Elasticidad modelamiento y tratamiento numérico Ahmed Ould Universidad de los Andes

Condiciones de Frontera PROBLEMA MECÁNICO Tensor de Deformación Tensor de Esfuerzos Ley de Comportamiento Condiciones de Frontera

Notaciones El índice repetido Índice repetido=producto

1. Tensor de Deformación

ejemplos

Propiedades

2. Tensor de Esfuerzos

Propiedades del tensor de esfuerzos

Ecuación de Equilibrio La suma de las fuerzas es nula sobre cualquier subdominio de un sólido dado.

Y con el teorema de la divergencia Ecuación de equilibrio

Ensayos reologicos

ELASTICIDAD

En dimensión 3 : como si fueran muchos resortes en todas la direcciones En el caso homogéneo isotropico

Ejemplos de modulo de Young y coeficiente de Poisson aluminio hiero acero

Sentido de E y n

Principio de trabajos virtuales Dado un tensor de esfuerzos. Para cualquier campo de desplazamiento admisible el trabajo de los esfuerzos internos Es igual a el de los externos.

FORMULA DE GREEN

Problemas elípticos Formulación variacional

Aplicación a la elasticidad

4. Condiciones de Frontera

Finalmente un problema mecánico En general y de E.L. en particular se compone de: Ecuaciones de equilibrio Ley de comportamiento Condiciones de frontera

Simplificación en dimensión 2 A veces la forma geométrica y la textura del los sólidos o de las fuerzas externas permiten de reducir la dimensión del problema de 3 a 1 ó 2. El caso mas usado es en dimensión 2 para cuerpos de grosor constante h, cando las fuerzas externas satisface lo siguiente La tercera componente de las fuerzas de volumen es 0 las fuerzas superficiales externas en las partes laterales constantes en la dirección del grosor No hay fuerzas en las bases.

Esfuerzos planos

Deformaciones planas

EL modelo numérico Pasar a dimensiones finitas Discretizacion y Elementos finitos Casos particulares

Bilinealidad Sistema lineal

Cual es el problema en la formulación ? Elegir las funciones de base de manera que la matriz de este sistema sea fácil a calcular y que el sistema sea fácil a resolver Ejemplo en dimensión 1

En dimensión 2:Buscar u tal que Ejemplo sencillo: la ecuación de laplace En dimensión 2:Buscar u tal que

Las consideraciones a tomar en la elección de las funciones Un máximo de coeficientes de la matrice es cero Los que no lo son, deben ser fáciles a calcular solución La discretizasión

Ejemplos: