Seminario de Posgrado 2011 “Efecto de las mareas terrestres: observación y modelado” Claudia Tocho

La descripción del potencial de mareas Temas claves: La ley de Gravitación (Newton) aplicados Tierra-Luna (aceleración). Potencial gravitatorio de la Luna usando polinomios de Legendre. Constante de mareas de Doodson. Expresión en coordenadas ecuatoriales: Ecuación de Laplace según Torge. Interpretación de los tres términos: las especies de mareas.

b lm rm Fuerzas actuando sobre la Tierra debido a la atracción de la Luna (Sol) y al giro del sistema.

Consideramos un sistema fijo en la Tierra, la atracción gravitacional del astro (Luna o Sol) causante de la marea, sobre una masa unitaria situada en un punto P de la superficie de la Tierra viene dada por: donde: Mm es la masa de Luna y lm la distancia del punto P al centro del astro. El sistema esta girando en torno al centro de gravedad de las dos masas (baricentro), la fuerza centrifuga que debemos considerar en el sistema no-inercial será igual a la fuerza de atracción b0 del astro sobre el centro de la Tierra. .

Como esta fuerza esta actuando en todos los puntos rígidamente conectados con el sistema fijo en la Tierra, esta actuando también sobre el punto P, de modo que la diferencia entre b y b0 será: Esta aceleración resultante es la diferencia entre entre la gravitación del astro y la aceleración inercial de la rotación del sistema, para puntos sobre la superficie del sistema recibe el nombre de aceleración de mareas

La aceleración de mareas bt es la diferencia de la gravitación b del cuerpo celeste (Sol o Luna) generadores de la marea y b0, que actúa de la misma forma en todos los puntos de la Tierra. b0 resulta de la rotación de la Tierra y la Luna alrededor del centro de gravedad común, en el geocentro C, esta compensada por la gravitación (sistema esta en equilibrio). Para una Tierra rígida, bt puede calcularse a partir de las posiciones del Sol y de la Luna y de sus masas. Así como de la posición del punto P. El cálculo de la aceleración de mareas se realiza en forma separada para los dos sistemas individuales Tierra-Sol y Tierra- Luna y los resultados se suman.

Ambas aceleraciones b y b0 pueden expresarse como el gradiente de un potencial. Potencial de mareas. Angulo cenital geocéntrico

Polinomios de Legendre t=cos

Polinomios de Legendre 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Polinomios de Legendre -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 P2 b, P3 g, P4 r, P5 m P2 b, P3 g, P4 r, P5 m -1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 cos()

donde: rm es la distancia del centro de la luna al centro de gravedad de la Tierra y el eje x1 la línea que une los centros de los dos astros. Insertando B y C en A, y sumando una constante de integración, de tal forma que Vt = 0 para r=0 y rm igual a lm, obtenemos el potencial de mareas: (C)

98% de la contribución al potencial de mareas proviene del termino n=2 El potencial Vt puede expandirse en armónicos esféricos y por el estado de equilibrio del sistema, solo aparecen los términos de grados n2 Para n=2 98% de la contribución al potencial de mareas proviene del termino n=2 analizamos este caso.

. n=2 Para un punto en la superficie de la Tierra r=R=6371 km es constante y se llama constante geodésica o de marea de Doodson (A. T, Doodson, 1890). GL para la Luna presenta un valor de 2.6277 m2s-2 y para el Sol GS 1.2085 m2s-2, quiere decir que la influencia del Sol representa sólo un 46% de la influencia de la Luna.

Diferenciando la expresión del potencial de mareas se genera la aceleración de mareas. La componente radial (positiva hacia fuera) es: La componente tangencial (positiva en la dirección hacia la luna) es: La gravedad en la Tierra se ve afectada por la componente radial de la aceleración de mareas que al ser positiva hacia afuera hace disminuir a la gravedad terrestre

Esta relación nos da la separación entre la diferencia de potencial y la separación de las superficies equipotenciales. Altura de marea estática de equilibrio sobre la superficie de la Tierra esférica rígida producida por la Luna

Constituyentes de mareas Para estudiar los diferentes términos o constituyentes que aparecen en el análisis de mareas, es necesario expresar el ángulo m en función de las coordenadas geocéntricas del punto de observación y de la posición del astro en un sistema de coordenadas ecuatoriales (m y hm) . El ángulo m se puede expresar en función de , m y hm resolviendo un triangulo esférico con vértice en el Polo Celeste, la Luna y el punto P. Latitud geocéntrica del punto Declinación Angulo horario de la Luna Ascensión recta

hm-180 Posición de la Luna respecto a un punto P de la Tierra, ambos proyectados sobre la esfera celeste (Udías y Mezcua, 1997)

La cantidades rm, m y hm varían con el tiempo, teniendo distintos periodos. El primer termino corresponde a las mareas de periodo largo, ya que no depende de la rotación de la Tierra. Varia con la declinación m con un periodo de 14 días para la Luna y medio año para el Sol. También incluye una parte no-periódica, que depende solo de la latitud , causando una deformación permanente de las superficies de nivel incluyendo el geoide. Alcanza valores de -19 cm en los polos y +10 cm en el ecuador. Zonal El segundo termino es el componente diurno debido a la rotación diaria de la Tierra expresada a través del ángulo horario hm. Teseral El tercer termino es el componente semi-diurno. Sectorial

Como m es pequeño (su valor máximo es aproximadamente 23°) sin 2m es mas pequeño que cos2m, por lo tanto el termino mas importante de las mareas es el semidiurno. Las mareas diurnas tienen un máximo en = ±45° y se anulan en el Ecuador y en los polos. Las mareas semidiurnas alcanzan su máximo en el Ecuador cuando m y se anulan en los polos. Las mareas de largo periodo tienen un máximo en los polos. Las mareas de largo periodo y semidiurnas son simétricas respecto al ecuador, las diurnas son asimétricas. Esta ecuación sirve también para las mareas producidas por el Sol, sustituyendo el subíndice m por s, hs es el tiempo solar, cuya periodicidad es de un día solar medio. Cada una de los tres constituyentes de mareas varían de forma complicada ya que contienen productos de funciones que varían en el tiempo de forma diferente.

Zonal: depende solo de la latitud, con ceros en los paralelos 35 16´ Como depende del seno cuadrado de la declinación del astro perturbador , su periodo es 14 días para la luna y 6 meses para el sol.

Componente semidiurno Zonal Teseral Componente diurno Sectorial Componente semidiurno Los 3 tipos de mareas (Andreas Richter, 2011)