Resolución de Problemas Método Gráfico Primer Semestre 2007 EII 405 – Clase 4

Método Gráfico Cuando el problema se transforma en un modelo matemático con 2 (ó 3) variables de decisión, entonces es posible resolver gráficamente el problema. Si la región de soluciones factibles del problema es un conjunto convexo, existe a lo menos un óptimo global y se encuentra en una esquina. Un conjunto es convexo si el segmento rectilíneo que une cualquier par de puntos del conjunto se encuentra completamente dentro de él. Conjunto convexo Conjunto no convexo

Método Gráfico Ejemplo Una empresa produce dos tipos de juguetes de plásticos: Space y Zapper. La empresa dispones de 40 horas semanales de producción y de 1200 kilos de plásticos para la construcción de ambos juguetes. El Depto de Marketing ha determinado que la demanda conjunta no excederá de las 800 docenas y que el número de docenas de Space no puede exceder al número de docenas de Zapper por más de 450. El Depto de Producción determinó que los Space requieren de 2 kilos de plástico y 3 minutos de producción por docena, mientras que los Zappers requieren de 1 kilo de plástico y 4 minutos de producción por docena.

Método Gráfico La utilidad que se obtendrá por los Space es de $8 por docena y $5 por docena de Zapper. Determine la política óptima de producción para maximizar las ganancias Definición de variables: X: Docenas a producir de Space Y: Docenas a producir de Zapper F.O: Max Z = 8X + 5Y S. a 2X + Y  1200 Plástico disponible 3X + 4Y  2400 Tiempo disponible X + Y  800 Demanda máxima X - Y  450 Producción en exceso X, Y  0

Método Gráfico Y Región infactible Región factible X 2X + Y  1200 600 Región factible 3X + 4Y  2400 X X - Y  450 600 800

Método Gráfico Hay 2 procedimientos para encontrar la solución factible óptima: Evaluar la F.O. en cada una de las esquinas del área de soluciones factibles. El problema es cuando hay un área con muchas esquinas lo que implica la solución de muchos sistemas de ecuaciones lineales. Usar la F.O. para determinar la esquina del área de soluciones factibles que la optimiza. El problema se produce cuando la F.O. es aproximadamente paralela a uno de los lados del área de soluciones factibles, originando una duda visual sobre la gráfica.

Política de Producción Método Gráfico Procedimiento 1 Política de Producción Space = 480 Zapper = 240 Utilidad = $5040 Y P(0;600) Z= 3000 Óptimo P(480;240) Z= 5040 P(550;100) Z= 4900 P(0,0) P(450,0) Z= 3600 X

Política de Producción Método Gráfico Procedimiento 2 Política de Producción Space = 480 Zapper = 240 Utilidad = $5040 Utilidad = 5040 Utilidad = 800 2000 3600

Método Gráfico Ejemplo 2 Max Z = 2,5X1 + X2 S.a 3X1 + 5X2  15 Xi  0 con i = 1 y 2 X2 X1 3 5 2 5X1 + 2X2  10 3X1 + 5X2  15

Problema de múltiples soluciones Método Gráfico X2 3 P(20/19;45/19) Z= 5 Z = 3 Problema de múltiples soluciones P(2;0) Z= 5 X1 2

Método Gráfico Múltiples soluciones óptimas Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la función objetivo es una recta paralela a uno de los lados de la región factible. En el ejemplo todos los puntos que pertenecen a la recta 5X1 + 2X2 = 10 entre los puntos (2;0) y (20/19;45/19) maximizan la F.O, es decir, existen múltiples soluciones con Z = 5

Región factible infinita Método Gráfico Ejemplo 3 Min Z = -X1 + X2 S.a X1  X2 -0,5X1 + X2  1 Xi  0 con i = 1 y 2 X2 X1 X1 – X2  0 -0,5X1 + X2  1 Región factible infinita Problema de soluciones indeterminadas

Método Gráfico Caso 4 Min Z = -X + Y S.a X  Y X + Y  6 -X + 2Y  6 Y Problema sin Solución

Método Gráfico Ejercicio: Máx. Z = 2X + Y S.a 2X – Y  8 X - Y  3 P(6,4) Z = 16

Análisis de Sensibilidad ¿En qué intervalo puedo variar los coeficientes de la F.O. (Cj) sin que cambie la actual solución óptima? ¿Cuánto varía el óptimo si se cambia el parámetro “del lado derecho” (bi) de una restricción ? ¿Qué recurso tiene mayor impacto en la F.O. y en el valor óptimo?

Análisis de Sensibilidad Supongamos el siguiente ejemplo: Max Z = 15X + 20Y S.a X + 2Y  6 2X + 2Y  8 X, Y  0 4 6 3 X Y P(2;2) Z = 70

Variación de los Cj Se analizan las pendientes de las restricciones activas y la de la F.O. Entonces, el actual vértice (2,2) seguirá siendo la solución óptima mientras: 4 6 3 X Y La pendiente de la FO se encuentra entre las pendientes de las restricciones activas P(2;2) Z = 70

Variación de los Cj Max Z = C1X + C2Y Pendiente: -C1/C2 S.a X + 2Y  6 Pendiente: -1/2 2X + 2Y  8 Pendiente: -1 X, Y  0 La pendiente de la FO se encuentra entre las pendientes de las restricciones activas Matemáticamente: -C1/C2  [-1,-1/2] Es decir: -1  -C1/C2  -1/2 C2  C1 2C1  C2

Variación de los Cj También se puede estudiar el intervalo de variación de un solo coeficiente, dejando el resto de los parámetros fijos: Variación de C1 con C2 constante: -1  - C1 /20  -1/2 C1  20 y C1  10 10  C1  20 Variación de C2 con C1 constante: -1  - 15/C2  -1/2 C2  15 y C2  30 15  C2  30

Variación de los bj En este caso interesa hallar la mínima y máxima variación del bi que conserve la actual geometría del problema, es decir, que conserve las actuales restricciones activas. De esta manera, la solución óptima cambia, pero se obtiene a partir de las mismas restricciones activas. X + 2Y = 8 En el ejemplo, para la 1ª restricción: X + 2Y = b1, la mayor variación se obtiene en b1= 8, en tanto que la menor se obtiene en b1= 4. X + 2Y = 4

Variación de los bj Ahora es posible calcular la tasa de cambio de la F.O. al variar b1: Lo anterior significa que que si dispongo de 1 unidad más del recurso, entonces la utilidad va a aumentar en 5 unidades. Lo anterior es válido dentro del rango, porque fuera de él las restricciones activas cambian.

Variación de los bj La tasa de cambio es una para cada restricción. También se le llama “Precio sombra” pues representa el valor máximo que estoy dispuesto a pagar por una unidad de ese recurso. Con los precios sombra se puede ver cuál recurso es el que más afecta a la F.O. Toda restricción que no esté activa tiene precio sombra cero.

Variación de los bj Para la 2ª restricción: 2X + 2Y = b2 2X + 2Y = 6

Variación de los bj En este ejemplo ambos recursos presentan igual tasa de cambio, o precio sombra, por lo que ambos aportan el mismo beneficio a la F.O. Entonces la elección depende de los precios de compra de cada recurso. Se elige el más barato. En general, si se dispone de dinero, se elige el recurso que entregue mayor tasa de cambio, descontado el precio de compra del recurso.