Aplicaciones de la Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Área Académica: Ingeniería Mecánica Profesor(a): M. en C. Yira Muñoz Sánchez Periodo: Enero – Junio 2015

Ecuaciones Diferenciales Resumen En este material se presenta el proceso general para solucionar problemas reales de crecimiento y decrecimiento a través del planteamiento del problema de valor inicial con ecuaciones diferenciales de primer orden. Abstract This material presents the general process for resolving growth and decay problems throgh inicial value problem with first order differential equations. Keywords: growth and decay, inicial value problem , rates of first order differential equations.

y Decrecimiento (Decaimiento)

Uno de los primeros intentos de modelar el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista inglés en 1798. La idea del modelo maltusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t) de ese país en cualquier momento t. Es decir, mientras más personas hayan en el momento t, habrá más en el futuro.

En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar: 𝑑𝑃 𝑑𝑡 =kP donde k es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (como la inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de EE.UU.

𝐭=𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 El problema del valor inicial Donde k es una constante de proporcionalidad, y: 𝒙=𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐭=𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 Se utiliza como modelo para diversos fenómenos relacionados con el incremento o decremento. 𝒅𝒙 𝒅𝒕 =𝐤𝐱 𝒙 𝒕 𝟎 = 𝒙 𝒐

La constante de proporcionalidad 𝒌 se determina a partir de la solución del problema de valor inicial, con una medida posterior de 𝑥 en un tiempo 𝑡 𝑛 > 𝑡 0 .

Ejemplos de algunos fenómenos (1): BIOLOGÍA: Tasa de crecimiento en poblaciones (bacterias, animales pequeños, etc.) . La tasa es proporcional a la población en un tiempo t. Si se conoce la población en un tiempo inicial 𝑡 0 se puede conocer la población en un futuro ( 𝑡 𝑛 ) para n>0.

Ejemplos de algunos fenómenos (2): FÍSICA Y QUÍMICA: Para una reacción de primer orden es decir, una reacción cuya rapidez o velocidad dx dt es directamente proporcional a la cantidad x de sustancia que permanece sin convertirse en el tiempo t.

Ejemplo 1: En un principio, un cultivo al inicio tiene 𝐏 𝟎 cantidad de bacterias. En 𝐭=𝟏 𝐡 se determina que el número de bacterias es 𝟑 𝟐 𝐏 𝟎 . Si la rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias 𝑷(𝒕) presentes en el tiempo 𝒕, determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias.

(1) Ejemplo 1 (Solución): Retomando: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝑘𝑥 Donde: 𝑥=𝑃 𝑡 0 =0, 𝑃(𝑡 0 )=𝑃 0 = 𝑃 0 =0 𝑡 =1 ℎ 𝑃(𝑡 1 )=𝑃 1 = 𝑃 1 = 3 2 𝑃 0

ED Lineal de Primer Orden (2) Ejemplo 1 (Solución): Se deduce: 𝑑𝑃 𝑑𝑡 =𝑘𝑃 𝑑𝑃 𝑑𝑡 −𝑘𝑃=0 ED Lineal de Primer Orden

𝜇= 𝑒 − 𝑘 𝑑𝑡 𝑡 = 𝑒 −𝑘 𝑑𝑡 𝑡 = 𝑒 −𝑘𝑡 (3) Ejemplo 1 (Solución): Por lo tanto: 𝜇= 𝑒 − 𝑘 𝑑𝑡 𝑡 = 𝑒 −𝑘 𝑑𝑡 𝑡 = 𝑒 −𝑘𝑡 𝑑 𝑑𝑡 [ 𝑒 −𝑘𝑡 𝑃]=0 𝑒 −𝑘𝑡 𝑃= 0 𝑑𝑡 𝑒 −𝑘𝑡 𝑃=𝑐

(4) Ejemplo 1 (Solución): 𝑃 𝑒 𝑘𝑡 =𝑐 𝑃 𝑒 𝑘𝑡 =𝑐 𝑃= 𝑃(𝑡)=𝑐 𝑒 𝑘𝑡 𝑃 0 = 𝑐 𝑒 0 𝑃 0 = 𝑐

(5) Ejemplo 1 (Solución): 𝑃(𝑡)= 𝑃 0 𝑒 𝑘𝑡 𝑃(1)= 𝑃 0 𝑒 𝑘 3 2 𝑃 0 = 𝑃 0 𝑒 𝑘 𝑒 𝑘 = 3 2 𝑘=𝐼𝑛 3 2 =0.4055

(6) Ejemplo 1 (Solución): Entonces: 𝑃(𝑡)= 𝑃 0 𝑒 0.4055𝑡 Para el tiempo que se ha triplicado en número de bacterias: 3𝑃 0 = 𝑃 0 𝑒 0.4055𝑡

(7) Ejemplo 1 (Solución): Entonces: 0.4055𝑡=𝐼𝑛 3 𝑡= 𝐼𝑛 3 0.4055 ≈2.71 ℎ

Referencias Zill D.G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, Segunda edición. Zill D.G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, Octava edición Blanchard P., Hall G. R., Devaney R. L. , Ecuaciones Diferenciales, Edit. Thomson. Boyce, DiPrima, Ecuaciones Diferenciales con valores en la frontera, Editorial Limusa,, 4ª edición.