandarizar la í-ésima observación Puede identificar observaciones que tienen una gran influencia pero que no son detectadas por los residuos estandarizados H = X (X’X)-1X’ es la matriz sombrero o “hat matriz”.

Escalamiento de residuos El estadístico PRESS (Prediction Error Sum of Squares) es una medida similar a la R2 en la regresión. Difiere en que se estiman n-1 modelos de regresión. En cada modelo se omite una observación en la estimación del modelo de regresión y entonces se predice el valor de la observación omitida con el modelo estimado. El residuo iésimo será: El residuo PRESS es la suma al cuadrado de los residuos individuales e indica una medida de la capacidad de predicción

Gráficas parciales de regresión Para mostrar el impacto de casos individuales es más efectiva la gráfica de regresión parcial. Un caso “outlier” impacta en la pendiente de la ecuación de regresión (y su coeficiente). Una comparación visual de la gráfica de regresión parcial con y sin la observación muestra la influencia de la observación El coeficiente de correlación parcial es la correlación de la variable independiente Xi la variable dependiente Y cuando se han eliminado de ambos Xi y Y La correlación semiparcial refleja la correlación entre las variables independiente y dependiente removiendo el efecto Xi

Matriz sombrero Los puntos de influencia son observaciones substancialmente diferentes de las observaciones remanentes en una o más variables independientes Contiene valores (sombrero en su diagonal) para cada observación que representa influencia. Representa los efectos combinados de todos las variables independientes para cada caso

Matriz sombrero Los valores en la diagonal de la matriz sombrero miden dos aspectos: Para cada observación miden la distancia de la observación al centro de la media de todas las observaciones de las variables independientes Valores altos en la diagonal indica que la observación tiene mucho peso para la predicción del valor de la variable dependiente, minimizando su residuo El rango de valores es de 0 a 1, con media p/n, p es el número de predictores y n es el tamaño de muestra. Valores límite se encuentran en 2p/n y 3p/n

Distancia de Mahalanobis D2 es una medida comparable a los valores sombrero (hat values) que considera sólo la distancia de una observación del valor medio de las variables independientes. Es otra forma de identificar “outliers” La significancia estadística de la distancia de Malahanobis se puede hacer a partir de tablas del texto: Barnett, V., Outliers in Statistical Data, 2nd. Edition, Nueva York, Wiley, 2984

Influencia en coeficientes individuales El impacto de eliminar una observación simple en cada uno de los coeficientes de la regresión múltiple se muestra con la DFBETA y su versión estandarizada SDFBETA. Se sugiere aplicar como límites ±1.0 o ±2 para tamaños de muestra pequeños y ±√n para muestras medias y grandes La distancia de Cook (Di) captura el impacto de una observación: La dimensión del cambio en los valores pronosticados cuando se omite la observación y la distancia de las otras observaciones, el límite es 1 o 4/(n-k-1)

Influencia en coeficientes individuales La medida COVRATIO estima el efecto de la observación en la eficiencia del proceso, en sus errores estándar de los coeficientes de la regresión. Considera a todos los coeficientes colectivamente. El límite puede ser establecido en 1 ±3p/n, los valores mayores al límite hacen el proceso más eficiente y los menores más ineficiente La medida SDFFIT es el grado en que cambian los valores ajustados o pronosticados cuando el caso se elimina. El valor límite es 2*raíz((k+1)/(n-k-1))

Ejemplo de regresión múltiple Solución con Excel y Minitab

Ejemplo de Regresión Múltiple Cat. (US News) GMAT Salario Inicial ($) % Aceptación Stanford 1 711 82000 7.4 Harvard 2 670 80000 12.8 Penn (Wharton) 3 662 79000 14.7 MIT (Sloan) 4 650 78000 15.1 Chicago 5 680 65000 25.0 Northwestern 6 660 70000 16.0 Columbia 7 660 83000 14.8 Dartmouth 8 670 70000 12.6 Duke 9 646 67500 20.5 Berkeley 10 653 70000 13.3 Virginia 11 660 66000 18.9 Michigan 12 645 65000 28.0 NYU 13 646 70583 20.9 Carnegie Mellon 14 640 67200 30.8 Yale 15 675 65000 23.5 U.N.C. 16 630 60000 19.8 UCLA 17 651 65000 17.5 Texas-Austin 18 630 60000 27.3 Indiana 19 630 61500 44.7 Cornell 20 637 64000 25.4 Rochester 21 630 58500 36.0 Ohio State 22 611 61000 23.2 Emory 23 626 60000 33.0 Purdue 24 603 63700 20.7 Maryland 25 640 53000 18.9

Interpretación de Resultados de Excel- Regresión Multiple SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0.8749313 R Square 0.76550478 Adjusted R Square 0.732005463 Standard Error 4050.855918 Observations 25 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 3 1.12E+09 374977790.1 22.851355 8.17E-07 Residual 21 3.45E+08 16409433.67 Total 24 1.47E+09 Coefficients Standard t Stat P-value Lower 95% U pper 95% Error Intercept 122481.40 41473.13 2.953271081 0.007589 36233.29 208729.5 X Variable1 -926.873 198.8104 -4.662094325 0.0001336 -1340.32 -513.424 X Variable2 -59.9488 60.44875 -0.991730876 0.3326192 -185.659 65.76118 X Variable3 -191.7291 125.6138 -1.526337637 0.1418472 -452.957 69.49917

Resultados de Excel- Regresión sólo con sólo X1 SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0.855974 R Square 0.732691 Adjusted R Square 0.721069 Standard Error 4132.688 Observations 25 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1 1.08E+09 1.08E+09 63.04264 4.88E-08 Residual 23 3.93E+08 17079107 Total 24 1.47E+09 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 79230.32 1703.951 46.49801 2.98E-24 75705.43405 82755.20595 X Variable1 -910.077 114.6201 -7.93994 4.88E-08 -1147.186411 -672.9674353 Con sólo X1, el Modelo se simplifica enormemente poca importancia práctica se pierde en R2 (ajustada)

El Modelo se simplifica enormemente..…poca Reducción del Modelo Vuelva a correr la regresión usando la categoría US News, como el único agente de predicción (“predictor”) La ecuación de regresión es: y = 79230 - 910 x “Predictor” Coef Desv. Estándar T p Constante 79230 1704 46.50 0.000 x -910.1 114.6 -7.94 0.000 S = 4133 R2 = 73.3% R2 (ajustada) = 72.1% Análisis de Variancia Fuente DF SS MS F p Regresión 1 1076712008 1076712008 63.04 0.000 Error 23 392819470 17079107 Total 24 1469531477 El Modelo se simplifica enormemente..…poca importancia práctica se pierde en R2 (ajustada)

HeatFlux Insolation East South North Corrida en Minitab Se introducen los datos en varias columnas C1 a C5 incluyendo la respuesta Y (heatflux) y las variables predictoras X’s (North, South, East) HeatFlux Insolation East South North 271.8 783.35 33.53 40.55 16.66 264.0 748.45 36.50 36.19 16.46 238.8 684.45 34.66 37.31 17.66 230.7 827.80 33.13 32.52 17.50 251.6 860.45 35.75 33.71 16.40 257.9 875.15 34.46 34.14 16.28

Corrida en Minitab Utilzar el archivo de ejemplo Exh_regr.mtw Opción: Stat > Regression > Regression Para regresión lineal indicar la columna de respuesta Y (Score2) y X (Score1) En Regresión lienal en opciones se puede poner un valor Xo para predecir la respuesta e intervalos. Las gráficas se obtienen Stat > Regression > Regression > Fitted line Plots Para regresión múltiple Y (heatflux) y las columnas de los predictores (north, south, east)

Resultados de la regresión lineal The regression equation is Score2 = 1.12 + 0.218 Score1 Predictor Coef SE Coef T P Constant 1.1177 0.1093 10.23 0.000 Score1 0.21767 0.01740 12.51 0.000 S = 0.1274 R-Sq = 95.7% R-Sq(adj) = 95.1% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 2.5419 2.5419 156.56 0.000 Residual Error 7 0.1136 0.0162 Total 8 2.6556 Predicted Values for New Observations New Obs Fit SE Fit 95.0% CI 95.0% PI 1 2.6414 0.0474 ( 2.5292, 2.7536) ( 2.3197, 2.9631) New Obs Score1 1 7.00

Resultados de la regresión lineal

Resultados de la regresión Múltiple The regression equation is HeatFlux = 389 - 24.1 North + 5.32 South + 2.12 East Predictor Coef SE Coef T P Constant 389.17 66.09 5.89 0.000 North -24.132 1.869 -12.92 0.000 South 5.3185 0.9629 5.52 0.000 East 2.125 1.214 1.75 0.092 S = 8.598 R-Sq = 87.4% R-Sq(adj) = 85.9% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 3 12833.9 4278.0 57.87 0.000 Residual Error 25 1848.1 73.9 Total 28 14681.9 Source DF Seq SS North 1 10578.7 South 1 2028.9 East 1 226.3

7A2. Resumen de la Regresión La regresión sólo puede utilizarse con información de variables continuas. Los residuos deben distribuirse normalmente con media cero. Importancia práctica: (R2). Importancia estadística: (valores p) La regresión puede usarse con un “predictor” X o más, para una respuesta dada Reduzca el modelo de regresión cuando sea posible, sin perder mucha importancia práctica

7.B Pruebas de hipótesis

7B. Pruebas de hipótesis 1. Conceptos fundamentales 2. Estimación puntual y por intervalo 3. Pruebas para medias, varianzas y proporciones 4. Pruebas comparativas para varianzas, medias y prop. 5. Bondad de ajustes 6. Análisis de varianza (ANOVA) 7. Tablas de contingencia 8. Pruebas no paramétricas

7B1. Conceptos fundamentales

Análisis Estadístico En CADA prueba estadística, se comparan algunos valores observados a algunos esperados u otro valor observado comparando estimaciones de parámetros (media, desviación estándar, varianza) Estas estimaciones de los VERDADEROS parámetros son obtenidos usando una muestra de datos y calculando los ESTADÏSTICOS... La capacidad para detectar un diferencia entre lo que es observado y lo que es esperado depende del desarrollo de la muestra de datos Incrementando el tamaño de la muestra mejora la estimación y tu confianza en las conclusiones estadísticas. La palabra parámetro es usada para cubrir la media, desviación estándar, kurtosis, skew - aquellos métricos usado para caracterizar la distribución subrayada Población - El total de posibilidades de todas las partes del proceso “Known but to God”  => Media de la población xbar => Media de la población  => Sigma de población hat => Sigma de la muestra Cuesta dinero y toma tiempo analizar la muestra. Se debe limitar a lo que es requerido

7B1. Conceptos fundamentales Hipótesis nula Ho Es la hipótesis o afirmación a ser probada Puede ser por ejemplo , , , = 5 Sólo puede ser rechazada o no rechazada Hipótesis alterna Ha Es la hipótesis que se acepta como verdadera cuando se rechaza Ho, es su complemento Puede ser por ejemplo  = 5 para prueba de dos colas  < 5 para prueba de cola izquierda  > 5 para prueba de cola derecha Esta hipótesis se acepta cuando se rechaza Ho

7B1. Conceptos fundamentales Ejemplos: Se está investigando si una semilla modificada proporciona una mayor rendimiento por hectárea, la hipótesis nula de dos colas asumirá que los rendimientos no cambian Ho: Ya = Yb Se trata de probar si el promedio del proceso A es mayor que el promedio del proceso B. La hipótesis nula de cola derecha establecerá que el proceso A es <= Proceso B. O sea Ho: A <= B.

7B1. Conceptos fundamentales Estadístico de prueba Para probar la hipótesis nula se calcula un estadístico de prueba con la información de la muestra el cual se compara a un valor crítico apropiado. De esta forma se toma una decisión sobre rechazar o no rechazar la Ho Error tipo I (alfa = nivel de significancia, normal=.05) Se comete al rechazar la Ho cuando en realidad es verdadera. También se denomina riesgo del productor Error tipo II (beta ) Se comete cuando no se rechaza la hipótesis nula siendo en realidad falsa. Es el riesgo del consumidor

7B1. Conceptos fundamentales Tipos de errores Se asume que un valor pequeño para  es deseable, sin embargo esto incrementa el riesgo . Para un mismo tamaño de muestra n ambos varían inversamente Incrementando el tamaño de muestra se pueden reducir ambos riesgos. Decisión realizada Ho en realidad es Verdadera Ho en realidad es falsa No hay evidencia para rechazar Ho p = 1- Decisión correcta p =  Error tipo II Rechazar Ho p =  Error tipo I p = 1 - 

7B1. Conceptos fundamentales Pruebas de dos colas Si la Ho: , , , = cte. que un valor poblacional, entonces el riesgo alfa se reparte en ambos extremos de la distribución. Por ejemplo si Ho = 10 se tiene:

7B1. Conceptos fundamentales Pruebas de una cola Si la Ho: , , ,  >= Cte. que un valor poblacional, entonces el riesgo alfa se coloca en la cola izquierda de la distribución. Por ejemplo si Ho: >= 10 y Ha: < 10 se tiene una prueba de cola izquierda:

7B1. Conceptos fundamentales Pruebas de una cola Si la Ho: , , , <= Cte. que un valor poblacional, entonces el riesgo alfa se coloca en la cola derecha de la distribución. Por ejemplo si Ho: <= 10 y Ha:  > 10 se tiene una prueba de cola derecha:

7B1. Conceptos fundamentales Tamaño de muestra requerido Normalmente se determina el error alfa y beta deseado y después se calcula el tamaño de muestra necesario para obtener el intervalo de confianza. El tamaño de muestra (n) necesario para la prueba de hipótesis depende de: El riesgo deseado tipo I alfa y tipo II Beta El valor mínimo a ser detectado entre las medias de la población (Mu – Mu0) La variación en la característica que se mide (S o sigma)

7B1. Conceptos fundamentales El Tamaño de muestra requerido en función del error máximo E o Delta P intervalo proporcional esperado se determina como sigue:

7B1. Conceptos fundamentales Ejemplo: ¿Cuál es el tamaño de muestra mínimo que al 95% de nivel de confianza (Z=1.96) confirma la significancia de una corrida en la media mayor a 4 toneladas/hora (E), si la desviación estándar (sigma) es de 20 toneladas? n = (1.96^2)(20^2)/(4)^2 = 96 Obtener 96 valores de rendimiento por hora y determinar el promedio, si se desvía por más de 4 toneladas, ya ha ocurrido un cambio significativo al 95% de nivel de confianza

Efecto del tamaño de muestra

Efecto del tamaño de muestra

Efecto del tamaño de muestra

Efecto del tamaño de muestra

Potencia de la prueba La potencia de una prueba estadística es su habilidad para detectar una diferencia crítica Si Beta = 0.1 la potencia es del 90% Delta se puede normalizar dividiéndolo entre la desviación estándar y se expresa en un cierto número de  (1 , 1.5  )

Potencia de la prueba La potencia de la prueba es la probabilidad de de rechazar correctamente la hipótesis nula siendo que en realidad es falsa. El análisis de potencia puede ayudar a contestar preguntas como: ¿Cuántas muestras se deben tomar para el análisis? ¿Es suficiente el tamaño de muestra? ¿Qué tan grande es la diferencia que la prueba puede detectar? ¿Son realmente valiosos los resultados de la prueba?

Potencia de la prueba Para estimar la potencia, Minitab requiere de dos de los siguientes parámetros: Tamaños de muestra Diferencias - un corrimiento significativo de la media que se desea detectar Valores de potencia - La probabilidad deseada de rechazar Ho cuando es falsa

Considerando la potencia de prueba

Estimación de riesgos

Pruebas de Minitab Permite hacer las siguientes pruebas: Prueba z de una muestra Prueba t de una muestra Prueba t de dos muestras Prueba de 1 proporción Prueba de 2 proporciones ANOVA Diseños factoriales de dos niveles Diseños de Packett Burman

Calculo manual

Calculo manual

Calculo manual de tamaño de muestra

Calculo manual de tamaño de muestra – Pruebas de una cola

Calculo manual de tamaño de muestra – Pruebas de una cola

Ejemplo con prueba de una media t Ejemplo: Se tiene una población normal con media de 365 y límites de especificación de 360 y 370. Si la media se desplaza 2.5 gramos por arriba de la media, el número de defectos sería inaceptable, la desviación estándar histórica es de 2.403:

Ejemplo con prueba de una media t

Ejemplo con prueba de una media t

Ejemplo con prueba de una media t

Ejemplo con prueba de 2 medias t

Ejemplo con prueba de 1 proporción

Ejemplo con prueba de 1 proporción

Ejercicios Calcular los tamaños de muestra necesarios para los siguientes escenarios (usar pruebas de dos colas): a. 1-muestra Z à a=0.05, b=0.1 y 0.2, d = 1.5s b. 1-muestra t à a=0.05, b=0.1 y 0.2, d = 1.5s c. 1-muestra t à a=0.01, b=0.05, d = 0.5s y 1.0s d. 2-muestras t à a=0.05, b=0.1, d = 1.5s y 2.0s 2. Calcular la potencia de la prueba para los siguientes escenarios (usar pruebas de dos colas): a. 1-muestra Z à a=0.05, d = 0.5s, n = 25, 35 b. 1-muestra t à a=0.05, d = 1.0s, n = 10, 20 c. 1-muestra t à a=0.01, d = 1.0s, n = 10, 25 d. 2-muestras t à a=0.05, d = 0.5s, n = 10, 25, 50, 75, 100

Ejercicios Calcular el tamaño de muestra requerido para los siguientes escenarios (usar pruebas de dos colas): a. 1-proporción à a=0.05, b=0.1 & 0.2, P0 = 0.5, PA = 0.6 b. 1-proporción à a=0.01, b=0.1 & 0.2, P0 = 0.8, PA = 0.9 c. 2-proporción à a=0.05, b=0.1, P0 = 0.5, PA = 0.6, 0.8 d. 2-proporciones à a=0.01, b=0.1, P0 = 0.8, PA = 0.85, 0.95 2. Calcular la potencia de la prueba para los siguientes escenarios (usar pruebas de dos colas): a. 1-proporción à a=0.05, P0 = 0.5, PA = 0.6, n = 250, 350 b. 1-proporción à a=0.01, P0 = 0.9, PA = 0.95, n = 400, 500 c. 2-proporciones à a=0.05, P0 = 0.5, PA = 0.6, n = 250, 350 d. 2-proporciones à a=0.01, P0 = 0.9, PA = 0.95, n = =400, 500

7B2. Estimación puntual y por intervalo

7B2. Estimación puntual y por intervalo Las medias o desviaciones estándar calculadas de una muestra se denominan ESTADÍSTICOS, podrían ser consideradas como un punto estimado de la media y desviación estándar real de población o de los PARAMETROS. ¿Qué pasa si no deseamos una estimación puntual como media basada en una muestra, qué otra cosa podríamos obtener como margen, algún tipo de error? “Un Intervalo de Confianza”

Intervalo de confianza Error de estimación

7B2. Estimación puntual y por intervalo ¿Cómo obtenemos un intervalo de confianza? Estimación puntual + error de estimación ¿De dónde viene el error de estimación? Desv. estándar X multiplicador de nivel de confianza deseado Z/2 Por Ejemplo: Si la media de la muestra es 100 y la desviación estándar es 10, el intervalo de confianza al 95% donde se encuentra la media para una distribución normal es: 100 + (10) X 1.96 => (80.4, 119.6) 1.96 = Z0.025

7B2. Estimación puntual y por intervalo 95% de Nivel de Confianza significa que sólo tenemos un 5% de oportunidad de obtener un punto fuera de ese intervalo. Esto es el 5% total, o 2.5% mayor o menor. Si vamos a la tabla Z veremos que para un área de 0.025, corresponde a una Z de 1.960. C. I. Multiplicador Z/2 99 2.576 95 1.960 90 1.645 85 1.439 80 1.282 Para tamaños de muestra >30, o  conocida usar la distribución Normal Para muestras de menor tamaño, o  desconocida usar la distribución t

7B2. Estimación puntual y por intervalo ; con n-1 gl.

Para n grande el IC es pequeño

Para n grande el IC es pequeño

Ejemplo Dadas las siguientes resistencias a la tensión: 28.7, 27.9, 29.2 y 26.5 psi Estimar la media puntual X media = 28.08 con S = 1.02 Estimar el intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95% (t = 3.182 con n-1=3 grados de libertad) Xmedia±3.182*S/√n = 28.08±3.182*1.02/2=(26.46, 29.70)

Ejemplos para la media con Distribución normal Z Z 1. El peso promedio de una muestra de 50 bultos de productos Xmedia = 652.58 Kgs., con S = 217.43 Kgs. Determinar el intervalo de confianza al NC del 95% y al 99% donde se encuentra la media del proceso (poblacional). Alfa = 1 - NC 2. Un intervalo de confianza del 90% para estimar la ganancia promedio del peso de ratones de laboratorio oscila entre 0.93 y 1.73 onzas. ¿Cuál es el valor de Z?. 3. 100 latas de 16 onzas de salsa de tomate tienen una media de Xmedia = 15.2 onzas con una S = 0.96 onzas. ¿A un nivel de confianza del 95%, las latas parecen estar llenas con 16 onzas?. 4. Una muestra de 16 soluciones tienen un peso promedio de 16.6 onzas con S = 3.63. Se rechaza la solución si el peso promedio de todo el lote no excede las 18 onzas. ¿Cuál es la decisión a un 90% de nivel de confianza?.

Ejemplos para la media y varianza con Distribución t t 5. 20 cajas de producto pesaron 102 grs. Con S = 8.5 grs. ¿Cuál es el intervalo donde se encuentra la media y varianza del lote para un 90% de nivel de confianza?. Grados libertad=20 -1 =19 6. Una muestra de 25 productos tienen un peso promedio de 23.87 grs. Con una S = 9.56. ¿Cuál es la estimación del intervalo de confianza para la media y varianza a un nivel de confianza del 95 y del 98% del peso de productos del lote completo?. 7. Los pesos de 25 paquetes enviados a través de UPS tuvieron una media de 3.7 libras y una desviación estándar de 1.2 libras. Hallar el intervalo de confianza del 95% para estimar el peso promedio y la varianza de todos los paquetes. Los pesos de los paquetes se distribuyen normalmente.

Ejemplos para proporciones con Distribución Z Z 8. De 814 encuestados 562 contestaron en forma afirmativa. ¿Cuál es el intervalo de confianza para un 90% de nivel de confianza? 9. En una encuesta a 673 tiendas, 521 reportaron problemas de robo por los empleados ¿Se puede concluir con un 99% de nivel de confianza que el 78% se encuentra en el intervalo de confianza. ?

Instrucciones con Minitab Intervalo de confianza para la media Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z, t Variable -- Indicar la columna de los datos o Summarized Data En caso de requerirse dar el valor de Sigma = dato En Options: Indicar el Confidence level -- 90, 95 o 99% OK

Instrucciones con Minitab Intervalo de confianza para proporción Stat > Basic Statistics > 1-Proportion Seleccionar Summarized Data Number of trials = n tamaño de la muestra Number of events = D éxitos encontrados en la muestra En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Seleccionar Use test and interval based in normal distribution

7B3. Pruebas de hipótesis para medias, varianzas y proporciones

Elementos de una Prueba de Hipótesis Prueba Estadística- Procedimiento para decidir no rechazar Ho aceptando Ha o rechazar Ho. Hipótesis Nula (Ho) - Usualmente es una afirmación representando una situación “status quo”. Generalmente deseamos rechazar la hipótesis nula. Hipótesis Alterna (Ha) - Es lo que aceptamos si podemos rechazar la hipótesis nula. Ha es lo que queremos probar.

Elementos de una Prueba de Hipótesis Estadístico de prueba: Calculado con datos de la muestra (Z, t, X2 or F). Región de Rechazo Indica los valores de la prueba estadística para que podamos rechazar la Hipótesis nula (Ho). Esta región esta basada en un riesgo  deseado, normalmente 0.05 o 5%.

Pasos en la Prueba de Hipótesis 1. Definir el Problema - Problema Práctico 2. Señalar los Objetivos - Problema Estadístico 3. Determinar tipo de datos - Atributo o Variable 4. Si son datos Variables - Prueba de Normalidad

Pasos en la Prueba de Hipótesis 5. Establecer las Hipótesis - Hipótesis Nula (Ho) - Siempre tiene el signo =, ,  - Hipótesis Alterna (Ha) – Tiene signos , > o <. El signo de la hipótesis alterna indica el tipo de prueba a usar

Elementos de una Prueba de Hipótesis Pruebas de Hipótesis de dos colas: Ho: a = b Ha: a  b Pruebas de Hipótesis de cola derecha: Ho: a  b Ha: a > b Pruebas de Hipótesis cola izquierda: Ho: a  b Ha: a < b Región de Rechazo Región de Rechazo -Z Z Región de Rechazo Z Región de Rechazo -Z Z

Pasos en la Prueba de Hipótesis 6. Seleccionar el nivel de Alfa (normalmente 0.05 o 5%) o el nivel de confianza NC = 1 - alfa 7. Establecer el tamaño de la muestra, >= 10. 8.Desarrollar el Plan de Muestreo 9.Seleccionar Muestras y Obtener Datos 10. Decidir la prueba estadística apropiada y calcular el estadístico de prueba (Z, t, X2 or F) a partir de los datos.

7B3 Estadísticos para medias, varianzas y proporciones

7B3 Estadísticos para medias, varianzas y proporciones Para el caso de muestras pareadas se calculan las diferencias d individuales como sigue:

Pasos en la Prueba de Hipótesis 11. Obtener el estadístico correspondiente de tablas o Excel. 12.Determinar la probabilidad de que el estadístico de prueba calculado ocurre al azar. 13.Comparar el estadístico calculado con el de tablas y ver si cae en la región de rechazo o ver si la probabilidad es menor a alfa, rechaze Ho y acepte Ha. En caso contrario no rechaze Ho. 14.Con los resultados interprete una conclusión estadística para la solución práctica.

Prueba de Hipótesis Estadístico Calculado con Datos de la muestra Pruebas de Hipótesis de dos colas: Ho: a = b Ha: a  b Pruebas de Hipótesis de cola derecha: Ho: a  b Ha: a > b Pruebas de Hipótesis cola izquierda: Ho: a  b Ha: a < b Región de Rechazo Región de Rechazo -Z Z Región de Rechazo Z Región de Rechazo -Z Z

Prueba de hipótesis para la varianza Las varianzas de la población se ditribuyen de acuerdo a la distribución Chi Cuadrada. Por tanto las inferencias acerca de la varianza poblacional se basarán en este estadístico La distribución Chi Cuadrada se utiliza en: Caso I. Comparación de varianzas cuando la varianza de la población es conocida Caso II. Comparando frecuencias observadas y esperadas de resultados de pruebas cuando no hay una varianza de la población definida (datos por atributos)

Prueba de hipótesis para la varianza Las pruebas de hipótesis para comparar una varianza poblacional a un cierto valor constante 0, si la población sigue la distribución normal es: Con el estadístico Chi Cuadrada con n-1 grados de libertad

Prueba de hipótesis para la varianza 2.17 Ejemplo: ¿El material muestra una variación (sigma) en la resistencia a la tensión menor o igual a 15 psi con 95% de confianza?. En una muestra de 8 piezas se obtuvo una S = 8psi. X^2c =(7)(8)^2/(15)^2 = 1.99 Como La Chi calculada es menor a la Chi de Excel de 2.17 se debe rechazar la hipótesis nula. Si hay decremento en la resistencia

Prueba de hipótesis para atributos Ejemplo: Un supervisor quiere evaluar la habilidad de 3 inspectores para detectar radios en el equipaje en un aeropuerto. ¿Hay diferencias significativas para un 95% de confianza? Valores observados O Inspector 1 Inspector 2 Inspector 3 Total por tratamiento Radios detectados 27 25 22 74 Radios no detectados 3 5 8 16 Total de la muestra 30 90

Prueba de hipótesis para atributos Ho: p1 = p2 = p3 Ha: p1  p2  p3 Grados de libertad = (No. de columnas -1)*(No. renglones -1) Las frecuencias esperadas son: (Total columna x Total renglón) Valores esperados E Inspector 1 Inspector 2 Inspector 3 Total por tratamiento Radios detectados 24.67 74 Radios no detectados 5.33 16 Total de la muestra 30 90

Prueba de hipótesis para atributos El estadístico Chi Cuadrado en este caso es: El estadístico Chi Cuadrada de alfa = 0.05 para 4 grados de libertad es 5.99. El estadístico Chi Cuadrada calculada es menor que Chi de alfa, por lo que no se rechaza Ho y las habilidades son similares 5.99

Ejemplo de Prueba de hipótesis para la media Para una muestra grande (n>30)probar la hipótesis de una media u 1.) Ho:  2.) Ha:  3.) Calcular el estadístico de prueba 4.) Establecer la región de rechazo Las regiones de rechazo para prueba de 2 colas: -Z y Z  Zcalc= s n Región de Rechazo Región de Rechazo -Z Z Si el valor del estadístico de prueba cae en la región de rechazo rechazaremos Ho de otra manera no podemos rechazar Ho.

Prueba de hipótesis de una población para muestras grandes con Z

Prueba de hipótesis de una población para muestras pequeñas con t Gl=14;

Prueba de hipótesis para una proporción con Z

Instrucciones con Minitab para la prueba de hipótesis de una media Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z, t Variable -- Indicar la columna de los datos o Summarized Data En caso de requerirse dar el valor de Sigma = dato Proporcionar la Media de la hipótesis Test Mean En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Indicar el signo de la hipótesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than OK

Instrucciones con Minitab para la prueba de hipótesis de una proporción Stat > Basic Statistics > 1-Proportion Seleccionar Summarized Data Number of trials = n tamaño de la muestra Number of events = D éxitos encontrados en la muestra En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Indicar la Test Proportion Proporción de la hipótesis Indicar el signo de la hipótesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than Seleccionar Use test and interval based in normal distribution OK

7B4. Pruebas de hipótesis para comparación de varianzas, medias, y proporciones

Prueba de Hipótesis Supongamos que tenemos muestras de dos reactores que producen el mismo artículo. Se desea ver si hay diferencia significativa en el rendimiento de “Reactor a Reactor”. Reactor A Reactor B 89.7 84.7 81.4 86.1 84.5 83.2 84.8 91.9 87.3 86.3 79.7 79.3 85.1 82.6 81.7 89.1 83.7 83.7 84.5 88.5 Estadísticas Descriptivas Variable Reactor N Media Desv.Std Rendimiento A 10 84.24 2.90 B 10 85.54 3.65

Estaba mal hecha la traducción del inglés al español Revisó M. Yris 4-Mar-99 Prueba de Hipótesis Pregunta Práctica: Existe diferencia entre los reactores? Pregunta estadística ¿La media del Reactor B (85.54) es significativamente diferente de la media del Reactor A (84.24)? O, su diferencia se da por casualidad en una variación de día a día. Ho: Hipótesis Estadística: No existe diferencia entre los Reactores Ha: Hipótesis Alterna: Las medias de los Reactores son diferentes. Se busca demostrar que los valores observados al parecer no corresponden al mismo proceso, se trata de rechazar Ho.

The Null Hypothesis is always stated as the thing we are trying to disprove. It states the status quo, that nothing has changed, that whatever you did had no effect. Prueba de Hipótesis Hipótesis Estadística: No existe diferencia entre los Reactores Esto se llama Hipótesis Nula (Ho) Hipótesis Alterna: Cuando las medias de Reactores son diferentes. A esto se le llama Hipótesis Alterna (Ha) Debemos demostrar que los valores que observamos al parecer no corresponden al mismo proceso, que la Ho debe estar equivocada

¿Qué representa esto? Reactor A Reactor B Gramática y ortografía estaban mal. Corregidas M. Yris 4-Mar-99 ¿Qué representa esto? Reactor A Reactor B A AA AAAA A A B B B B B BB B B B 80.0 82.5 85.0 87.5 90.0 92.5 ¿Representan los reactores dos procesos diferentes? ¿Representan los reactores un proceso básico?

Prueba F de dos varianzas Si se toman dos muestras de dos poblaciones normales con varianzas iguales, la razón de sus varianzas crea una distribución muestral F. Las hipótesis son las siguientes: El estadístico F se muestra a continuación donde S1 se acostumbra tomar como la mayor

Prueba F de dos varianzas Sea S1 = 900 psi, n1 = 9, s2 = 300 psi, n2 = 7. A un 95% de nivel de confianza se puede concluir que hay menor variación? Ho: Varianza 1 <= Varianza 2 H1: Varianza 1 > Varianza 2 Grados de libertad para Var1 = 8 y para var 2 = 6 Falfa = F(0.05, 8, 6) = 4.15 Fcalculada = (900^2)/(300^2) = 9 >> Falfa, se rechaza Ho. Hay evidencia suficiente para indicar que la variación ya se ha reducido

Prueba de hipótesis de dos pob. comparando varianzas con F

Prueba de hipótesis de dos pob. Comparando dos medias con Z

Prueba de dos medias muestras pequeñas Sigmas descono- cidas e iguales Sigmas desconocidas y desiguales

Prueba de hipótesis de dos pob. Comparando dos medias con t

Prueba de hipótesis de dos pob. Comparando datos pareados con t Grados de libertad = No. de pares - 1

Prueba de hipótesis de dos pob. Comparando dos proporciones con Z

Robustez Los procedimientos estadísticos se basan en supuestos acerca de su comportamiento teórico. Cuando los estadísticos obtenidos no son afectados por desviaciones moderadas de su expectativa teórica, se dice que son robustos.

Resumen

Instrucciones con Minitab para la comparación de dos varianzas Stat > Basic Statistics > 2-variances Seleccionar samples in different columns o Summarized data First-- Indicar la columna de datos de la muestra 1 Second- Indicar la columna de datos de la muestra 2 En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% OK

Instrucciones con Minitab para la comparación de dos medias Stat > Basic Statistics > 2-Sample t Seleccionar samples in different columns o Summarized data First-- Indicar la columna de datos de la muestra 1 Second- Indicar la columna de datos de la muestra 2 Seleccionar o no seleccionar Assume equal variances de acuerdo a los resultados de la prueba de igualdad de varianzas En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Indicar la diferencia a probar Test Difference (normalmente 0) Indicar el signo de la hipótesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than En graphs seleccionar las graficas Boxplot e Individual value plot OK

Instrucciones con Minitab para la comparación de dos medias pareadas Stat > Basic Statistics > Paired t Seleccionar samples in columns o Summarized data First sample - Indicar la columna de datos de la muestra 1 Second sample - Indicar la columna de datos de la muestra 2 En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Indicar la diferencia a probar Test Mean (normalmente 0) Indicar el signo de la hipótesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than En graphs seleccionar las graficas Boxplot e Individual value plot OK

Instrucciones con Minitab para la prueba de hipótesis de dos proporciones Stat > Basic Statistics > 2-Proportions Seleccionar Summarized Data Trials: Events: First: No. de elementos de la 1ª. Muestra y D1 éxitos encontrados Second: No. de elementos de la 2ª. Muestra y D2 éxitos encontrados En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Indicar la Test Difference Normalmente 0 Indicar el signo de la hipótesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than Seleccionar Use pooled estimate of p for test OK

7B5. Pruebas de bondad de ajuste

7B5. Bondad de ajuste

7B5. Bondad de ajuste

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribución de Poisson 1. Plantear la hipótesis nula y alterna Ho: La población tiene una distribución de prob. De Poisson Ha: Caso contrario 2. Tomar una muestra aleatoria, anotar la frecuencia observada fi y calcular la media de ocurrencias  3. Calcular la frecuencia esperada de ocurrencias ei. Multiplicar el tamaño de muestra con la prob. de Poisson para cada valor de la variable aleatoria. Si hay menos de 5 combinar las categorías 4. Calcular el estadístico de prueba 5. Rechazar Ho si o si p < alfa. Con gl=k-p-1 y alfa nivel de significancia

Ejemplo: Distribución de Poisson =5 Ho: No. de clientes que llega en intervalos de 5 min. tiene una distribución de Poisson Ha: No se sigue una distribución de Poisson Clientes Frec. observada f(x) de Poisson 128*f(x) cantidad esperada 2 0.0067 0.8576 1 8 0.0337 4.3136 10 0.0842 10.7776 3 12 0.1404 17.9712 4 18 0.1755 22.4640 5 22 6 0.1462 18.7136 7 16 0.1044 13.3662 0.0653 8.3584 9 0.0363 4.6464 10 o más 0.0318 4.0704

Ejemplo: Distribución de Poisson =5 Combinando X=0,1 y X=9, 10 o más para que la frecuencia observada sea mayor a 5 y se pueda aplicar la distribución Chi Cuadrada se tiene Clientes Frec. Observada (fi) f(x) de Poisson 128*f(x) frecuencia esperada (ei) 0 o 1 10 0.0067+0.0337 5.1712 2 0.0842 10.7776 3 12 0.1404 17.9712 4 18 0.1755 22.4640 5 22 6 0.1462 18.7136 7 16 0.1044 13.3662 8 0.0653 8.3584 9 o más 0.0363+0.0318 8.7168

Estadístico y conclusión Con los datos anteriores se calcula el estadístico Chi cuadrada que se compara con Chi Cuadrada de alfa para k-p-1 grados de libertad (K – categorías: 9, p – parámetros a estimar: 1 media). Ho se rechaza si o si p es mayor que alfa. El valor de Chi Cuadrada calculado es de 10.9766 y el valor Chi Cuadrada de alfa 0.05 con 2 gl. Es de 14.07 no se rechaza Ho En este caso p = 0.14 > 0.05 por tanto no se rechaza Ho y se concluye que los datos siguen una distribución de Poisson

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribución Normal 1. Plantear la hipótesis nula y alterna Ho: La población tiene una distribución de prob. Normal Ha: Caso contrario 2. Tomar una muestra aleatoria, calcular la media  y la desviación estándar 3. Definir K intervalos de valores de forma que la frecuencia esperada sea 5 cuando menos para cada uno (intervalos de igual probabilidad). Anotar la frecuencia observada de los valores de datos fi, en cada intervalo

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribución Normal 4. Calcular el número de ocurrencias esperado ei, para cada intervalo de valores. Multiplicar el tamaño de muestra por la probabilidad de que una variable aleatoria esté en el intervalo. 5. Calcular el estadístico de prueba 6. Rechazar Ho si o si p < alfa. Con gl=k-p-1 y alfa nivel de significancia

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribución Normal Ejemplo: datos de calificaciones: Media = 68.42; S = 10.41 Calificaciones 71 66 61 65 54 93 60 86 70 73 55 63 56 62 76 82 79 68 53 58 85 80 64 90 69 77 74 84  

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribución Normal Ho: la población tiene una distribución normal con media 68.42 y S=10.41 Ha: Caso contrario Para una muestra de 50 con una frecuencia mínima esperada de 5 se tiene el 10% al menos por cada celda La primera celda correspondiente al 10% está en Z = -1.28 con X = (Media - Z*S) = 55.10 Para el área del 20%, Z = -0.84 y X = 59.68 y así sucesivamente

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribución Normal Intervalo Frecuencia observada (fi) Frecuencia esperada (ei) Menos de 55.10 5 55.10 a 59.68 59.68 a 63.01 9 63.01 a 65.82 6 65.82 a 68.42 2 68.42 a 71.02 71.02 a 73.83 73.83 a 77.16 77.16 a 81.74 81.74 o más 50 Se registran las frecuencias de los datos tomados de las calificaciones

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribución Normal Se determina el estadístico Chi Cuadrado = 7.2 El Valor de Chi Cuadrado de alfa = 0.10 para k – p – 1 grados de libertad. K = 10 categorías, p = 2 parámetros. Gl = 7. Chi Cuadrado es 12.017 Como no se puede rechazar la hipótesis nula de normalidad de las calificaciones

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribución Multinomial 1. Enunciar la hipótesis nula y alternativa Ho: La población sigue una distribución de probabilidad multinomial con probabilidades especificadas para cada una de las K categorías Ha: Caso contrario 2. Tomar una muestra aleatoria y anotar las frecuencias observadas fi para cada categoría 3. Suponiendo que Ho es cierta, determinar la frecuencia esperada ei, en cada categoría multiplicando la probabilidad de la categoría por el tamaño de muestra

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribución Multinomial 4. Se determina el estadístico Chi Cuadrado de prueba 5. Regla de rechazo: Si no se puede rechazar la hipótesis nula Rechazar si el valor p es menor a alfa Con alfa nivel de significancia y los grados de libertad son k-1

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribución Multinomial Ejemplo: El año pasado la participación de mercado para la empresa A fue del 30%, 50% para la empresa B y 20% para la empresa C. La empresa C hace una prueba con un nuevo producto para estimar su impacto en las preferencias del mercado. Se tomó una muestra de 200 clientes resultando preferencias de compra de: 48 para A, 98 para B y 54 para C. De acuerdo a las probabilidades esperadas, en los 200 clientes las preferencias esperadas son: A=200*0.3=60, B=200*0.5=100, C=200*0.2=40

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribución Multinomial Datos para calcular el estadístico de prueba Chi Cuadrado Categoría Proporción hipotética Frecuencia observada Frecuencia esperada Empresa A 0.3 48 60 Empresa B 0.5 98 100 Empresa C 0.2 54 40

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribución Multinomial Chi Cuadrado calculado = 7.34 Chi cuadrado de alfa = 0.05 con k – 1 = 2 grados de libertad = 2 es de 5.99. El valor p correspondiente es de 0.025. Como 7.34 es mayor a 5.99 o el valor p de 0.025 es menor a alfa de 0.05 se rechaza la hipótesis nula Ho y se concluye que el nuevo producto modificará las preferencias del mercado actuales La participación de la empresa C aumenta con el nuevo producto

7B5. Prueba de Bondad de ajuste en Minitab La columna C1 – Observadas contiene las frecuencias observadas y la C2 – esperadas las frecuencias esperadas Calc > Calculator > Store result in variable ChiCuadrada Teclear en el cuadro de expresión sum((Observadas-Esperadas)**2/Esperadas) Calc > Probability distributions > Chi Square Seleccionar Cummulative probability Degrees of freedom 2 Input column ChiCuadrada; Optional Storage CumProb OK Calc > Calculator > Store results in variable p En el cuadro Expression teclear 1-CumProb OK

7B5. Prueba de Bondad de ajuste en Minitab Ejemplo: investigación de mercado Observadas Esperadas ChiCuadrada CumProb p 48 60 7.34 0.974524 0.0254765 98 100   54 40

7B5. Prueba de Bondad de ajuste en Excel Ejemplo: investigación de mercado 1. Calcular el estadístico Chi Cuadrada con =(A2-B2)^2/B2 y Suma Chi cuadrada = 7.34 2. El valor P es =distr.chi(7.34, 2) 3. El estadístico Chi Cuadrada de alfa es: =prueba.chi.inv(0.05,2) = 5.99 4. Como p es menor a alfa de 0.05 se rechaza la Ho

7B6. ANOVA para un factor principal y una o más variables de bloqueo

Introducción Cuando es necesario comparar 2 o más medias poblacionales al mismo tiempo, para lo cual se usa ANOVA. El método ANOVA tiene los siguientes supuestos: La varianza es la misma para todos los tratamientos del factor en todos sus niveles Las mediciones indiviudales dentro de cada tratamiento se distribuyen normalmente El término de error tiene un efecto distribuido normalmente e independiente

Contenido ANOVA de un factor o dirección ANOVA de un factor y una variable de bloqueo ANOVA de un factor y dos variables de bloqueo – CUADRADO LATINO ANOVA de un factor y tres variables de bloqueo – CUADRADO GRECOLATINO

ANOVA de un factor o dirección

Introducción Con el ANOVA las variaciones en la respuesta se dividen en componentes que reflejan los efectos de una o más variables independientes La variabilidad se representa como la suma de cuadrados total que es la suma de cuadrados de las desviaciones de mediciones individuales respecto a la gran media, se divide en: Suma de cuadrados de las medias de los tratamientos Suma de cuadrados del residuo o error experimental

ANOVA – Prueba de hipótesis para probar la igualdad de medias de varias poblaciones para un factor Se trata de probar si el efecto de un factor o Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es Significativo, al realizar experimentos variando Los niveles de ese factor (Temp. 1, Temp. 2, Temp.3, etc.)

ANOVA - Condiciones Todas las poblaciones son normales Todas las poblaciones tiene la misma varianza Los errores son independientes con distribución normal de media cero La varianza se mantiene constante para todos los niveles del factor

ANOVA – Ejemplo de datos Niveles del Factor Peso % de algodón y Resistencia de tela

ANOVA – Suma de cuadrados total Xij Gran media Xij

ANOVA – Suma de cuadrados de renglones (a)-tratamientos Media Trat. 1 Media Trat. a a renglones Gran media Media trat. 2

ANOVA – Suma de cuadrados del error X2j X3j X1j Media X1. Media X3. Media X2. Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3

ANOVA – Suma de cuadrados del error X2j X3j X1j Media X1. Media X3. Media X2. Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3

ANOVA – Grados de libertad: Totales, Tratamientos, Error

ANOVA – Cuadrados medios: Total, Tratamiento y Error

ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Fexcel

Tabla final de ANOVA

ANOVA – Toma de decisión Distribución F Fexcel Alfa Zona de rechazo De Ho o aceptar Ha Zona de no rechazo de Ho O de no aceptar Ha Fc

ANOVA – Toma de decisión Si Fc es mayor que Fexcel se rechaza Ho Aceptando Ha donde las medias son diferentes O si el valor de p correspondiente a Fc es menor de Alfa se rechaza Ho

ANOVA – Identificar las medias diferentes por Prueba de Tukey T Para diseños balanceado (mismo número de columnas en los tratamientos) el valor de q se determina por medio de la tabla en el libro de texto

ANOVA – Identificar las medias diferentes por Prueba de Tukey T Se calcula la diferencia Di entre cada par de Medias Xi’s: D1 = X1 – X2 D2 = X1 – X3 D3 = X2 – X3 etc. Cada una de las diferencias Di se comparan con el valor de T, si lo exceden entonces la diferencia es Significativa de otra forma se considera que las medias Son iguales

ANOVA – Identificar las medias diferentes por Prueba de Diferencia Mínima Significativa DMS Para diseños balanceados (los tratamientos tienen igual no. De columnas), se calcula un factor DMS contra el que se comparan las diferencias Xi – Xi’. Significativas si lo exceden

Prueba DMS para Diseños no balanceados Para diseños no balanceados (los tratamientos tienen diferente no. De columnas), se calcula un factor DMS Para cada una de las diferencias Xi – Xi’

Ejemplo: Considerar un experimento de un factor (máquina) con tres niveles (máquinas A, B, C). Los datos se muestran a continuación y debe verificarse si existe diferencia significativa a un alfa = 0.05 Su ma Máquinas Datos Prom.

Ejemplo: La tabla completa de ANOVA es la siguientes: Fuentes De variación Cuadrado medio Máquinas Como el valor calculado de F(33.2) excede el valor crítico de F, se rechaza la Hipótesis nula Ho

Ejemplo: Con Minitab: Stat>ANOVA>One way unstacked Responses (in separate columns) A B C Interpretar los resultados A B C 5 2 1 7 6 -2 -3

Ejemplo: One-way ANOVA: A, B, C Source DF SS MS F P Factor 2 137.20 68.60 33.19 0.000 Rechazo Ho Error 12 24.80 2.07 Total 14 162.00 S = 1.438 R-Sq = 84.69% R-Sq(adj) = 82.14% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev ---------+---------+---------+---------+ A 5 6.200 0.837 (-----*----) B 5 0.600 1.673 (----*-----) C 5 -0.800 1.643 (-----*----) ---------+---------+---------+---------+ 0.0 2.5 5.0 7.5 Pooled StDev = 1.438

Corrida en Minitab Se introducen las respuestas en una columna C1 Se introducen los subíndices de los renglones en una columna C2 Durability Carpet 18.95 1 12.62 1 11.94 1 14.42 1 10.06 2 7.19 2 7.03 2 14.66 2

Corrida en Minitab Opción: stat>ANOVA – One Way (usar archivo Exh_aov) En Response indicar la col. De Respuesta (Durability) En factors indicar la columna de subíndices (carpet) En comparisons (Tukey) Pedir gráfica de Box Plot of data y residuales Normal Plot y vs fits y orden Si los datos estan en columnas pedir ANOVA – One Way (unstacked)

Results for: Exh_aov.MTW One-way ANOVA: Durability versus Carpet Analysis of Variance for Durabili Source DF SS MS F P Carpet 3 111.6 37.2 2.60 0.101 Error 12 172.0 14.3 Total 15 283.6 Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev ---------+---------+---------+------- 1 4 14.483 3.157 (-------*-------) 2 4 9.735 3.566 (-------*--------) 3 4 12.808 1.506 (--------*-------) 4 4 17.005 5.691 (-------*-------) ---------+---------+---------+------- Pooled StDev = 3.786 10.0 15.0 20.0 Tukey's pairwise comparisons Family error rate = 0.0500 Individual error rate = 0.0117 Critical value = 4.20 Resultados

ANOVA de dos vías un factor principal y una variable de bloqueo

ANOVA de 2 vías Este es un procedimiento extensión de los patrones del ANOVA de una vía con tres fuentes de variación: Tratamiento del factor A (columnas), Tratamiento del factor B (renglones) y Error experimental.

ANOVA – Prueba de hipótesis para probar la igualdad de medias de varias poblaciones con dos vías Se trata de probar si el efecto de un factor o Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es Significativo, al realizar experimentos variando Los niveles de ese factor (Temp.1, Temp.2, etc.) POR RENGLON Y Considerando los niveles de otro factor que se piensa Que tiene influencia en la prueba – FACTOR DE BLOQUEO POR COLUMNA

ANOVA – 2 vías Para el tratamiento – en renglones Para el factor de bloqueo – en columnas

ANOVA 2 vías - Ejemplo

ANOVA – Dos vías o direcciones La SCT y SCTr (renlgones) se determina de la misma forma que para la ANOVA de una dirección o factor En forma adicional se determina la suma de cuadrados del factor de bloqueo (columnas) de forma similar a la de los renglones La SCE = SCT – SCTr - SCBl

ANOVA de 2 vías

ANOVA de 2 vías

ANOVA –Estadístico Fc y Fexcel

ANOVA – Estadístico Fb

Tabla final ANOVA 2 vías

ANOVA – 2 vías: Toma de decisión Distribución F Fexcel Alfa Zona de rechazo De Ho o aceptar Ha Zona de no rechazo de Ho O de no aceptar Ha Fc Tr o Bl

ANOVA – 2 vías: Toma de decisión Si Fc (Tr o Bl) es mayor que Fexcel se rechaza Ho Aceptando Ha donde las medias son diferentes O si el valor de p correspondiente a Fc (Tr o Bl) es menor de Alfa se rechaza Ho

Cálculo de los residuales Y estimada Error o residuo Error estándar Factor de comparación Si la diferencia de medias excede a Rk es significativa

Adecuación del modelo Los residuales deben seguir una recta en la gráfica normal Deben mostrar patrones aleatorios en las gráficas de los residuos contra el orden de las Yij, contra los valores estimados y contra los valores reales Yij

Corrida en Minitab Se introducen las respuestas en una columna C3 y los subíndices de renglones en columna C4 y de columnas en C5 Plantas Suplemento Lago 34 1 Rose 43 57 Dennison 40 85 2 68 67 53 41 3 24 42 52

Corrida en Minitab Opción: stat>ANOVA – Two Way (usar archivo Exh_aov) En Response indicar la col. De Respuesta (Plantas) En Row factor y Column Factor indicar las columnas de subíndices de renglones y columnas (suplemento y lago) y Display Means para ambos casos Pedir gráfica residuales Normal Plot y vs fits y orden

Two-way ANOVA: Zooplankton versus Supplement, Lake Analysis of Variance for Zooplank Source DF SS MS F P Suppleme 2 1919 959 9.25 0.015 Lake 1 21 21 0.21 0.666 Interaction 2 561 281 2.71 0.145 Error 6 622 104 Total 11 3123 Individual 95% CI Suppleme Mean --+---------+---------+---------+--------- 1 43.5 (-------*-------) 2 68.3 (--------*-------) 3 39.8 (--------*-------) --+---------+---------+---------+--------- 30.0 45.0 60.0 75.0 Lake Mean ------+---------+---------+---------+----- Dennison 51.8 (----------------*----------------) Rose 49.2 (----------------*----------------) ------+---------+---------+---------+----- 42.0 48.0 54.0 60.0 Resultados

ANOVA de un factor y dos o tres variables de bloqueo CUADRADO LATINO Y GRECOLATINO

ANOVA – 3 y 4 factores El diseño de Cuadrado latino utiliza dos factores de bloqueo adicionales al de Tratamiento EL diseño de Cuadrado Grecolatino utiliza tres factores adicionales al del Tratamiento El cálculo de suma de cuadrados para renglones y para columnas es similar al de ANOVA de un factor principal y otro de bloqueo

Cuadrado Latino

ANOVA – Cuadrado Latino: Factor principal (A,B,C,D)

ANOVA – Cuadrado Latino: Cálculo del error

ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Fexcel

ANOVA – Cuadrado Latino Reng / Col

Tabla final ANOVA 2 Factores

Cuadrado latino en Minitab Se introducen las respuestas en una columna C1 Se introducen los subíndices de los renglones en una columna C2 Se introducen los subíndices de las columnas en una columna C3 Se introducen las letras mayúsculas que indican el nivel del factor (A, B, C, D, etc.) correspondientes a cada respuesta en la columna C4

Cuadrado latino en Minitab Opción: stat> ANOVA – General linear model En Response indicar la col. De Respuesta, En Model indicar las columnas de los factores y En Random factors indicar los factores adicionales al del efecto principal a probar (A, B, C, D). Se pueden pedir interacciones entre factores x – y con Cx*Cy Pedir gráfica de residuales Normal y vs fits y orden

Cuadrado Greco Latino

Cuadrado Greco latino en Minitab Se introducen las respuestas en una columna C1 Se introducen los subíndices de los renglones en una columna C2 Se introducen los subíndices de las columnas en una columna C3 Introducir los subíndices del factor adicional de letras griegas con letras latinas minúsculas (a,b,c,d,e) en C4 Se introducen las letras mayúsculas que indican el nivel del factor (A, B, C, D, etc.) correspondientes a cada respuesta en la columna C5

Cuadrado Greco latino en Minitab Opción: ANOVA – General linear model En Response indicar la col. De Respuesta, En Model indicar las columnas de los factores y En Random factors indicar los factores adicionales al del efecto principal a probar (A, B, C, D). También se pueden indicar interacciones entre factores x-y con Cx * Cy Pedir gráfica de residuales Normal y vs fits y orden

ANOVA – Cuadrado Grecolatino

ANOVA de 2 factores – Suma de cuadrados, gl ANOVA de 2 factores – Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el error

ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Fexcel

ANOVA – Cuadrado Grecolatino

Tabla final ANOVA 2 Factores

ANOVA para diseño factorial AxB En un experimento factorial involucrando el factor A con (a) niveles y un factor B con (b) niveles, la suma de cuadrados se puede dividir en: SST = SS(A) + SS(B) + SS(AB) + SSE

7B7. Tablas de contingencia

7B7. Tablas de contingencia Prueba Chi2 (2) Revisado por Mónica Yris el 4 de Marzo de 1999. Se cambió el diseño, se revisó ortografía y parcialmente se cotejo la traducción. Inglés- Español. Si se hicieron algunos cambios en la traducción y en algunas partes donde no se había traducido porque lo dejaron en ingles. 1

¿Para qué se utiliza? 1. Para probar si una serie de datos observada, concuerda con el modelo (serie esperada) de la información. 2. Para probar las diferencias entre las proporciones de varios grupos (tabla de contingencia). Para todos los casos, Ho: No hay diferencia Ha: Hay diferencia Aún si no se ajusta la información al modelo esperado de la prueba chi2 . Debido a que su información es atribuida, usted no puede utilizar la distribución normal para el modelo. Se requiere un número muy grande de muestras para obtener una prueba significativa (>30). En la mayoría de los casos, la Hipótesis de Nulidad no “se Diferencia” y existe la Alternativa como “una diferencia existente”. En el acercamiento de Seis Sigma, podemos: Empezar con un Problema Práctico Convertir el Problema práctico a un Problema estadístico Resolver el Problema estadístico y obtener una Solución estadística Convertir nuevamente la solución estadística a una solución práctica. 2 3

Ejemplo 1: Chi Cuadrada( 2 ) Se lanza una moneda al aire 100 veces y que obtenemos 63 águilas y 37 soles. ¿La proporción de águilas y soles sucede por casualidad? O, se concluye que la moneda está “cargada”? Pregunte a la clase ¿quién piensa que la moneda es “genuina” y por qué y qué nivel de confianza tienen para estar en lo correcto? Ahora, pregunte quién piensa que la moneda está “cargada”, por qué y que tan confiados están en su respuesta. El punto es que no tenemos una confianza en nuestra eleccíón (“genuina” o “cargada”), hasta que hagamos uso de las estadísitcas. En este ejemplo, realizamos los cálculos para Chi 2 “a mano”, siguiendo las siguientes ecuaciones estadísticas. Si aparecen valores conocidos, esta sería una forma de calcular Chi2. Ho: La moneda es buena Ha: La moneda “está cargada” 4

Ejemplo 1: Chi Cuadrada( 2 ) (fo - fe)2 Observada Esperada fe ( fo ) ( fe ) Aguilas 63 50 3.38 Soles 37 50 3.38  2 = 3.38 + 3.38  2 = 6.76 Estadístico Chi Cuadrada g Pregunte a la clase ¿quién piensa que la moneda es “genuina” y por qué y qué nivel de confianza tienen para estar en lo correcto? Ahora, pregunte quién piensa que la moneda está “cargada”, por qué y que tan confiados están en su respuesta. El punto es que no tenemos una confianza en nuestra eleccíón (“genuina” o “cargada”), hasta que hagamos uso de las estadísitcas. En este ejemplo, realizamos los cálculos para Chi 2 “a mano”, siguiendo las siguientes ecuaciones estadísticas. Si aparecen valores conocidos, esta sería una forma de calcular Chi2. fe (fo - fe)2  2 c=  j = 1 4

Ejemplo 1: Chi cuadrada Función de Distribución Acumulada Chi2 con 1 grado de libertad (d.f) 2c P(2c > x) 6.7600 p = 1 - 0.9907 = 0.0093 De tablas X2Crítica, (0.05, 1) = 3.8414 Ho: La moneda es buena. Ha: La moneda está “cargada”. Para un 95% de confianza antes de concluir que la moneda “está cargada”, se requiere que X2c > X2Crítica o que el valor de p sea  0.05. Como p  0.05, se puede concluir -con un 95% de confianza - que la moneda “está cargada”. 7

Cálculo en Excel del estadístico Chi cuadrada 1. Posicionarse en una celda vacía 2. Accesar el menú de funciones con Fx 3. Seleccionar STATISTICAL o ESTADÍSTICAS, CHIINV. 4. Dar valores de probabilidad (0.05) y grados de libertad, normalmente (n - 1) para un parámetro o (# de renglones -1) * (# de columnas - 1) para el caso de tablas de proporciones. 7

Tabla de Valores Críticos Seleccionados de Chi2 

Tabla de contingencia Una tabla de clasificación de dos vías (filas y columnas) que contiene frecuencias originales, se puede analizar para determinar si las dos variables (clasificaciones) son independientes o tienen una asociación significativa. La prueba Chi Cuadrada probará si hay dependencia entre las dos clasificaciones. Además se puede calcular el coeficiente de contingencia (correlación) que en todo caso muestra la fuerza de la dependencia

Tabla de contingencia Para esta prueba se usa la prueba Chi Cuadrada donde: Entre mayor sea su valor, mayor será la diferencia de la discrepancia entre frecuencias observadas y teóricas. Esta prueba es similar a la de bondad de ajuste.

Tabla de contingencia Ejemplo: Cada una de las 15 celdas hace una contribución al estadístico Chi Cuadrado (una celda) Asumiendo Alfa = 0.1 y Gl= (reng – 1)*(Col – 1) = 4*2 = 8 Chi-Cuadrado de alfa = 20.09 Como Chi Cuadrada calculada >> Chi C. Alfa, se rechaza Ho de igualdad de resultados entre negocios

Ejemplo 2: Chi2 Para comparación de dos grupos; ¿son las mismas proporciones?) Ho: No existen diferencias en los índices de defectos de las dos máquinas. Ha: Existen diferencias en los índices de defectos de las dos máquinas. Los valores observados (fo) son los siguientes: Partes buenas Partes defectuosas máquina 1 fo = 517 fo = 17 Total = 534 máquina 2 fo = 234 fo = 11 Total = 245 779 Este es un ejemplo fácil para mostrarle cómo calcular el valor esperado cuando usted tiene un modelo más complejo y no supiera cuál es la probabilidad. Total 751 28 El índice de defectos totales es 28 / 779 = 3.6% 9

Ejemplo 2: Chi2 Para comparación de dos grupos; ¿son las mismas proporciones?) Cálculo de los valores esperados Partes buenas Partes defectuosas máquina 1 fo = 751*534/779 fo = 28*534/779 Total = 534 máquina 2 fo = 751*245/779 fo = 28*245/779 Total = 245 779 Basados en este índice, los valores esperados (fe) serían: Este es un ejemplo fácil para mostrarle cómo calcular el valor esperado cuando usted tiene un modelo más complejo y no supiera cuál es la probabilidad. máquina 1 530.53 3.47 Partes buenas máquina 2 233.47 1.53 Partes defectuosas 9

Prueba de chi cuadrada: Los conteos esperados están debajo de los conteos observados Partes buenas Partes Defectuosas Total 1 532 2 534 530.53 3.47 2 232 3 235 233.47 1.53 Total 764 5 769 Chi2 = 0.004 + 0.624 + 0.009 + 1.418 = 2.056 DF= 1; valor de p = 0.152 2 celdas con conteos esperados menores a 5.0 Nota: Chi cuadrada no podrá aplicarse en los casos donde los conteos seas menores a 5 en  20% de celdas. Si cualquiera de los conteos esperados en las celdas es menor a uno, no deberá usarse Chi2. Si algunas celdas tienen un conteo menor a los esperados, ya sea combinando u omitiendo renglones y/o columnas, las categorías pueden ser de utilidad.

Tabla de Chi2  . Tabla de valores críticos seleccionados para Chi2 DF .250 .100 .050 .025 .010 .005 .001 1 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2.773 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597 13.816 3 4.108 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838 16.266 4 5.385 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860 18.467 5 6.626 9.236 11.070 12.832 15.086 16.750 20.515 6 7.841 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548 22.458 7 9.037 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278 24.322 8 10.219 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955 26.125 9 11.389 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589 27.877 10 12.549 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 29.588 11 13.701 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757 31.264 12 14.845 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300 32.909 13 15.984 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819 34.528 14 17.117 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319 36.123 15 18.245 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801 37.697 16 19.369 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267 39.252 17 20.489 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718 40.790 18 21.605 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156 43.312 19 22.718 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582 43.820 20 23.828 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997 45.315 .

Variación en familias a probar Problema: Fugas Beneficios Potenciales: $10,000 de ahorro en retrabajos, y en la reducción de tiempo de ciclo. Variación en familias a probar Operador a operador Ho: No existe diferencia en los índices de defecto de los diferentes operadores Ha: Existe diferencia en los índices de defecto de los diferentes operadores Máquina a máquina Ho: No existe diferencia en los índices de defecto de las diferentes máquinas Ha: Existe diferencia en los índices de defecto de las diferentes máquinas Tamaño de la muestra: 5000 + total de oportunidades (172 piezas) 22

Prueba de chi2 (máquina a máquina) Los conteos esperados están colocados debajo de los conteos observados Con fugas Sin fugas Total 1 30 610 640 32.11 607.89 2 235 4217 4452 223.38 4228.62 3 3 253 256 12.84 243.16 4 18 334 352 17.66 334.34 Total 286 5414 5700 Chi2 = 0.139 + 0.007 + 0.604 + 0.032 + 7.546 + 0.399 + 0.006 + 0.000 = 8.734 DF= (4-1)(2-1) = 3; valor P = 0.033

Prueba de chi2 (operador a operador) Los conteos esperados están colocados debajo de los conteos observados. Con gotera Sin gotera Total 1 6 122 128 6.61 121.39 2 1 127 128 6.61 121.39 3 200 3836 4036 208.55 3827.45 4 54 202 256 13.23 242.77 5 5 699 704 36.38 667.62 6 12 116 128 Total 278 5102 5380 Chi2 = 0.057 + 0.003 + 4.765 + 0.260 + 0.351 + 0.019 +125.666 + 6.847 + 27.065 + 1.475 + 4.386 + 0.239 = 171.132 DF= 5; valor P = 0.000

(en este caso, operador a operador y máquina a máquina) ¿Qué sucede si los grupos múltiples de variación son estadísticamente significativos? (en este caso, operador a operador y máquina a máquina) Se utiliza un procedimiento denominado “Coeficiente de Contingencia” como clave para determinar qué grupo de variación debe investigarse primero. Chi Cuadrada N Coeficiente de Contingencia x 100 Chi2 N CC Máquina 8.734 5700 0.15 Operador 171.132 5380 3.18 Controlador Mayor SI el tamaño de la muestra (N), es similar para los grupos. Al dividir entre N, probablemente, llevará a la misma ruta que hubiera alcanzado con sólo ver la estadística Chi2. Sin embargo, si N tiene una variación considerable, dependiendo del grupo de variación que se investiga, el coeficiente de contingencia puede ser una herramienta valiosa para determinar la prioridad sobre qué grupo debe investigarse primero. El coeficiente de contingencia (también llamado, en ocasiones, R cuadrada o contribución de porcentaje) ayuda a determinar en donde enfocarse primero si tiene dos familias que son estadísticamente significativas. Si un valor p ha determinado una de las familias como no estadísticamente significativa, entonces no es necesario calcular el CC. Para usar efectivamente esto, el tamaño de sus muestras deberá ser el mismo para todas sus familias de variación. Además, a menos que sea SS de un ANOVA, los CC no sumarán 100%. 14

(Estos mismos operadores fueron quienes ¿Qué sucede si los grupos múltiples de variación son estadísticamente significativos? (en este caso, operador a operador y máquina a máquina) Ahora que la información nos ha llevado a investigar a los grupos de operador a operador. ¿Qué debemos hacer ahora? Encontremos cuál de los operadores estaban fuera del estándar. ¿Era alguno de ellos notablemente peor (o mejor) que el resto? Con gotera Sin gotera Total 1 6 122 128 6.61 121.39 2 1 127 128 6.61 121.39 3 200 3836 4036 208.55 3827.45 4 54 202 256 13.23 242.77 5 5 699 704 36.38 667.62 6 12 116 128 Mucho peor que lo esperado El coeficiente de contingencia (también llamado, en ocasiones, R cuadrada o contribución de porcentaje) ayuda a determinar en donde enfocarse primero si tiene dos familias que son estadísticamente significativas. Si un valor p ha determinado una de las familias como no estadísticamente significativa, entonces no es necesario calcular el CC. Para usar efectivamente esto, el tamaño de sus muestras deberá ser el mismo para todas sus familias de variación. Además, a menos que sea SS de un ANOVA, los CC no sumarán 100%. Mucho mejor que lo esperado (Estos mismos operadores fueron quienes tuvieron los números más grandes de chi2) 14

Operador a operador: = 0.000 Rechace Ho y acepte Ha (Existe una diferencia significativa entre los operadores) Los operadores 4 y 5 están fuera del estándar: El operador 4 es notablemente peor que el resto, El operador 5 es notablemente mejor que los demás ¿Cuál es el próximo paso? Hable con todos los operadores para averiguar qué diferencias pueden existen en sus técnicas. El operador 4 no tenía experiencia en este tipo de trabajo y apenas se estaba acostumbrado a soldar este producto en particular. El operador 5 encontró un modo de mejor de hacer el ensamble, con lo cual consiguió mejorar el trabajo de soldadura, aunque esto mostraba un grado de dificultad ergonómica. Se añadió un colocador para ensamblar la parte en forma segura. (Esto también redujo el tiempo que requerían los operadores para “acostumbrarse” a trabajar en esta forma)

Ejercicios 1. Se quiere evaluar la habilidad de tres inspectores de rayos X en un aeropuerto para detectar artículos clave. Como prueba se pusieron radios de transistores en 90 maletas, cada inspector fue expuesto a 30 maletas conteniendo radios mezcladas entre otras que nos los contenían. Los resultados se resumen a continuación: Inspectores 1 2 3 Radios detectados 27 25 22 Radios no detectados 3 5 8 ¿Con un 95% de confianza, existe una diferencia entre los inspectores? Ho: p1 = p2 = p3; Ha: al menos una es diferente Grados de libertad = (columnas - 1) ( filas -1)

Ejercicios 1. Se quiere evaluar si hay preferencia por manejar en un carril de una autopista dependiendo de la hora del día. Los datos se resumen a continuación: Hora del día Carril 1:00 3:00 5:00 Izquierdo 44 37 18 Central 28 50 72 Derecho 8 13 30 ¿Con un 95% de confianza, existe una diferencia entre las preferencias de los automovilistas dependiendo de la hora? Ho: P1 = P2 = P3; Ha: al menos una es diferente Grados de libertad = (columnas - 1) ( filas -1)

Coeficiente de Contingencia Coeficiente de contingencia es el grado de relación o dependencia de las clasificaciones en la tabla de contingencias es: Donde N es la frecuencia total y X es el estadístico Chi Cuadrado calculado

Coeficiente de Contingencia Para los datos del ejemplo anterior se tiene: El valor máximo de C se obtiene de:

Correlación de atributos Para tablas de orden k * k, el coeficiente de correlación, r, es : Donde 0<= r <= 1

7B8 – Pruebas de Hipótesis no paramétricas

Pruebas no paramétricas Las pruebas paramétricas asumen una distribución para la población, tal como la Normal Las pruebas no paramétricas no asumen una distribución específica de la población Bajo los mismos tamaños de muestra la Potencia o probabilidad de rechazar Ho cuando es falsa es mayor en las pruebas paramétricas que en las no paramétricas Una ventaja de las pruebas no paramétricas es que los resultados de la prueba son más robustos contra violación de los supuestos

Prueba de Hipótesis Atributo Variable No Normal Normal Varianza Tablas de Contingencia de  Varianza Medianas Correlación Correlación Homogeneidad de la Variación de Levene Prueba de signos Normal Wilcoxon Mann- Whitney Variancia Medias Kurskal- Wallis  Pruebas de t Prueba-F Muestra-1 Residuos distribuidos normalmente Prueba de Mood Muestra-2 Homogeneidad de la Variación de Bartlett Friedman ANOVA Una vía Dos vías Correlación Regresión

Resumen de pruebas de Hipótesis Datos Normales Datos No Normales Pruebas de Variancias X2 : Compara la variancia de una muestra con una variancia de un universo conocido. Prueba F : Compara dos varianzas de muestras. Homogeneidad de la variancia de Bartlett: Compara dos o más varianzas muestras de la misma población. Pruebas de Varianzas Homogeneidad de la varianza de Levene : Compara dos o más varianzas de muestras de la misma población.

Resumen de pruebas de Hipótesis Datos Normales Datos No Normales Pruebas de los Promedios Prueba t de 1 muestra : Prueba si el promedio de la muestra es igual a un promedio conocido o meta conocida. Prueba t de 2 muestras : Prueba si los dos promedios de las muestras son iguales. ANOVA de un factor: Prueba si más de dos promedios de las muestras son iguales. ANOVA de dos factores : Prueba si los promedios de las muestras clasificadas bajo dos categorías, son iguales. Correlación : Prueba la relación lineal entre dos variables. Regresión : Define la relación lineal entre una variable dependiente y una independiente. (Aquí la "normalidad" se aplica al valor residual de la regresión) Pruebas de la Mediana Prueba de signos o Prueba Wilcoxon : Prueba si la mediana de la muestra es igual a un valor conocido o a un valor a alcanzar. Prueba Mann-Whitney : Prueba si dos medianas de muestras son iguales. Prueba Kruskal-Wallis: Prueba si más de dos medianas de muestras son iguales. Asume que todas las distribuciones tienen la misma forma. Prueba de la mediana de Mood : Otra prueba para más de dos medianas. Prueba más firme para los valores atípicos contenidos en la información. Prueba Friedman : Prueba si las medianas de las muestras, clasificadas bajo dos categorías, son iguales. Correlación : Prueba la relación lineal entre dos variables.

Acciones a tomar con datos No Normales Revise y asegúrese de que los datos no siguen una distribución normal. Desarrollar una Prueba de normalidad (para verificar realmente lo anormal. Para la prueba de Bartlet el valor de p debe ser < 0.05) Desarrollar una Prueba de Corridas (para verificar que no existen sucesos no aleatorios que puedan haber distorsionado la información) Revisar la información para detectar errores (tipográficos, etc.). Investiguar los valores atípicos. Una muestra pequeña (n < 30) proveniente de un universo normal, se mostrará algunas veces como anormal. Intentar transformar los datos. Las transformaciones comunes incluyen: - Raíz cuadrada de todos los datos - Logaritmo de todos los datos - Cuadrado de todos los datos Si la información es todavía anormal, entonces usar las herramientas no paramétricas.

7B8. Definiciones Promedio : Es la media aritmética de la información. Es la suma de todos los datos, dividida entre el número de datos de referencia. Mediana: Valor del punto medio de los datos, cuando se ordenan en forma ascendente (en caso de datos pares, obtener promedio). Moda : Valor que se repite con más frecuencia sobre el conjunto de datos. Ejemplo: Se cuestionó a veinte personas sobre cuánto tiempo les tomaba estar listas para ir a trabajar, en las mañanas. Sus respuestas (en minutos) se muestran más adelante. ¿Cuáles son el promedio y la mediana para esta muestra? 30, 37, 25, 35, 42, 35, 35, 47, 45, 60 39, 45, 30, 38, 35, 40, 44, 55, 47, 43 It is helpful to know the Mean, Median, and Mode of your data set. The mean (average) versus the median gives you an idea as to how skewed your data may be from Normal. As data becomes more Non-Normal (unless it’s bi-modal), the mean and median move farther apart. 5

Un dibujo dice más que mil palabras Promedio Mediana -------+---------+---------+---------+---------+---------+------ C1 28.0 35.0 42.0 49.0 56.0 63.0 Promedio = 40.35 Mediana = 39.5 El promedio puede estar influenciado considerablemente por los valores atípicos porque, cuando se calcula un promedio, se incluyen los valores reales de estos valores. La mediana, por otra parte, asigna la misma importancia a todas las observaciones, independientemente de los valores reales de los valores atípicos, ya que es la que sencuentra en la posición media de los valores ordenados.

Pruebas Alternativas comúnmente usadas Analogía con datos normales Prueba de Corridas (la misma prueba para ambos tipos de información) Prueba t de una muestra Prueba t de 2 muestras ANOVA de un factor Pruebas para datos No normales Prueba de Corridas : Calcula la probabilidad de que un X número de puntos de referencia, esté por encima o por debajo del promedio aleatoriamente. Prueba de signos, de 1 muestra : Prueba la probabilidad de que la mediana de la muestra, sea igual al valor hipotético. Prueba Mann-Whitney : Comprueba el rango de dos muestras, por la diferencia entre dos medianas del universo. Prueba de la Mediana de Mood : Prueba para más de dos medianas del universo. Más robusta para los valores atípicos o para los errores en la información.

Prueba de Rachas Considere los siguientes datos (que se muestran aquí en orden cronológico): 325, 210, 400, 72, 150, 145, 110, 507, 56, 120, 99, 144, 110, 110, 320, 290, 101, 0, 80, 500, 201, 50, 140, 80, 220, 180, 240, 309, 80 Es importante tener los datos registrados en orden cronológico. Una representación gráfica de los datos se asemeja a esto: 600 Promedio 500 Primera "corrida" 400 300 200 100 Segunda ”racha" Racha: Un punto o una serie consecutiva de puntos que caen en un lado del promedio. Número total de Rachas: 12 Número total de puntos > al promedio: 11 Número total de puntos < al promedio: 18

Este es el valor p de las Prueba de Corridas Prueba de Rachas Ho: Los datos son aleatorios Ha:Los datos NO so aleatorios Prueba de Rachas Promedio K = 184.4483 Número de rachas observado = 12 Número de rachas esperado = 14.6552 => No se rechaza Ho 11 observaciones por encima de K; 18 por debajo La prueba es significativa en p= 0.2860 No se puede rechazar Ho con valor alfa = 0.05 Promedio Este es el valor p de las Prueba de Corridas Ya que p > 0.05, no podemos rechazar la hipótesis nula. Los datos son aceptados, siendo aleatorios.

Cálculos de la Prueba de Rachas El estadístico Z cuando n > 20 se calcula como: Z = (G - MediaG) / DesvStG Con MediaG = 1 + (2n1*n2) / (n1 + n2) DesvStG = Raiz [ (2n1*n2) (2n1*n2 - n1 -n2) / (n1 + n2)^2* (n1+n2 -1) Del ejemplo anterior G = 12; n1 = 11 n2 = 18 MediaG = 14.655 DesStG = 2.4843 Z1 = (12 - 14.655) / 2.4843 = -1.0687 P(Z1) = 0.1430 y para dos colas se tiene P(Z1) + P(Z2) = 0.2860 > Alfa crítico de 0.05, no rechazándose Ho Si las n1 y n2 son menores a 21, entonces se consulta la tabla de valores críticos para el número de Rachas G

Corrida con Minitab Runs Test: C1 Runs test for C1 Stat > Nonparametrics > Runs Test Variable C1, Above and below the mean Runs Test: C1 Runs test for C1 Runs above and below K = 184.448 The observed number of runs = 12 The expected number of runs = 14.6552 11 observations above K, 18 below P-value = 0.285 P > 0.05 No rechazar Ho

Prueba de Signos de la Mediana Ho : La mediana de la muestra es igual a la mediana de la hipótesis Ha : Las medianas son diferentes Ejemplo (usando los datos del ejemplo anterior): Ho: Valor de la mediana = 115.0 Ha: Valor de la mediana diferente de 115.0 N DEBAJO IGUAL ENCIMA VALOR P MEDIANA 29 12 0 17 0.4576 144.0 Ya que p >0.05, no se puede rechazar la hipótesis nula. No se puede probar que la mediana real y la mediana hipotética son diferentes. En las páginas siguientes se muestra el detalle del cálculo.

Cálculos de la Prueba de Signos de la Mediana Ejemplo: Con los datos del ejemplo anterior y ordenándo de menor a mayor se tiene: n = 29, Mediana de Ho = 115 No. Valor Signo No. Valor Signo No. Valor Signo 1 0 - 11 110 - 21 220 + 2 50 - 12 110 - 22 240 + 3 56 - 13 120 + 23 290 + 4 72 - 14 140 + 24 309 + 5 80 - 15 144 + 25 320 + 6 80 - 16 145 + 26 325 + 7 80 - 17 150 + 27 400 + 8 99 - 18 180 + 28 500 + 9 101 - 19 201 + 29 507 + 10 110 - 20 210 + Con la mediana en 144. Si el valor contra el cual se desea probar es 115, entonces hay 12 valores por debajo de el (-) y 17 valores por arriba (+).

Cálculos de la Prueba de Signos de la Mediana El estadístico X es el el número de veces que ocurre el signo menos frecuente, en este caso el 12 (-). Cómo n  25, se calcula el estadístico Z para la prueba de signos con: Z = [ (Y + 0.5) - (0.5*n) ]/ 0.5  n En este caso Z1 = - 0.74278 y P(Z1) = 0.2288 para la cola izquierda en forma similar P(Z2) 0-2288 para la cola derecha, por lo que la probabilidad total es 0.4576 >> 0.05 del criterio de rechazo. Si n hubiera sido < 25 entonces se hubiera consultado la tabla de valores críticos para la prueba de signo.

Prueba de Signos de la Mediana ¿Es esto correcto?¿144 podría ser igual a 115? Bueno, veamos una gráfica de la información 100 200 300 400 500 115 144 Después de todo, tal vez esto SEA lo correcto.

Corrida en Minitab Sign Test for Median: Signos Stat > Nonparametrics > 1-Sample sign Variable C1 Confidence interval 95% Test Median 115 Alternative Not equal Como P > 0.05 no se rechaza Ho y la mediana es 115 Sign Test for Median: Signos Sign test of median = 115.0 versus not = 115.0 N Below Equal Above P Median Signos 29 12 0 17 0.4583 144.0

Prueba de Signos de la Mediana Para observaciones pareadas Calificaciones de amas de casa a dos limpiadores de ventanas: Ho: p = 0.5 no hay preferencia de A sobre B Ha: p<>0.5 Ama Limpiador B Casa A 1 10 7 2 5 3 8 4 6 9 ¿Hay evidencia que indique cierta preferencia de las amas de casa por lo limpiadores?

Prueba de Signos de la Mediana Producto B Familia A 1 - + 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Media = 0.5*n Desv. Estand.= 0.5*raiz(n) Zc = (Y – media) / Desv. Estánd. Rechazar Ho si Zc ><Zalfa/2 ¿Hay evidencia que indique cierta preferencia por un Producto A o B?

Prueba de Signos de la Mediana Desv. Estand.= 0.5*raiz(n) = 1.67 Para Zc = (8 – 5.5) / 1.67 = 1.497 Zexcel = 1.96 para alfa/2 = 0.025 Como Zc < Zexcel no se rechaza Ho o Como p value = 0.067 > 0.025 No hay evidencia suficiente de que los Consumidores prefieran al producto B

Prueba rango con signo de Wilconox Es la alternativa no paramétrica de la prueba paramétrica de muestras pareadas Ejemplo: HO: Las poblaciones son idénticas Ha: Caso contrario Trabajador Método 1 Método 2 Diferencias Abs(diferen.) Rango Rango c/signo 1 10.2 9.5 0.7 8 2 9.6 9.8 -0.2 0.2 -2 3 9.2 8.8 0.4 3.5 4 10.6 10.1 0.5 5.5 5 9.9 10.3 -0.4 -3.5 6 9.3 0.9 10 7 10.5 0.1  Eliminar   9 11.2 0.6 10.7 11 0.8 T = 44

Prueba rango con signo de Wilconox Distribución muestral T para poblaciones idénticas Se aproxima a la distribución normal para n >= 10 En este caso n = pares eliminando las que son iguales con dif. = 0 para el trabajador 8.  = raiz(10 x 11 x 21/6) = 19.62 Z = (T – )/ = 44/19.62 = 2.24 Z alfa/2 = Z0.025 = 1.96 Como Zc = 2.24 > Z0.025 se rechaza Ho, los métodos son diferentes

Prueba en Minitab para prueba de mediana con Wilconox File> Open worksheet > Exh_Stat Stat > Nonparametrics > 1-Sample Wilconox Variables C1 Test Median 77 Altenative Not equal Achievement 77 88 85 74 75 62 80 70 83 Wilcoxon Signed Rank Test: Achievement Test of median = 77.00 versus median not = 77.00 for Wilcoxon Estimated N Test Statistic P Median Achievement 9 8 19.5 0.889 77.50 Ho: Mediana = 77 Ha: Mediana <> 77 Como P de 0.889 >> alfa de 0.05 no se rechaza Ho

Prueba de Mann-Whitney Se llevó a cabo un estudio que analiza la frecuencia del pulso en dos grupos de personas de edades diferentes, después de diez minutos de ejercicios aeróbicos. Los datos resultantes se muestran a continuación. Edad 40-44 C1 140 135 150 144 154 160 136 148 Edad 16-20 C2 130 166 128 126 132 124 ¿Tuvieron diferencias significativas las frecuencias de pulso de ambos grupos?

Prueba de Mann-Whitney Ordenando los datos y asignándoles el (rango) de su posición relativa se tiene (promediando posiciones para el caso de que sean iguales): Edad 40-44 C1 (7) 135 (8.5) 136 (11) 140 (11) 140 (13.5) 144 (15) 148 (16) 150 (17) 154 (18) 160 n1 = 10 Ta = 130.5 Edad 16-20 C2 (1) 124 (2) 126 (3.5) 128 (5) 130 (6) 132 (11)140 (15)166 n2 = 9 Tb = 55.5

Prueba de Mann-Whitney Ho: Las distribuciones de frecuencias relativas de las poblaciones A y B son iguales Ha: Las distribuciones de frecuencias relativas poblacionales no son idénticas Ho: 1 = 2 Ha: 1  2 1, 2 = Medianas de las poblaciones Ordenando los datos y asignándoles su posición relativa se tiene: Ua = n1*n2 + (n1) * (n1 + 1) /2 - Ta Ub = n1*n2 + (n2) * (n2 + 1) /2 - Tb Ua + Ub = n1 * n2 Ua = 90 + 55 - 130.5 = 14.5 P(Ua) = 0.006 Ub = 90 + 45 - 55.5 = 79.5 El menor de los dos es Ua. Para alfa = 0.05 el valor de Uo = 25 Como Ua < 25 se rechaza la Hipótesis Ho de que las medianas son iguales. Dado que p < 0.05, rechazamos la hipótesis nula. Estadísticamente existe una diferencia significativa entre los dos grupos de edad.

Prueba de Mann-Whitney Ho: Las distribuciones de frecuencias relativas de las poblaciones A y B son iguales Ha: Las distribuciones de frecuencias relativas poblacionales no son idénticas Ua = 14.5 Ub = 79.5 Utilizando el estadístico Z y la distribución normal se tiene: 45 12.24 Z = [ (U - (n1* n2 / 2 ) / Raiz (n1 * n2 * (n1 + n2 + 1) / 12) Con Ua y Ub se tiene: Za = (14.5 - 45) / 12.24 = - 2.49 P(Z) = 0.0064 similar a la anterior Zb = (79.5 -45) / 12.24 = 2.81 P(total) = 2 * 0.0064 = 0.0128 menor  = 0.05 El valor crítico de Z para alfa 0.025 por ser prueba de dos colas, es 1.96. Como Za > Zcrítico se rechaza la Hipótesis Ho de que las medianas son iguales. Dado que p < 0.05, rechazamos la hipótesis nula. Estadísticamente existe una diferencia significativa entre los dos grupos de edad.

Prueba de Mann-Whitney 16-20 años de edad Diferencias entre los encabezados de los renglones y las columnas De esta manera, se calcula la mediana de todas estas diferencias, denominada "punto estimado". Este punto estimado es una aproximación de la diferencia entre las medianas de los dos grupos (ETA1 y ETA2). Una vez ajustados los "enlaces" (eventos de un mismo valor en ambos grupos de información), Minitab usa este punto estimado para calcular el valor p.

Corrida en Minitab Mann-Whitney Test and CI: C1, C2 N Median P>0.05 Stat > Nonparametrics > Mann Whitney First Sample C1 Second Sample C2 Conf. Level 95% Alternative Not equal Mann-Whitney Test and CI: C1, C2 N Median P>0.05 C1 10 144.00 Se rechaza Ho C2 9 130.00 Point estimate for ETA1-ETA2 is 12.00 95.5 Percent CI for ETA1-ETA2 is (4.01,20.00) W = 130.5 Test of ETA1 = ETA2 vs ETA1 not = ETA2 is significant at 0.0143 The test is significant at 0.0140 (adjusted for ties)

Prueba de Kruskal Wallis Ordenando los datos de ventas y asignándoles el (rango) de su posición relativa se tiene (promediando posiciones para el caso de que sean iguales): Zona 1 (15.5) 147 (17.5) 17.5 (9) 128 (19) 162 (12) 135 (10) 132 (22) 181 (13) 138 n1 = 8 Ta = 118 Zona 2 (17.5) 160 (14) 140 (21) 173 (4) 113 (1) 85 (7) 120 (25) 285 (5) 117 (11) 133 (6) 119 n2 = 10 Tb = 111.5 Zona 3 (24) 215 (8) 127 (2) 98 (15.5) 127 (23) 184 (3) 109 (20) 169 n3 = 7 Tc = 95.5 N = n1 + n2 + n3 = 25

Prueba de Kruskal Wallis Ho: Las poblaciones A, B y C son iguales Ha: Las poblaciones no son iguales Ho: 1 = 2 = 3 Ha: 1  2  3 ; 1, 2, 3 = Medianas de las poblaciones Calculando el valor del estadístico H se tiene: H = [ 12 /( N* ( N + 1)) ] * [ Ta2 / n1 + Tb2 / n2 + Tc2 / n3 ] - 3 * ( N +1 ) H = 0.01846 * (1740.5 + 1243.225 + 1302.893 ) - 78 = 1.138 Se compara con el estadístico 2 para  = 0.05 y G.l. = k - 1 = 3-1 = 1 (k muestras) 2 crítico = 5.991 (válido siempre que las muestras tengan al menos 5 elementos) Como H < 2 crítico, no se rechaza la Hipótesis Ho: Afirmando que no hay diferencia entre las poblaciones 15

Corrida en Minitab Kruskal-Wallis Test: Datos versus Factor Stat > Nonparametrics > Kruskal Wallis Response C1 Factor C2 OK Kruskal-Wallis Test: Datos versus Factor Kruskal-Wallis Test on Datos Factor N Median Ave Rank Z Zona 1 7 138.0 14.7 0.98 Zona 2 10 126.5 11.1 -0.82 Zona 3 7 127.0 12.3 -0.10 Overall 24 12.5 P > 0.05 H = 1.08 DF = 2 P = 0.581 No se rechaza Ho H = 1.09 DF = 2 P = 0.581 (adjusted for ties)

Prueba de Medianas de Mood Realiza prueba de hipótesis de igualdad de medias en un diseño de una vía. La prueba es robusta contra Outliers y errores en datos y es adecuada para análisis preliminares Determina si K grupos independientes han sido extraidas de la misma población con medianas iguales o poblaciones con formas similares Con base en la gran mediana, anotar un signo positivo si la observación excede la mediana o un signo menos si es menor. Los valores que coincidan se reparten en los grupos Hacer una tabla de contingencia K x 2 con las frecuencias de signos más y menos en cada grupo K

Prueba de Medianas de Mood Se determina el estadístico Chi Cuadrada con: Probar Ho: Todas las medianas son iguales Ha: Al menos una mediana es diferente Se compara Chi Cuadrada calculada con Chi Cuadrada de alfa para 0.05 y (reng – 1)*(Col – 1) grados de libertad

Corrida con Minitab Se les da a 179 participantes una conferencia con dibujos para ilustrar el tema. Después se les da la prueba OTIS que mide la habilidad intelectual. Los participantes se clasificaron por nivel educativo 0-No prof., 1-Prof., 2-Prepa Ho: h1 = h2 = h3 Ha: no todas las medianas son iguales File > Open Worksheet > Cartoon.mtw Stat > Nonparametrics > Mood’s Median Test Response Otis Factor ED Ok

Corrida con Minitab Mood Median Test: Otis versus ED Mood median test for Otis P>0.05 Chi-Square = 49.08 DF = 2 P = 0.0005 Se rechaza Ho Individual 95.0% CIs ED N<= N> Median Q3-Q1 ----+---------+---------+---------+-- 0 47 9 97.5 17.3 (-----*-----) 1 29 24 106.0 21.5 (------*------) 2 15 55 116.5 16.3 (----*----) ----+---------+---------+---------+-- 96.0 104.0 112.0 120.0 Overall median = 107.0

Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Esta prueba es una alternativa al ANOVA de dos vías, es una generalización de las pruebas pareadas con signo. La aditividad es requerida para para estimar los efectos de los tratamientos Ho: Los tratamientos no tienen un efecto significativo Ha: Algunos tratamientos tienen efecto significativo

Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Resultados de salida: Se muestra el estadístico de prueba con distribución Chi Cuadrada aproximada con gl = Tratamientos – 1. Si hay observaciones parecidas en uno o más bloques, se usa el rango promedio y se muestra el estadístico corregido La mediana estimada es la gran mediana más el efecto del tratamiento

Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Ejemplo: Se evalúa el efecto del tratamiento de una droga en la actividad enzimática con tres niveles, probado en cuatro animales Open the worksheet EXH_STAT.MTW. Stat > Nonparametrics > Friedman. Response, seleccionar EnzymeActivity. En Treatment, seleccionar Therapy. En Blocks, seleccionar Litter. Click OK.

Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman EnzymeActivity Therapy Litter 0.15 1 0.26 2 0.23 3 0.99 4 0.55 -0.22 0.66 0.77 Datos:

Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Resultados: Friedman Test: EnzymeActivity versus Therapy blocked by Litter S = 2.38 DF = 2 P = 0.305 No rechazar Ho S = 3.80 DF = 2 P = 0.150 (adjusted for ties) Sum of Therapy N Est Median Ranks 1 4 0.2450 6.5 2 4 0.3117 7.0 3 4 0.5783 10.5 Grand median = 0.3783

Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Resultados: El estadístico de prueba S tiene un valor P de 0.305 sin ajustar para observaciones en cero y 0.150 para el valor ajustado. Por tanto no hay evidencia suficiente para rechazar Ho Las medianas estimadas asociadas con los tratamientos son la gran mediana más los efectos estimados de los tratamientos. El estadístico de prueba se determina con base a los rangos en cada bloque y totales

Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Resultados:

Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Resultados:

Diseños factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Resultados:

Prueba de igualdad de varianzas de Levene Se usa para probar la hipótesis nula de que las varianzas de k múltiples poblacionales son iguales Las igualdad de varianzas en las muestras se denomina homogeneidad de varianzas La prueba de Levene es menos sensible que la prueba de Bartlett o la prueba F cuando se apartan de la normalidad La prueba de Bartlett tiene un mejor desempeño para la distribución normal o aproximadamente normal

Prueba de igualdad de varianzas de Levene Para dos muestras el procedimiento es como sigue: Determinar la media Calcular la desviación de cada observación respecto a la media Z es el cuadrado de las desviaciones respecto a la media Aplicar la prueba t a las dos medias de los datos

Prueba de igualdad de Varianzas-Minitab Rot Temp Oxygen 13 10 2 11 3 6 4 7 15 26 16 19 24 22 18 20 8 Prueba de igualdad de Varianzas-Minitab Se estudian tamaños de papa inyectando con bacterias y sujetas a diferentes temperaturas. Antes del ANOVA se verifica la igualdad de varianzas Stat > ANOVA > Test for equal variances Response Rot Factors Temp Oxigen Confidence level 95%

Resultados

Resultados Test for Equal Variances: Rot versus Temp, Oxygen 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Temp Oxygen N Lower StDev Upper 10 2 3 2.26029 5.29150 81.890 10 6 3 1.28146 3.00000 46.427 10 10 3 2.80104 6.55744 101.481 16 2 3 1.54013 3.60555 55.799 16 6 3 1.50012 3.51188 54.349 16 10 3 3.55677 8.32666 128.862 Bartlett's Test (normal distribution) Test statistic = 2.71, p-value = 0.744 P>0.05 no rechazar Ho Levene's Test (any continuous distribution) Test statistic = 0.37, p-value = 0.858

Prueba de la concordancia del Coeficiente de Kendall El coeficiente expresa el grado de asociación entre las calificaciones múltiples realizadas por un evaluador Ho: Las variables son independientes Ha: Las variables están asociadas Kendall usa la información relacionada con las calificaciones relativas y es sensible a la seriedad de mala clasificación Por ejemplo para K = jueces N = Muestras = 10 Rango medio = 220 / 22 S = 1066 Gl = n-1 = 9 Chi Cuadrada crítica = X2 0.01,9 = 21.67

Prueba de la concordancia del Coeficiente de Kendall El Estadístico Chi Cuadrada calculado es: Como Chi Cuadrada de alfa es menor que la calculada, los cuatro jueces están asociados significativamente. Constituyen un panel uniforme. No quiere decir que estén en lo correcto, solo que responden de manera uniforme a los estímulos

El coeficiente de correlación de rangos de Spearman (rs) El coeficiente de correlación es una medida de la asociación que requiere que ambas variables sean medidas en al menos una escala ordinal de manera que las muestras u observaciones a ser analizadas pueden ser clasificadas en rangos en dos series ordenadas Ho: Las variables son independientes Ha: Las variables están asociadas Para el ejemplo anterior si N = 10, el coeficiente es:

Coeficiente de correlación de rangos para monotonía de preferencias Una persona interesada en adquirir un TV asigna rangos a modelos de cada uno de 8 fabricantes Preferencia Precio (rango) Fab. 1 7 449.50 (1) 2 4 525.00 (5) 3 479.95 (3) 6 499.95 (4) 5 580.00 (8) 549.95 (7) 8 469.95 (2) 532.50 (6) Di cuadrada Rango Di 6 36 -1 1 2 4 -7 49 -4 16 15

Coeficiente de correlación de rangos para monotonía de preferencias Ho: No existe asociación entre los rangos Ha: Existe asociación entre los rangos o es positiva o negativa El coeficiente de correlación de rangos de Spearman es: Rs = 1 – 6*suma(di cuadrada) / (n(n cuadrada – 1)) En este caso: Rs = 1 – 6(144)/(8*(64-1) = -0.714 R0 se determina de la tabla de Valores críticos del coeficiente de correlación del coeficiente de correlación de rangos de Spearman Rt = 0.686 Por tanto si hay asociación significativa en las preferencias 15

Tabla de constantes 15

Corrida con Minitab Correlations: Preferencia, Precio Para la corrida en Minitab primero se deben determinar los rangos en forma manual para las variables X y Y. Stat > Basic statistics > Correlation Variables Preferencia Precio Fabricante Prefe-rencia Precio 1 7 449 2 4 5 525 3 479 6 499 8 580 549 469 532 Correlations: Preferencia, Precio Pearson correlation of Preferencia and Precio = -0.714 P-Value = 0.047

Ejemplo con Minitab Correlations: Colageno, Proline Se estudia la relación entre colágeno y Proline en pacientes con cirrosis Stat > Basic statistics > Correlation Variables Colágeno Proline Paciente Colágeno Proline 1 7.1 2.8 2 2.9 3 7.2 4 8.3 2.6 5 9.4 3.5 6 10.5 4.6 7 11.4 Correlations: Colageno, Proline Pearson correlation of Colageno and Proline = 0.935 P-Value = 0.002

Resumen de pruebas no paramétricas Prueba de signos de 1 muestra: Prueba la igualdad de la mediana a un valor y determina el intervalo de confianza Prueba de Wilconox de 1 muestra: Prueba la igualdad de la mediana a un valor con rangos con signo y determina el intervalo de confianza Comparación de dos medianas poblacionales de Mann Whitney: Prueba la igualdad de las medianas y determina el intervalo de confianza

Resumen de pruebas no paramétricas Comparación de igualdad de medianas poblacionales de Kruskal Wallis: Prueba la igualdad de las medianas en un diseño de una vía y determina el intervalo de confianza Comparación de medianas poblacionales de Mood: Prueba la igualdad de medianas con un diseño de una vía

Salidas de la Fase de Análisis Causas raíz validadas Guía de oportunidades de mejora

Resumen de la validación de las causas # de Causa Causas Resultados Causa Raíz 1 2 3 4 5 6 7 Ensamble de ojillos, bloques y contrapesos no adecuados en aspas. Amortiguadores dañados. Desgaste de bujes en los carretes. Fabricación y reemplazo de ejes y poleas no adecuados en ensamble de aspas. Desalineamiento de poleas y bandas de transmisión de aspas. Método de Balanceo no adecuado. Desalineación de pinolas en cuna. SI ES CAUSA RAIZ NO ES CAUSA RAIZ X

Preguntas ejemplo 1. En un sentido amplio, cuantas de las siguientes causas de variación en estudios multi vari pueden incluir elementos de proceso relacionados con el tiempo: I. Posicional II. Cilíndrica III. Temporal a. I y II c. II y III b. I y III d. I, II y III 2. En un estudio de análisis de regresión con dos variables, ¿que representa el término Beta 1?: a. La pendiente de la línea b. La interacción de la medición c. La intersección en el eje X d. La intersección en el eje Y 3. Se hace un estudio entre la velocidad de coches y su consumo de gasolina. El coeficiente de correlación es de 0.35. Después se encontró que el velocímetro está equivocado y debió haber marcado 5 km. De más. Se recalcula el coeficiente de correlación, que debe dar: a. 0.30 b. 0.35 c. 0.40 d. -0.35

Preguntas ejemplo 4. La siguiente ecuación es: a. La covarianza de X y Y b. El coeficiente de correlación de X y Y c. El coeficiente de determinación de X y Y d. La varianza del producto de X y Y 5. Según la figura, ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es falsa? I. El coeficiente de correlación es negativo II. El coeficiente de determinación es positivo III. El coeficiente de determinación es menor que el coeficiente de correlación a. Sólo I c. Sólo III b. Sólo II d. II y III

Preguntas ejemplo 6. Un problema de correlación: a. Se resuelve estimado el valor de la variable dependiente para varios valores de la variable independiente b. Considera la variación conjunta de las dos mediciones, ninguna de las cuales es restringida por el experimentador c. Es un caso donde la distribución relevante debe ser geométrica d. Se resuelve al asumir que las variables son normales e independientemente distribuidas con media cero y varianza “s”

Preguntas ejemplo 7. Una muestra aleatoria de tamaño n se toma de una gran población con desviación estándar de 1.0”. El tamaño de muestra se determina de manera que haya un 0.05 de probabilidad de riesgo de exceder 0.1” de error de tolerancia al usar la media de la muestra para estimar la Mu. ¿Cuál de los siguientes valores es el más cercano al tamaño de muestra requerido? a. 365 b. 40 c. 200 d. 100 8. La diferencia entre poner alfa de 0.05 y alfa igual a 0.01 en una prueba de hipótesis es: a. Con alfa de 0.05 se tiene mayor tendencia a cometer un error tipo I b. Con alfa de 0.05 se tiene más posibilidad de riesgo de cometer un error tipo II c. Con alfa de 0.05 es una prueba más “conservadora” de la hipótesis nula Ho d. Con alfa de 0.05 se tiene menos posibilidad de cometer un error tipo I 9. Si un tamaño de muestra de 16 tiene un promedio de 12 y una desviación estándar de 3, estimar el intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95% para la población (asumir una distribución normal)

Preguntas ejemplo 10. En una muestra aleatoria de 900 vehículos, 80% tienen frenos ABS. ¿Cuál es el intervalo del 95% para el porcentaje de vehículos con frenos ABS? a. 0.778 – 0.821 c. 0.639 – 0.964 b. 0.771 – 0.829 d. 0.774 – 0.826 11. Determinar si los siguientes dos tipos de misiles tienen diferencias significativas en sus varianzas a un nivel del 5%: Misil A: 61 lecturas Varianza = 1.347 km2. Misil B: 31 lecturas Varianza = 2.237 km2. a. Hay diferencia significativa ya que Fcalc < Ftablas b. No hay diferencia significativa por que Fcalc < Ftablas c. Hay diferencia significativa por que Fcalc > Ftablas d. No hay diferencia significativa pro que Facla > Ftablas 12. El valor crítico para t, cuando se hace una prueba t de dos colas, con muestras de 13 y alfa de 0.05 es: a. 1.782 c. 2.064 b. 2.179 d. 1.711

Preguntas ejemplo 13. Tres personas en entrenamiento se les proporciona el mismo lote de 50 piezas y se les pide que las clasifiquen como buenas o defectuosas, con los resultados siguientes: Persona Para determinar si hay o no hay diferencia en la habilidad de las tres personas para clasificar adecuadamente las partes, ¿cuál de los siguiente es (son) verdadero? I. El valor calculado de Chi cuadrada es de 6.9 II. Para un nivel de significancia de 0.05, el valor crítico de Chi cuadrada es de 5.99 III. Como el valor calaculado de Chi cuadrada en mayor a 5.99, se rechaza la hipótesis nula a. Sólo I c. Sólo II b. I y II d. I, II y III 14. Un análisis de varianza de dos vías tiene r niveles para una variable y c niveles para la otra, con dos obseraciones por celda. Los grados de libertad para la interacción son: a. 2 (r ) (c ) b. (r-1) (c-1) c. rc – 1 d. 2 (r -1) (c – 1)

Preguntas ejemplo 15. Los supuestos básicos del análisis de varianza oncluyen: I. Las observaciones vienen de poblaciones normales II. Las observaciones vienen de poblaciones con vaianzas iguales III. Las observaciones vienen de poblaciones con medias iguales a. I y II c. II y III b. I y III d. I, II y III 16. El valor teórico esperado para una celda en la tabla de contingencia se calcula como:

Preguntas ejemplo 17. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas en relación a las pruebas no paramétricas? I. Tienen mayor eficiencia que sus equivalentes pruebas paramétricas II. Pueden ser aplicadas a estudios de correlación III. Requieren supuestos acerca de la forma oi naturaleza de las poblaciones involucradas IV. Requieren cálculos que son más difíciles que sus equivalentes pruebas paramétricas a. Sólo II c. II y IV b. I y III d. I, II y III