LÓGICA CUANTIFICACIONAL O DE PREDICADOS Rodrigo Jurado, MA

LA CUANTIFICACIÓN Todos los humanos son mortales. Sócrates es humano. Por tanto, Sócrates es mortal. Simbolizado: T H ∴ M Parecería ser inválido porque las premisas no son compuestas y no se puede revelar la estructura interna del argumento con los métodos anteriores. Se necesita un método con el que los enunciados no compuestos puedan describirse y simbolizarse de tal manera que sea revelada su estructura interna lógica. La cuantificación es ese método. Es decir, con la cuantificación, la estructura interna de las proposiciones, las relaciones de sujetos y predicados, queda a la vista y accesible gracias a los cuantificadores.

PROPOSICIONES SINGULARES Una proposición singular afirmativa indica que un individuo particular tiene un atributo (i.e. característica) específico. Ej.: Sócrates es humano. “Sócrates” es el sujeto. “humano” es el predicado. El predicado designa algún atributo a ese individuo.. El sujeto denota a un individuo particular.

ALGUNAS REGLAS 1. El sujeto puede ocurrir en diferentes proposiciones. Ej.: Sócrates es mortal. / Sócrates es gordo. / Etc. 2. El predicado puede ocurrir en diferentes proposiciones. Ej.: Aristóteles es humano. / Brasil es humano. / Etc. 3. “Individuo” puede referirse no únicamente a personas, sino a cualquier cosa individual (e.g. un país, un libro, etc.). Los atributos no tienen que ser adjetivos; también pueden ser sustantivos. Ej.: No es necesario distinguir entre “Samuel es humano” y “Samuel es un humano”. 5. Los predicados también pueden ser verbos. Ej.: “Adán escribe” puede expresarse así: “Adán es escritor”. En la Lógica de predicados se ignora el factor tiempo y se utiliza el verbo “es” en el sentido atemporal (i.e. es, será o ha sido). Para denotar individuos utilizamos letras minúsculas de la a a la w. Es conveniente denotar a un individuo por la primera letra de su nombre. Ej.: s para Sócrates. Para simbolizar atributos se utilizan letras mayúsculas. Es conveniente utilizar la primera letra del atributo referido. Ej.: H para humano.

EL SÍMBOLO Hx La constante individual, que es un símbolo utilizado en la notación lógica para denotar a un individuo, puede constituir los nombres. Una variable individual es un símbolo utilizado como marcador de posición para una constante individual. Hx es una función proposicional porque contiene una variable individual “(x)”, y porque se convierte en un enunciado cuando una constante individual (“Sócrates”, por ejemplo) es sustituida por la variable individual “(x)”. Una función proposicional tendrá algunas instancias de sustitución verdaderas y otras falsas. Ej.: si H simboliza “humano”, s simboliza “Sócrates” y c simboliza “Chicago”, entonces Hs es verdadera y Hc es falsa. Primero tenemos la función proposicional; luego, con la sustitución, tenemos una proposición. Existe un número ilimitado de funciones: Hx, Mx, Bx... Éstas son predicados simples porque son funciones que tienen algunas instancias de sustitución verdaderas y algunas falsas, cada una de las cuales es una proposición singular afirmativa. La generalización es el proceso de formar una proposición a partir de una función proposicional, colocando un cuantificador universal o existencial antes de ésta.

INSTANCIA DE SUSTITUCIÓN (RECORDATORIO) Instancia de sustitución se refiere a la sustitución de enunciados por variables. El argumento que obtengo al hacer eso es una instancia de sustitución. (Cualquier enunciado que resulte de la sustitución consistente de enunciados por variables enunciativas es una instancia de sustitución de la forma enunciativa). Ejemplo: M = “mortal” Mx = Es una función proposicional que dice: “X es mortal”. Ms: Es una instancia de sustitución de Mx, una proposición singular afirmativa que dice: “Sócrates es mortal” (en el caso de que “s” simbolice “Sócrates”). individuo atributo

Cuantificador universal: CUANTIFICADOR UNIVERSAL: (x) Mx ¿Qué pasa si se quiera afirmar que más de un individuo posee el atributo en cuestión? “Todo es mortal”. Todas las cosas son mortales. Dada cualquier cosa individual, ésta es mortal. Dada cualquier x, x es mortal. Dada cualquier x, Mx. (x) Mx Ejemplo: Es igual a: Ésta reemplaza a “cosa”: X, la variable individual, reemplaza al pronombre (“ésta”) y su antecedente (“cosa individual”): Cuantificador universal: (x) en (x) Mx Dada cualquier x se llama el cuantificador universal y se simboliza como “(x)”.

Cuantificador existencial: CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: (Ǝx) Bx “Algo es bello”. Existe por lo menos una cosa que es bella. Existe al menos una x tal que x es bella. Existe al menos una x tal que Bx. (Ǝx) Bx Ejemplo: Es igual a la siguiente proposición, donde “que” nos remite a “cosa”: X, la variable individual, reemplaza al pronombre (“que”) y su antecedente (“cosa”): Utilizamos la notación de predicados (i.e. Bx) para sustituir “X es bella”: Cuantificador existencial: (Ǝx) en (Ǝx) Bx “Existe al menos una x tal que” se llama el cuantificador existencial y se simboliza como “(Ǝx)”:

El SIGNIFICADO DE “UNIVERSAL” & “EXISTENCIAL” La cuantificación universal de una función proposicional, (x)Mx, es verdadera si y sólo si todas sus instancias de sustitución son verdaderas. La cuantificación existencial de una función proposicional, (Ǝx) Mx, es verdadera si y solo si posee al menos una instancia de sustitución verdadera.

PROPOSICIONES NEGATIVAS No todas las proposiciones son afirmativas. Uno puede negar que Sócrates es mortal, diciendo: ~Ms, “Sócrates no es mortal”. Si Ms es una instancia de sustitución de Mx, entonces ~Ms puede considerarse una instancia de sustitución de la función proposicional ~Mx.

EJEMPLO DE PROPOSICIONES NEGATIVAS “Nada es perfecto”. Todo es imperfecto. Dada cualquier cosa individual, ésta no es perfecta. Dada cualquier cosa x, x no es perfecta. (x) ~Px Puede parafrasearse como: Que a su vez puede escribirse como: Que puede reescribirse como: Si P simboliza “ser perfecto”, con el cuantificador y el signo de negación se puede expresar la proposición “Nada es perfecto” así:

EQUIVALENCIA LÓGICA (RECORDATORIO) La equivalencia material (≡) (e.g. bicondicional) es una conectiva que puede ser verdadera o falsa, dependiendo de la verdad o falsedad de los elementos que conecta. Ej.: Ricardo se pone de mal humor si y solo si Andrea llora. R ≡ A La equivalencia lógica (≡), en cambio, no es una conectiva. Expresa una relación que no es veritativa-funcional entre dos enunciados. Dos enunciados son lógicamente equivalentes solo cuando les es absolutamente imposible tener diferentes valores de verdad. Pero si dos enunciados siempre tienen el mismo valor de verdad, tienen que tener el mismo significado y, en ese caso, pueden sustituirse el uno al otro en cualquier contexto veritativo-funcional sin cambiar el valor de verdad de ese contexto. 4. Los enunciados que solo son equivalentes materialmente, no pueden sustituirse el uno al otro. T

CONEXIONES ENTRE LA CUANTIFICACIÓN UNIVERSAL Y LA EXISTENCIAL “Todo es mortal” ((x) Mx) es negada por “Algo no es mortal” ((Ǝx) ~Mx). Por tanto, “Todo es mortal” ((x) Mx) es igual a decir “No existe nada que no sea mortal” (~(Ǝx)~Mx). Por tanto, “Nada es mortal” ((x) ~Mx) es negada por “Algo es mortal” ((Ǝx) Mx). Por tanto, 4. “Todo no es mortal” expresa lo mismo que “No existe nada que sea mortal”. Por tanto, ~(x)Mx ≡ (Ǝx)~Mx T (x)Mx ≡ ~(Ǝx)~Mx T ~(x)~Mx ≡ (Ǝx)Mx T (x)~Mx ≡ ~(Ǝx)Mx T

CONEXIONES GENERALES Antes de enlistar los cuatro bicondicionales, reemplazamos el predicado M (para mortal) con el símbolo ф (la letra griega phi), que representa cada predicado simple, cualquier que éste sea. Antes: Ahora: (x)Mx ≡ ~(Ǝx)~Mx [(x)фx] ≡ [~(Ǝx)~фx] ~(x)~Mx ≡ (Ǝx)Mx [(Ǝx)фx] ≡ [~(x)~фx] (x)~Mx ≡ ~(Ǝx)Mx [(x)~фx] ≡ [~(Ǝx)фx] ~(x)Mx ≡ (Ǝx)~Mx [(Ǝx)~фx] ≡ [~(x)фx]

MATRIZ DE CONEXIONES GENERALES Lista: [(x)фx] ≡ [~(Ǝx)~фx] [(Ǝx)фx] ≡ [~(x)~фx] [(x)~фx] ≡ [~(Ǝx)фx] [(Ǝx)~фx] ≡ [~(x)фx] Contrarias Subcontrarias Contradictorias Contra dictorias (x)фx (x)~фx (Ǝx)фx (Ǝx)~фx

LECTURA DE LA MATRIZ Las dos proposiciones superiores son contrarias. Ambas pueden ser falsas, pero no pueden ser ambas verdaderas. Las dos proposiciones inferiores son subcontrarias. Ambas pueden ser verdaderas, pero ambas no pueden ser falsas. Las proposiciones que están en los extremos opuestos de las diagonales son contradictorias. Una debe ser verdadera y la otra debe ser falsa. En cada lado de la matriz, la verdad de la proposición inferior está implicada por la verdad de la proposición que está directa-mente arriba de ella. Contrarias Subcontrarias Contradictorias Contra dictorias (x)фx (x)~фx (Ǝx)фx (Ǝx)~фx

LECTURA DE LA MATRIZ (x)фx: Todo es _____. Dada cualquier cosa x, x es _____. (x)~фx: Todo no es _____. Dada cualquier cosa x, x no es _____. 3. (Ǝx)фx: Algo es _____. Existe al menos una x tal que x es _____. (Ǝx)~фx: Algo no es _____. Existe al menos una x tal que x no es _____. Contrarias Subcontrarias Contradictorias Contra dictorias (x)фx (x)~фx (Ǝx)фx (Ǝx)~фx