TEORÍA DE LA PROPORCIÓN. 3ª Jornada TEORÍA DE LA PROPORCIÓN. FORMA ESPACIO Y MEDIDA Elaborado por: Mtra. Sandra Verónica Roldán Meneses. Prof. Fortino Del Carmen Cervantes Enero 2011

Temario Teoría de la proporción Pitagórica Propiedades de las razones Problemas utilizando relaciones proporcionales Significado de la proporción como herramienta algebraica Estudio de los polígonos Los polígonos regulares y las propiedades del círculo Ubicación en el espacio

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CONCEPTO DE RAZON Una razón es una forma de comparar dos cantidades expresadas en la misma unidad de medida. Ejemplo 1: La razón entre 4 y 5 se puede escribir . Ejemplo 2: La razón entre 2m y 80 cm es: Las unidades deben ser iguales, es necesario transformar los metros a centímetros. Simplificando la razón queda:

CONCEPTO DE PROPORCION Una proporción es una igualdad entre 2 razones. Si se tiene que las razones a/b y c/d son equivalentes, entonces: Ejemplo 1:Verificar si la siguiente igualdad de razones que se propone es una proporción o no.

Actividad1. Proporciones Determina si las siguientes razones son proporcionales

Proporcionalidad directa Se aplicó un examen con 12 reactivos. La calificación obtenida es la siguiente: Aciertos 12 9 6 3 2 Calificación 10 7.5 5 2.5 1.66 Tabla 1: Aumento de temperatura del agua La tabla muestra el desplazamiento de una persona en metros en diferentes tiempos. Los resultados aparecen en las siguiente tabla. Distancia ( m ) 1 2 3 … 36 Tiempo ( segundo) Tabla 2: Desplazamiento

Problema proporcionalidad directa Ejemplo Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de papas  pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer? Numero de sacos 1 2 3 … 26 Peso ( Kilogramos) 20 40 60 520 Como es proporcional entonces queda ad = bc

Problema proporcionalidad inversa Ejemplo 1 Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? Hombres 3 6 9 … 18 Días 24 12 8 x Como la relación entre los datos de hombres y los días de trabajo son inversamente proporcional entonces

Problema proporcionalidad inversa Ejemplo 2 Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas? No. De Vacas 220 … 450 No. De días 45 x Como la relación entre los datos de hombres y los días de trabajo son inversamente proporcional entonces

Actividad2. Resuelve los problemas 1. Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles? R1= 50 litros R 2= 15 días R 3= 36 Km No. De toneles 8 … 32 No. De litros 200 x 2. En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano? 3. Un vehículo que circula a velocidad constante recorre 90 km. en 5 horas. Si se sabe que ha empleado 2 horas en llegar de la ciudad A a la ciudad B ¿Qué distancia separa las ciudades?

Teoría de la proporción pitagórica Consiste en pensar que podemos encontrar un segmento de alguna longitud quizá muy pequeña, que cupiese un número entero de veces en dos segmentos de longitud arbitraria. N = No. De divisiones M = No. De divisiones A V U N C B M D E

Actividad3. Aplicando la teoría de la proporción Calcular el valor de x, en cada caso: x 12 27 9 b) 9 x 54 45 c) 6 28 x 35 a)

Actividad4. Aplicando la teoría de la proporción Calcular el valor de x, que representa la altura de un pino. x 2,8 m 4 m 10 m

Ejemplo en Sketchpad de la proporcionalidad Pitagórica

Ejemplo en Sketchpad de la proporción inversa

CÍRCULO Perímetro= π x diámetro Área= π x radio2 La palabra círculo tiene varias acepciones, la primera: una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferencia a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud. Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie) Obtenido de: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo#Usos_del_t.C3.A9rmino_c.C3.ADrculo el 24/01/2011 Perímetro= π x diámetro Área= π x radio2

Elementos del círculo Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta. Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral. Diámetro: son dos radios que hacen un ángulo de 180º, los radio se unen en el medio de la Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco. Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo. Obtenido de: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo#Elementos_del_c.C3.ADrculo el 24/01/2011 El círculo tiene 360 °

Actividad5. Pi π Toma varios objetos circulares. Mide la circunferencia y el diámetro y registra los datos en la tabla. Muestra Circunferencia (Perímetro) Diámetro Razón de la circunferencia y el diámetro 1 2 3 a) ¿Qué valor se obtiene de dividir la circunferencia entre el diámetro? ________

Polígonos regulares Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por lados rectos. Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida. Un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo. Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Polígono el 24/01/2010

Crear un polígono regular Un polígono regular se puede crear a partir de un círculo, basta con dividir los 360 en el número de lados que se desea (triángulo en 3, cuadrado en 4, pentágono en 5, etcétera) y unir cada uno de las cuerdas que se obtienen.

Partes de un polígono Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices. Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono. Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno. Área de los polígonos regulares: Multiplicar el perímetro, P, por el apotema, a, y dividido por dos.

Actividad6. Creación de un polígono (Con juego geométrico) Genera un círculo con un radio de 5 cm. Dentro del círculo crea un hexágono. Calcula el perímetro y área del círculo. Calcula el perímetro y área del hexágono. Calcula el área sombreada de la figura.

Ubicación en el espacio El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

Actividad7. Figura en el plano cartesiano Resuelve las siguientes operaciones aritméticas que corresponden a los valores de las coordenadas y posteriormente indícalas en el plano cartesiano y une los puntos; de preferencia apóyate en una hoja milimétrica. ¿Qué figura obtuviste?

Respuesta a la actividad 7 x y A -4 4 B 1.5 C -1 D 2 E F G -6 H I

Actividad8: Elaboración de un plan de clase por parte de los profesores. En equipo de 5 personas. El plan de clase debe ser entregado digitalmente. Se expondrá el último sábado. Se compartirán con el resto del grupo; favor de traer memoria USB o enviarlo por correo al profesor.