Apuntes 1º Bachillerato CT DÍA 24 * 1º BAD CT LUGARES GEOMÉTRICOS @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT LUGAR GEOMÉTRICO LUGAR GEOMÉTRICO Lugar geométrico del plano es el conjunto de todos los puntos que cumplen una misma propiedad. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Dado un segmento de extremos A y B se denomina mediatriz de dicho segmento a la recta r que es perpendicular a dicho segmento y pasa por su punto medio M. La mediatriz de un segmento de extremos A y B es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A y de B A P PA M r PB B @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

CÁLCULO DE LA MEDIATRIZ 1.- Por la igualdad de distancias: d (P, A) = d (P, b)   √ [ (x – x1) 2 + (y – y1) 2 ] = √ [ (x – x2) 2 + (y – y2) 2 ] Se eleva todo al cuadrado, se reducen términos semejantes y el resultado es la recta r, la mediatriz. 2.- Por la perpendicularidad con el segmento Se calcula el punto medio del segmento AB, que es M. Se halla la ecuación de la recta AB Se halla la recta perpendicular a AB y que pasa por su punto medio. Dicha recta será la mediatriz. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, -1) y B(3, 5) Por la igualdad de distancias: d (P, A) = d (P, b)   √ [ (x – 2) 2 + (y + 1) 2 ] = √ [ (x – 3) 2 + (y – 5) 2 ] Se eleva todo al cuadrado:  (x – 2) 2 + (y + 1) 2 = (x – 3) 2 + (y – 5) 2  x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25 Se reducen términos semejantes:  – 4x + 4 + 2y + 1 = – 6x + 9 – 10y + 25  2x + 12y – 29 = 0 2.- Por la perpendicularidad con el segmento Se calcula el punto medio M: xm=(2+3)/2=2’5 ,, ym=(-1+5)/2=2 Ecuación de la recta AB: (y – 5)=[(5+1)/(3-2)](x – 3)  y = 6x – 13 Perpendicular a AB por M: y – 2 = -1/6 (x – 2,5) 6y – 12 = - x + 2,5  x + 6y – 14,5 = 0  2x + 12y – 29 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 0) y B(0,- 3) Por la igualdad de distancias: d (P, A) = d (P, b)   √ [ (x – 2)2 + y2 ] = √ [ x2 + (y + 3)2 ] Se eleva todo al cuadrado:  (x – 2)2 + y2 = x2 + (y + 3)2  x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + y2 + 6y + 9 Se reducen términos semejantes:  – 4x + 4 = 6y + 9  4x + 6y + 5 = 0 2.- Por la perpendicularidad con el segmento Se calcula el punto medio M: xm=(2+0)/2=1 ,, ym=(0 - 3)/2= - 1’5 Ecuación de la recta AB: (y + 3)=[(- 3 – 0)/(0-2)]. x  y = 1,5.x – 3 Perpendicular a AB por M: y + 1’5 = - 2/3 (x – 1) 3y + 4’5 = - 2x + 2  2x + 3y + 2,5 = 0  4x + 6y + 5 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT LUGAR GEOMÉTRICO LUGAR GEOMÉTRICO Lugar geométrico del plano es el conjunto de todos los puntos que cumplen una misma propiedad. BISECTRIZ DE DOS RECTAS Dadas dos rectas, r y s, se denomina bisectrices de dichas rectas a las rectas b1 y b2 que dividen a los ángulos determinados por r y s en dos partes iguales. Las bisectrices de dos rectas r y s es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de r y de s P d d α/2 b1 r α/2 β/2 β/2 s b2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

CÁLCULO DE LAS BISECTRICES 1.- Por la igualdad de distancias: Sean las rectas r: Ax+By+C=0 y s: A’x+B’y+C’=0 Sea P(x,y) un punto de la bisectriz/es a hallar. Del punto P a r dista lo mismo que de P a s. d (P, r) = d (P, s)  |Ax + By + C| |A’x + B’y + C’|  ----------------------- = --------------------- √(A2+B2) √(A’2+B’2) Eliminando los valores absolutos, queda: Ax + By + C A’x + B’y + C’  ------------------- = ± --------------------- √(A2+B2) √(A’2+B’2) Con el signo + obtenemos una bisectriz, y con el signo – la otra. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 Hallar las ecuaciones de las bisectrices de las rectas: r: x + y – 2 = 0 y s: x – y + 5 = 0 Por la igualdad de distancias: x + y – 2 x – y + 5 --------------- = ± --------------- √(12+12) √(12+12) Con el signo + obtenemos una bisectriz, y con el signo – la otra. x + y – 2 = x – y + 5  2y – 7 = 0  Recta horizontal x + y – 2 = – x + y – 5  2x + 3 = 0  Recta vertical Ejemplo 2 r: 3x + 4y – 10 = 0 y s: 8x – 6y + 5 = 0 3x + 4y – 10 8x – 6y + 5 ------------------- = ± ----------------- √(32+42) √(82+62) 10.(3x + 4y – 10) = 5.(8x – 6y + 5)  2x – 14y + 25 = 0 10.(3x + 4y – 10) = – 5.(8x – 6y + 5)  14x – 2y – 25 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT SUPERFICIE CÓNICA Una superficie cónica es aquella que se obtiene al hacer girar una recta g, llamada generatriz, alrededor de otra recta e, llamada eje, cuando g y e son secantes. El punto de corte de ambas rectas es el vértice V de la superficie. Al cortar a la superficie así formada por un plano se obtienen secciones que se llaman cónicas. Cuando el plano cortante contiene al vértice se obtienen las llamadas cónicas degeneradas, que son un punto, una recta o un par de rectas secantes. Generatriz Vértice Eje @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Cónicas degeneradas β α α β α β Punto Recta Rectas secantes α < β α = β α > β @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Circunferencia y Elipse El plano secante es perpendicular al eje. Elipse: El plano secante forma con el eje un ángulo menor que con las generatrices. En ambos casos la cónica es una curva cerrada y corta a todas las generatrices. Dibujos de: Circunferencia Elipse http://www.math2.org/math/algebra/es-conics.htm @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Parábola e Hipérbola Parábola: El plano secante es paralelo a una generatriz, cortando a una sola de las hojas de la superficie cónica. Hipérbola: El plano secante forma con el eje un ángulo menor que con las generatrices y corta a las dos hojas de la superficie cónica. En ambos casos la cónica es una curva abierta y no corta a todas las generatrices. Dibujos de: Parábola Hipérbola http://www.math2.org/math/algebra/es-conics.htm @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT