Estimación y contraste de hipótesis Programa investigación Salud AGSCG 2012

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Concepto de estimación Error estándar Intervalos de confianza

CONCEPTO DE ESTIMACIÓN DEFINICIÓN DE ESTIMACIÓN: Proceso de utilizar información de una muestra para extraer conclusiones acerca de toda la población Se utiliza la información para estimar un valor

PROPIEDADES DE LA ESTIMACIÓN No debe tener sesgos Debe haber poca variabilidad de una muestra a otra.

TIPOS DE ESTIMACIÓN PUNTUAL: Estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, obtenido de una fórmula determinada. Por ejemplo, si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede extraerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos. POR INTERVALOS: Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del parámetro estimado con una cierta probabilidad. Se obtienen dos puntos que representan un límite inferior y superior.

ESTIMADOR Un estimador de un parámetro poblacional es una función de los datos muestrales, también llamado estadístico. Es el resultado de un cálculo que depende de los valores obtenidos de una muestra, para realizar estimaciones. El estimador es una variable aleatoria que asigna a cada posible valor de la muestra un valor numérico. Como tal, tiene sentido calcular su media, su varianza y otras características propias de las variables aleatorias.

ESTIMADOR Ser un estimador adecuado no significa ... significa ... ... manejo de la incertidumbre y de la imprecisión

ESTIMADOR PUNTUAL Un estimador puntual difiere del verdadero valor del parámetro, por lo que es deseable acompañar la estimación con alguna medida del error cometido

ERROR ESTÁNDAR DEFINICIÓN DE ERROR ESTÁNDAR: Diferencia entre el valor probable y los valores reales de la variable dependiente

ERROR ESTÁNDAR El error estándar es…

TIPOS DE ERROR ESTÁNDAR ALEATORIO SISTEMÁTICO El error estándar puede ser de dos tipos

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS UN INTERVALO Asociado a cada estimación siempre hay UNA MEDIDA DE CONFIANZA

INTERVALO DE CONFIANZA DEFINICIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA: Espacio que tiene una cierta probabilidad de contener el verdadero valor del parámetro desconocido

INTERVALO DE CONFIANZA Formalmente, se determina un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.

INTERVALO DE CONFIANZA El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error. Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar.

NIVEL DE CONFIANZA Elegiremos probabilidades cercanas a la unidad del 95% 1-α = 0.95 α = 0.05 del 90% 1-α = 0.90 α = 0.10 del 99% 1-α = 0.99 α = 0.01 Se pueden crear para cualquier parámetro de la población: media, desviación típica, proporciones.

DISTRIBUCIÓN NORMAL En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

DISTRIBUCIÓN NORMAL Algunas propiedades de la distribución normal son: Es simétrica respecto de su media, μ. La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ; Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ. Distribución de probabilidad en un entorno de la media: En el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución; En el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución; En el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza.

Teorema central del límite Sea X1, X2, ..., Xn un conjunto de variables aleatoria, independientes e idénticamente distribuidas de una distribución con media μ y varianza σ2≠0. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria tiene aproximadamente una distribución normal con y. Se demuestra que si la distribución de una variable X es normal, la distribución muestral de Xm es normal. Pero si la distribución de X no es normal, la distribución de Xm cada vez se aproxima más a la normal, con media µ y varianza σ2/n.

VALOR CRÍTICO Se representa por Zα/2. Es el valor de la abscisa en una determinada distribución que deja a su derecha un área igual a α/2, siendo 1-α el nivel de confianza. Normalmente los valores críticos están tabulados o pueden calcularse en función de la distribución de la población. Por ejemplo, para una distribución normal, de media 0 y desviación típica 1, el valor crítico para α /2= 0,05 se calcularía del siguiente modo: se busca en la tabla de la distribución ese valor (o el más aproximado), bajo la columna "Área"; se observa que se corresponde con -1,645. Entonces Zα/2 = 1,645. 1-α α /2 Zα/2 0.90 0.05 1.645 0.95 0.025 1.96 0.99 0.005 2.575

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA De una población de media μ y desviación típica σ se pueden tomar muestras de n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( x  ). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:         Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Si estandarizamos, se sigue que:                        En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es el porcentaje deseado. Se desea obtener una expresión tal que

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral (x), con una confianza determinada. Para ello se necesita calcular el punto Xα / 2 o, mejor dicho, su versión estandarizada Zα / 2 o valor crítico junto con su "opuesto en la distribución" X − α / 2. Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Dicho punto es el número tal que

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Así: Haciendo operaciones es posible despejar μ para obtener el intervalo: De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral ± el producto del valor crítico (zα / 2) por el error estándar. Si no se conoce σ y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30): donde s es la desviación típica de una muestra

INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100% es:

ERROR ALEATORIO Error inevitable que se produce por eventos únicos imposibles de controlar durante el proceso de medición En un estudio de investigación, el error aleatorio viene determinado por el hecho de tomar sólo una muestra de una población para realizar inferencias Puede disminuirse aumentando el tamaño de la muestra

ERROR SISTEMÁTICO Error que se produce de igual modo en todas las mediciones que se realizan de una magnitud Puede estar originado en un defecto del instrumento, en una particularidad del operador o del proceso de medición, etc Se contrapone al concepto de error aleatorio

ESTANDARIZACIÓN Como consecuencia de la Propiedad 1; es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la distribución normal estándar. Si X ~ N(μ,σ2), entonces es una variable aleatoria normal estándar: Z ~ N(0,1). La transformación de una distribución X ~ N(μ, σ) en una N(0, 1) se llama normalización, estandarización o tipificación de la variable X. Otras distribuciones normales pueden obtenerse como transformaciones simples de la distribución estándar. De este modo se pueden usar los valores tabulados de la función de distribución normal estándar para encontrar valores de la función de distribución de cualquier otra distribución normal.