A tabu search approach for solving a difficult forest harvesting machine location problem Andrés Diaz Legües, Jacques A. Ferland, Celso C. Ribeiro, Jorge R. Vera, Andrés Weintraub Santiago Basso

Descripción del problema Elección del tipo de maquinaria y su ubicación para la recolección de árboles. Diseño de la red de caminos conectando la antigua red con los las futuras ubicaciones de maquinas. Buscando maximizar la ganancia. Enfoque previo: P.E.

Tipos de maquinas TractoresTorres

Formulación y Modelo Matemático del Problema Partición en parcelas o unidades (10mx10m) del área de trabajo según: M: unidades destinadas a la tala. N: unidades representando intersecciones (existentes o potenciales) de caminos de la red. T k : posible ubicación de la maquina del tipo k S: salidas (S  N) T = U k T k

1 si unidad j  M puede ser recolectada desde P kij = la i  T k usando maquina tipo k 0 c.c O j: Volumen de madera de la unidad j  M G=(N,A) A  NxN grafo representando la red de caminos. (ejes existentes o potenciales) K qr : flujo máximo de transporte de madera por eje (q,r )  A.(ambas direcciones).

Variables de decisión Maquinas: 1 si maquina del tipo k es instalada en i  T k X ki = 0 c.c. Caminos: 1 si eje (q,r)  A es construido Z qr = 0 c.c.

Función objetivo Max   i  T Y i -  i  T  k C 1ki X ik -  i  T  j  M  k C 2kij W kij -  (q,r)  A C 3qr Z qr -  (q,r)  A C 4qr f qr  : ingreso por unidad de volumen recolectada. Yi: Volumen de madera recolectado en i  T. C1ki: Costo (fijo) de instalación de maquina del tipo k en parc. i Xik = 1 si maquina del tipo k es instalada en i  T k, 0 c.c.. C2kij: Costo de recolección (por unidad de volumen) la parcela j desde la ubicación i usando maquina del tipo k. Wkij: volumen recolectado en parcela j desde ubicación i usando maquina tipo k.

Función objetivo Max   i  T Y i -  i  T  k C 1ki X ik -  i  T  j  M  k C 2kij W kij -  (q,r)  A C 3qr Z qr -  (q,r)  A C 4qr f qr C3qr: Costo de construcción del camino/eje (q,r) (si ya existe, es nulo). Zqr = 1 si eje (q,r)  A es construido, 0 c.c.. C4qr: Costo (por unidad) de transporte por eje (q,r). f qr: volumen transportado por eje (q,r).

Restricciones  k X ik  1 i  T W kij  X ki O j j  M, i  Tk, k  K  i  k P kij W kij  O j j  M Y i=  j  k P kij W kij i  T f qr + f rq  K qr Zqr (q,r)  A -Y r r  T  (q,r)  A f qr -  (r,t)  A f rt = 0 r  N-(TUS) g r r  S (gr: flujo por salida r)

Restricciones Xik = 0 o 1 i  T Zik = 0 o 1 (q,r)  A Yi  0 i  T Wkij  0 j  M, i  Tk, k  K fqr  0 (q,r)  A

Tabu Search para el sub-problema de Ubicación de maquinas Solución inicial: Se ordenan de mayor a menor según la ganancia (ingreso-costos) de cada posible ubicación de cada maquina, eligiéndose la mejor sin tener intersección con las ya elegidas. Vecinos: N(x) = { x’: x’= x  m, m  M } M = {1-opt U 2-opt } Tamaño lista tabu (L.T.): p’: [0.8 p]  p ’  p (tamaño variante) Criterio de parada: Cantidad max de iteraciones.

Tabu Search para el sub-problema de Ubicación de maquinas Reducción de vecinos: 2-opt*: maquinas con intersección del área de alcance. Partición de Vecinos en clases de equivalencia.

Evaluación de vecinos Construcción a priori de un árbol generador mínimo uniendo las posibles ubicaciones para las maquinas, obteniendo una red de caminos.

Intensificación de la búsqueda Luego de varias iteraciones, se intensifica la búsqueda reduciendo el numero de clases de equivalencias. C´ = [C/4] + 1

Diversificación de la búsqueda Solo si la intensificación falla. Se relaja la lista tabu, permitiendose elegir aquellos vecinos que han estado prohibidos por mayor cantidad de itereaciones.

Como elegir la solución parcial en cada iteración Usando solo un subcjto B(x)  V(x) B(x): mejores soluciones en la vecindad de x. Grasp: se elige al azar una solución en B(x). Proporcionalmente: a cada solución de B(x) se le da un valor de probabilidad, en relación a su valor en la función objetivo.

Como elegir la solución parcial en cada iteración Usando todas las posibles soluciones. Golosa: si F(x’)>F(x) x  x’ Simulated Annealing: si F(x’)>F(x) x  x si F(x’) r x  x r  (0,1) Temp = 7 * en c.i.

Mejorar solución final Path relinking. Elección de red de caminos definitiva: Construcción a partir del árbol generador un árbol de Steiner.

Resultados y Conclusiones Problema 12 Área (hectáreas) Numero de parcelas Ubicaciones para torres Ubicaciones para tractores Salidas 511 Intersecciones entre caminos Caminos existentes 36102

Resultados y Conclusiones Problema 2,  = 50

Resultados y Conclusiones Problema 2,  = 18,  = 50 Variante Función Objetivo Tiempo (seg.) Función Objetivo Tiempo (seg.) Grasp ,69159, ,49154,38 Grasp + PR ,68190, ,25204,25 Prop ,13157, ,84156,59 Prop + PR ,15190, ,91192,23 Golosa ,30289, ,81270,86 Golosa + PR ,28374, ,37314,14 S.A ,42309, ,61335,44 S.A. + PR ,50361, ,80375,15

Resultados y Conclusiones  = 18

Resultados y Conclusiones  = 50

Fin