TEMA 1 FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS GRÁFICO M.I. Darío Rodríguez Facultad de Ingeniería, UNAM

Definición 2. Si tres o más puntos diferentes tienen la propiedad de estar sobre la misma recta, entonces se dice que dichos puntos son colineales.

Definición 3. Sean O y A dos puntos sobre una recta r. El conjunto formado por O y todos los puntos de r que están del mismo lado de A con respecto a O se llama semirrecta. El punto O se denomina vértice de la semirrecta (símbolo: → ).

Definición 4. El conjunto formado por dos semirrectas que tienen el mismo vértice se llama ángulo (símbolo: <). Si las dos semirrectas coinciden, entonces el ángulo que determinan se llama nulo o perígono. Si las dos semirrectas no coinciden pero están sobre una misma recta, el ángulo se llama llano.

Definición 5. Por extensión, se considerará también que al conjunto formado por una semirrecta y un segmento, tales que el vértice del primero coincida con un extremo del segundo, o bien, al conjunto de dos segmentos tales que un extremo del primero coincida con un extremo del segundo, se le denominará ángulo, siendo en estos casos el vértice del ángulo el punto de coincidencia.

Definición 6. Para todo ángulo se considerará a una de sus semirrectas como la de inicio y la otra como la semirrecta de término. Todo ángulo no nulo divide al plano en dos regiones: la que queda comprendida desde la semirrecta de inicio hasta la de término en sentido dextrógiro (antihorario) se le llamará región interior del ángulo y a la otra se denominará región exterior del ángulo.

Definición 7. Dos ángulos que tienen un mismo vértice y una semirrecta común, y que la semirrecta no común del segundo no esté contenida en la región interior del primero, reciben el nombre de ángulos adyacentes.

Definición 8. Dos ángulos adyacentes tales que sus semirrectas no comunes no son coincidentes y pertenecen a la misma recta se denominan ángulos suplementarios.

Axioma 2 Congruencia Todo ángulo (segmento) es congruente a sí mismo, es decir, si las dos semirrectas (extremos) de dos ángulos (segmentos) dados coinciden respectivamente, entonces los dos ángulos (segmentos) son congruentes (A: identidad). Si un ángulo (segmento) es congruente a otro, entonces el segundo es congruente al primero (A: reciprocidad). Si un ángulo (segmento) es congruente a otro, y éste a su vez es congruente a un tercero, entonces el primero es congruente al tercero (A: transitividad).

Definición 9 Se llama ángulo recto a aquel ángulo que es congruente a su ángulo suplementario

Definición 10 Dos rectas m y n son perpendiculares si se cortan entre sí formando ángulos adyacentes congruentes, es decir, ángulos rectos.

Definición 11 Dos ángulos tales que la suma de sus medidas es equivalente a un ángulo recto se les llama ángulos complementarios.

Axioma 3 Todo segmento o ángulo se puede subdividir de una única manera en n segmentos (ángulos) adyacentes congruentes, para cualquier entero positivo n (A: subdivisión).

Axioma 4 La medida del todo es equivalente a la suma de las medidas de sus partes (A: ∀=Σ partes).

Axioma 5 Una medida (cantidad) puede ser sustituida por otra equivalente, en cualquier expresión o ecuación (A: sustitución).

Definición 12 Se denomina grado sexagesimal, o simplemente grado, a la medida de un ángulo correspondiente a la nonagésima parte de un ángulo recto. Por tanto, el ángulo recto tiene una medida de 90 grados sexagesimales, que se escribe como 90°.

Definición 13 Se dice que dos segmentos son adyacentes si están situados sobre una misma recta, tienen un extremo común y ningún extremo de uno está entre los extremos del otro.

Definición 14 Al punto que divide a un segmento en dos segmentos adyacentes congruentes se le denomina punto medio.

Definición 15 A la semirrecta que divide a un ángulo en dos ángulos adyacentes congruentes se le llama bisectriz.

Definición 16 Al conjunto de n puntos diferentes con n mayor o igual a tres, 𝐴 1 , 𝐴 2 , …, 𝐴 𝑛 , 𝐴 𝑙 , no tres de ellos consecutivos colineales, y de los n segmentos 𝐴 1 𝐴 2 , 𝐴 1 𝐴 2 ,…, 𝐴 𝑛−1 𝐴 𝑛 , 𝐴 𝑛 𝐴 𝑙 determinados, tal que ninguno de dichos segmentos se interseca con otro se denomina polígono simple. A los puntos se les llama vértices del polígono, siendo cada uno de los segmentos mencionados un lado del polígono.

Definición 17 Dos polígonos con el mismo número de lados se llaman semejantes si cumplen: que exista una correspondencia uno a uno entre los lados de uno y otro polígono, de manera que los lados de ambos polígonos sean respectivamente proporcionales; dos lados que se corresponden de esta manera se denominan lados homólogos; que los ángulos formados entre cada pareja de lados adyacentes de un polígono sean congruentes, respectivamente, a los ángulos formados por los lados homólogos del segundo; a los ángulos que se corresponden de esta manera se conocen como ángulos homólogos.

Definición 18 Dos polígonos con el mismo número de lados son congruentes si todos sus lados homólogos son congruentes y todos sus ángulos homólogos son congruentes.

Definición 19 Al polígono simple que tiene tres vértices y, por consiguiente, tres lados se denomina triángulo.

Definición 20 Dos triángulos que tienen sus tres lados homólogos congruentes y sus tres ángulos homólogos congruentes se llaman triángulos congruentes

Axioma 6 Si dos triángulos tienen dos lados homólogos congruentes y los ángulos homólogos determinados por dichos lados también congruentes, entonces los dos ángulos opuestos a dichos lados son respectivamente congruentes.

Criterios de congruencia de triángulos Los siguientes teoremas se pueden demostrar, por limites del curso se omiten las demostraciones

Teorema 1 (congruencia) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo formado por dichos lados (LAL = Lado-Ángulo-Lado). Es necesario que los ángulos congruentes sean aquéllos formados por el par de lados congruentes, pues si dos triángulos tienen dos lados congruentes y un ángulo, no formado por dichos lados, congruente, en general no serán congruentes. Pág. 694

Teorema 2 (congruencia) Dos triángulos son congruentes si tienen 2 ángulos y el lado adyacente a ellos respectivamente iguales. (ALA)

Teorema 3 (congruencia) Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados iguales. (LLL) Es necesario que los ángulos congruentes sean aquéllos formados por el par de lados congruentes, pues si dos triángulos tienen dos lados congruentes y un ángulo, no formado por dichos lados, congruente, en general no serán congruentes. Pág. 694

Teorema congruencia - Ejercicio En la siguiente fi gura .Determina si los siguientes triángulos son congruentes y encuentra los valores de x y y.

Teorema congruencia - Solución

Definición 21 Un ángulo de un triángulo y un lado del mismo se denominan opuestos (uno del otro) si el vértice del ángulo no pertenece al lado. En caso contrario se llaman adyacentes (uno del otro).

Definición 22 Un triángulo se llama rectángulo si tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa. Los otros lados se llaman catetos.

Definición 23 Al triángulo que tiene sus tres lados congruentes se le denomina triángulo equilátero.

Definición 24 Se conoce como triángulo isósceles a aquél que tiene dos lados congruentes.

Convención H: hipótesis D: Definición A: Axioma T: Teorema

Teorema 4 En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes

qed Las siglas qed significan “que es lo que había que demostrar”, y provienen de la frase latina “quod est demostrandum”.

Teorema 5 Por un punto cualquiera del plano puede trazarse una perpendicular a una recta dada, y sólo una

Definición 25 A cualquiera de los lados de un triángulo se le puede denominar base del triángulo, y con respecto a él, al segmento trazado desde el vértice del ángulo opuesto hasta su intersección con dicha base y perpendicular a ella se le conoce como altura del triángulo

Definición 26 En el plano, dos rectas se llaman paralelas si coinciden, o bien, si no tienen ningún punto común.

Axioma 7 Dados un punto y una recta en el plano, existe una recta paralela, y sólo una, a la recta dada que pasa por el punto (A: Euclides).

Definición 27 Dos rectas que se intersecan determinan cuatro ángulos, cada uno de ellos formado por dos semirrectas consecutivas. A cada pareja de ángulos así formados que no sean suplementarios se denomina ángulos opuestos por el vértice.

Teorema 6 Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes

Teorema 7 Si una recta r es perpendicular a otra recta s, y dicha recta s es perpendicular a una tercera recta t, entonces la recta r es paralela a la recta t

Teorema 8 Si una recta es perpendicular a una de dos paralelas, entonces es perpendicular a la otra

Definición 28 Al polígono simple que tiene cuatro vértices y, por consiguiente, cuatro lados se le llama cuadrilátero.

Definición 29 Se llaman ángulos opuestos de un cuadrilátero a las dos parejas de ángulos cuyos vértices no son consecutivos.

Definición 30 Se conoce como lados opuestos de un cuadrilátero a las dos parejas de lados que no tienen ningún extremo común. A los lados que tienen un extremo común se les llaman lados adyacentes.

Definición 31 Al cuadrilátero que tiene una de sus parejas de lados opuestos paralelos entre sí se denomina trapecio.

Definición 32 Se llama paralelogramo al cuadrilátero que tiene sus dos parejas de lados opuestos paralelos entre sí. A uno de sus lados se le llama base del paralelogramo, y con respecto a él, al segmento trazado desde alguno de los vértices no coincidentes con dicho lado y perpendicular a éste se le conoce como altura del paralelogramo.

Definición 33 Se conoce como rectángulo al cuadrilátero que tiene todos sus ángulos congruentes. A uno de sus lados se le llama base del rectángulo, y con respecto a él, a cualquiera de sus lados adyacentes se le denomina altura del rectángulo.

Definición 34 Al cuadrilátero que tiene todos sus lados congruentes así como todos sus ángulos congruentes se le llama cuadrado.

Ejercicio