Crecimiento exponencial & función logaritmo natural Algunas de sus aplicaciones Matemáticas 2º Año

Crecimiento Exponencial (I) El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud “Y” tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo cual implica que crece muy rápidamente en el tiempo de acuerdo con la ecuación:

Crecimiento Exponencial (II) Donde: Yt es valor de la magnitud en el instante t > 0; Y0 es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuando empezamos a medirla; r es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre t = 0 y t > 0; e = 2,718281828459...

1. Desintegración Radioactiva: datación radiométrica La datación radiométrica es el procedimiento técnico empleado para determinar la edad absoluta de rocas, minerales y restos orgánicos. En los tres casos se analizan las proporciones de un isótopo padre y un isótopo hijo de los que se conoce su semivida o vida media. La Datación por radiocarbono (basada en la desintegración del isótopo carbono-14) es comúnmente utilizada para datación de restos orgánicos relativamente recientes. El isótopo usado depende de la antigüedad de las rocas o restos que se quieran datar. Por ejemplo, para restos orgánicos de hasta 60,000 años se usa el carbono-14, pero para rocas de millones de años se usan otros isótopos de semivida más larga.

Datación radiométrica De acuerdo al modelo: La edad de una muestra será: Donde: N(t)=Cantidad de Núcleos (ó gramos) del isotopo, aun presentes en la muestra al periodo “t” No=Cantidad original de del isotopo en la muestra. m=semivida del isotopo

Datación radiométrica Semividas para algunos isótopos radioactivos:

Para desarrollar en el cuaderno Completar la siguiente tabla para los isótopos radiactivos señalados: Nota recuerde el modelo es:

2. Ley de enfriamiento de Newton El nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la acuñación mientras fue funcionario de la casa de la moneda de Inglaterra. Newton observó que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba más rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton.

Ecuación de la Ley de enfriamiento de Newton Donde: T(t)=temperatura del cuerpo en el instante “t” To=Temperatura inicial del cuerpo Tm=Temperatura del ambiente donde se encuentra el cuerpo. k= ritmo de enfriamiento. e=2.7182… “La razón de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del medio que lo rodea” También se puede expresar así:

Ejemplo: Ley de Enfriamiento de Newton Un cuerpo que se encuentra a 20ºC se coloca en un ambiente que se encuentra a 60ºC . A los 5 min. el cuerpo alcanza los 30ºC . ¿Cuál será su temperatura al cabo de 20 min., Cuándo alcanzará los 40ºC ? Solución: información que brinda el problema: Temperatura inicial del cuerpo: To=20ºC La temperatura del ambiente es: Tm=60ºC La temperatura después de 5 minutos es de 30ºC Lo que se busca en primer lugar es la temperatura del cuerpo dentro de 20 min. En segundo lugar dentro de cuanto tiempo la temperatura del cuerpo será de 40ºC

Ejemplo: Ley de Enfriamiento de Newton la temperatura del cuerpo dentro de 20 min. Primero calculamos el ritmo de enfriamiento (k)

Ejemplo: Ley de Enfriamiento de Newton Ahora sí podemos calcular la temperatura del cuerpo. El modelo a usar es:

Ejemplo: Ley de Enfriamiento de Newton Calculamos ahora ¿Cuándo alcanzará los 40ºC?

La escala de Richter Charles Richter fue un sismólogo americano cuyo estudio permitió relacionar la magnitud de un terremoto o sismo con el tiempo transcurrido entre la aparición de ondas P y ondas S y la amplitud de estas. Esta es la escala de referencia desde 1935 que permite evaluar la fuerza de un sismo por el valor de la magnitud calculada a partir de la cantidad de energía que este produce. La escala Richter, es una escala logarítmica que corresponde al logaritmo de la medida de las ondas de tipo P y S a 100 kilómetros del epicentro.

La escala de Richter… La fórmula para calcular la escala de Richter utiliza un logaritmo decimal: R = log(A) – log(A0), ó también R=log(A/A0) Donde A representa la amplitud máxima revelada por el sismógrafo y A0 una amplitud de referencia. Esto significa que las ondas sísmicas de un sismo de magnitud 6 tienen una amplitud diez veces más grandes que aquellas de un sismo de magnitud 5.

Ejemplos: 1) Utilizando la fórmula de la escala Richter, determine la magnitud de un sismo cuya intensidad es:   a) 100 veces A0. b) 10 000 veces A0. c) 100 000 veces A0.

Solución

Ejemplos: 2)Los terremotos de mayor magnitud registrados han estado entre 7 y 9 en la escala de Richter. Calcule las intensidades correspondientes en términos de A0.

Solución

Ejemplos: El devastador terremoto de San Francisco en 1906 midió 8.9 en la escala de Richter. ¿Cómo se compara este terremoto con el de Papúa, Nueva Guinea, en 1988, que midió 6.7 en la escala de Richter?

Solución

Escala del Sonido (Decibeles –dB) Decibelio es la unidad relativa empleada en acústica y telecomunicaciones para expresar la relación entre dos magnitudes, acústicas o eléctricas, o entre la magnitud que se estudia y una magnitud de referencia. El decibelio es la unidad de medida utilizada para el nivel de potencia y el nivel de intensidad del sonido. El decibelio, cuyo símbolo es dB, es una unidad logarítmica. Es un submúltiplo del belio, de símbolo B, que es el logaritmo de la relación entre la magnitud de interés y la de referencia, pero no se utiliza por ser demasiado grande en la práctica, y por eso se utiliza el decibelio, la décima parte de un belio. El belio recibió este nombre en honor de Alexander Graham Bell.

Fórmula En donde I es la potencia a estudiar, en vatios (variable), Io es el valor de referencia, igual a 10 − 12 w/m^2 y log es el logaritmo en base 10 de la relación entre estas dos potencias. Este valor de referencia se aproxima al umbral de audición en el aire.

Ejemplos: 1) Encuentre los decibelios en los casos siguientes: a) I es 10 veces más grande que Io. b) I es 1 000 veces más grande que Io. c) I es 10 000 veces más grande que Io. (Este es el nivel de intensidad promedio de la voz).  

Solución

Ejemplos: 2) Un nivel de intensidad del sonido de 141 decibeles produce dolor en un oído humano común. ¿Cuántas veces, aproximadamente, debe ser I más grande para que dB alcance este nivel ?

Solución