Sistemas de Ecuaciones Lineales Curso: 3º E.S.O. Duración estimada: 6 hrs. ComenzarSalir

Sistemas de Ecuaciones Lineales Introducción Contenidos Temporización Desarrollo de la Unidad. Evaluación Requisitos de Funcionamiento Volver

Introducción Justificación de la Unidad Objetivos Volver

Justificación A lo largo de esta unidad didáctica, se pretende que el alumno, que ya sabe resolver ecuaciones de primer grado, pueda mejorar su comprensión del significado de las operaciones algebraicas que realiza para resolverlas y relacione los aspectos algebraicos con los geométricos, de forma que facilite el aprendizaje de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se persigue de la misma forma que se familiarice con la terminología utilizada en este campo y la emplee adecuadamente: ecuación, solución, etc. Volver

Objetivos Identificación y obtención de las gráficas de las ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución algebraica y gráfica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Análisis e identificación de las posibilidades que pueden presentarse al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Determinación de la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales. Interpretación geométrica. Traducción al lenguaje algebraico de problemas diversos. Siguiente

Objetivos (II) Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones analizando la validez de las soluciones en el contexto del problema. Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver un problema en diferentes ámbitos de la sociedad, reconociendo su precisión y simplicidad. Volver

Contenidos Ecuaciones lineales. Definiciones. Sistemas equivalentes. Compatibilidad de sistemas. Método gráfico. Métodos de resolución algebraica: –Igualación. –Sustitución. –Reducción. Modelización de problemas. Volver

Temporización Curso donde se imparte: 3º E.S.O. Duración estimada: 6 horas. (incluido examen) Programación: –1 er día: Introducción histórica. Actividad con Cabri Géomètre II Plus. –2º y 3 er día: Exposición teórica. Resolución de problemas. –4º día: Modelización de problemas. –5º día: Repaso de la unidad. Actividad en la red. –6º día: Examen. Volver

Desarrollo de la Unidad Volver Introducción Histórica Exposición Teórica. Resolución de Problemas Evaluación

Introducción Histórica Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30. Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería: y + 4x = 28 y + x = 10 Volver

EXPOSICIÓN TEÓRICA Siguiente

Índice Test de conocimientos previos Definiciones básicas Clasificación de los sistemas: Compatibilidad Métodos algebraicos de Resolución Planteamiento de Problemas Diversos Relación de Problemas de la Unidad Volver

Este tema trata de estudiar las relaciones en las que aparecen dos incógnitas, por ejemplo: – El producto de dos números es 24: x · y = 24 – La suma de las edades de dos hermanos es 43: x + y = 43 Observa que una ecuación con dos incógnitas tiene muchas soluciones. Trata de dar valores a x e y para que cumplan una relación, por ej. : x + y = 13 Ecuaciones con dos incógnitas: Siguiente

Sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por las ecuaciones: ax + by = c a’x + b’y = c’ donde los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son números reales. Se dice que un par de números x 1, y 1 son una solución del sistema si al sustituir x por x 1 e y por y 1 se satisfacen a la vez las dos ecuaciones del sistema. Así pues, resolver un sistema de ecuaciones consiste en hallar (si existen) todas las soluciones. Siguiente

Sistemas equivalentes Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. La siguientes reglas nos permiten pasar a otros sistemas equivalentes: Suma o diferencia de números o expresiones algebraicas 2x + y = 5 2x + y - 3 = x + y = 3 x + y + 2 = Producto o cociente por un número real no nulo 2x + y = 5 2 · (2x + y) = 2 · 5 x + y = 3 x + y = 3 Suma o diferencia de ecuaciones 2x + y = 5 (2x + y) – (x+y) = x + y = 3 x + y = 3 Volver

Clasificación de sistemas lineales: Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar como:  Sistemas compatibles : tienen solución.  S.C. Determinados : solución única.  S.C. Indeterminados : infinitas soluciones (ecuaciones equivalentes).  Sistemas incompatibles : carecen de solución. Siguiente

Clasificación de sistemas lineales (II): Siguiente Un método rápido de comprobar si un sistema es compatible o no es el siguiente: Si -a/b = -a’/b’ y c/b ≠ c’/b’ Sist. Incompatible. Si -a/b = -a’/b’ y c/b = c’/b’ S.C. Indeterminado Si -a/b ≠ -a’/b’ S.C. Determinado Observa que los coeficientes a/b, c/b son los resultantes de despejar la “y” en cada una de las ecuaciones lineales del sistema, es decir: ax+by=c ↔ y=-a/b x + c/b

Ejemplos de los tipos de sistemas: Sistema Incompatible 3x + y = 4 6x + 2y = 4 Volver -a/b= 3=2/6=-a’/b’ c/b=4 ≠ 2 =c’/b’ S. C. Determinado 2x + y = 5 x + y = 3 -a/b= -2 ≠ -1=-a’/b’ c/b=4 = 8/2 =c’/b’ S. C. Indeterminado 3x + y = 4 6x + 2y = 8 -a/b= -3=-6/3 =-a’/b’ Para ampliar Descartes

Finalmente hallamos el valor de la variable "y" y= 17 3 Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.5(-6) + 6y = 4 Resolvemos la ecuación como si se tratase simplemente de una ecuación de primer grado. Hallaremos el valor numérico de la variable "x" 6(5 -2x) = 3(4 -5x) x = x 15x -12x = x = -18 x = -18 = -6 3 Procedemos a igualar ambas ecuaciones. Ahora atención: los términos que están dividiendo pasaran a multiplicar 5 -2x = 4 -5x 3 6 Ahora hemos resuelto para "y" la segunda ecuación. El resultado o valor obtenido, lo emplearemos más adelante. 5x + 6y = 4 6y = 4 -5x y = 4 -5x 6 Hemos resuelto para "y" la primera ecuación. El resultado o valor obtenido, lo emplearemos más adelante. 2x + 3y = 5 3y = 5 -2x y = 5 -2x 3 Voy a trabajar por separado la primera ecuación y la segunda ecuación. En ambas buscare el valor de "y" 2x + 3y = 5 5x + 6y = 4 Método de Igualación Siguiente

Finalmente hallamos el valor de la variable "y" y= 17 3 Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.5(-6) + 6y = 4 Resolvemos el producto, llevamos los términos que tienen variable "x" a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad. Reducimos términos semejantes. Al realizar todo este trabajo obtendremos el valor de la variable "x" 5x x = 4 5x - 4x = x = -6 x = -6 Reemplazamos el valor obtenido para "y" en la segunda ecuación (recordemos que estará multiplicando al coeficiente) 5x + 6(5 -2x) = 4 3 Hallamos el valor de la variable "y" y = 5 -2x 3 Como he escogido la variable "y", entonces dejo los términos con "y" a un lado y llevo los demás al otro lado. 2x + 3y = 5 3y = 5 -2x En mi ecuación escojo una variable para despejar.2x + 3y = 5 De mi sistema de dos ecuaciones con dos variables escojo una de ellas, como por ejemplo, la primera de ellas. 2x + 3y = 5 5x + 6y = 4 Método de Sustitución Siguiente

Finalmente hallamos el valor de la variable "y" y= 17 3 Nótese que el valor de "x" (que en este caso era -6) lo hemos multiplicado por el coeficiente de esta misma letra. El trabajo que viene a continuación es similar al de cualquier ecuación de primer grado y = 5 3y = y = 17 Seleccionamos una de las ecuaciones y en ella reemplazamos el valor de la variable "x" 2x + 3y = 5 2(-6) + 3y = 5 Hemos encontrado el valor de la variable "x"1x = -6 ó x = -6 Sumamos (o restamos según sea el caso) la primera ecuación con la segunda ecuación. -4x - 6y = -10 5x + 6y = 4 1x = -6 Para hacer que la variable "y" tenga coeficientes opuestos, multiplicamos a todos los términos de la primera ecuación por -2 -4x - 6y = -10 5x + 6y = 4 Nos damos cuenta, que para la variable "y", tanto en la primera como en la segunda ecuación, el coeficiente es múltiplo de 3. 2x + 3y = 5 5x + 6y = 4 Este es el sistema de dos ecuaciones con dos variables que queremos resolver. 2x + 3y = 5 5x + 6y = 4 Método de Reducción Volver

Planteamiento de un Sistema. Un problema de Balanza En cada una de ellas hay tigres y conejos. También hay pesas, cuyos números expresan kilogramos. ¿Sabrías averiguar cuanto pesan cada tigre y cada conejo, manipulando con las balanzas, sin utilizar otras pesas que las que se dan? Los tigres pesan todos lo mismo y los conejos también tienen todos el mismo peso. Solución

Solución (Haz clic para avanzar en la solución) Consideremos las siguientes incógnitas: x:= Peso del Tigre y:= Peso de un conejo Planteemos el sistema: Primera Balanza Segunda Balanza Volver

Requisitos de Funcionamiento Para impartir esta unidad se necesita: –Aula TIC –Navegador –Openoffice.org2 Impress Volver

EJERCICIO 1 Escribe en lenguaje algebráico las siguientes frases: El perímetro del rectángulo de la figura es 26. El producto de dos números es 24. La suma de las edades de tres hermanos es 43 Siguiente

EJERCICIO 2 ¿Cuántas soluciones tiene la siguiente ecuación de primer grado? 1.Ninguna 2.Una 3.Infinitas Siguiente

EJERCICIO 3 ¿Te atreves?... Lewis Carroll, autor del libro de “Alicia en el país de las maravillas”(1862), además de escritor fue muchas más cosas: profesor de matemáticas, fotógrafo, inventor de rompecabezas, prestidigitador, encantador de serpientes, constructor de teatros de marionetas e inventor de artilugios inútiles. He aquí uno de sus problemas matemáticos: El consumo en una cafetería de un vaso de limonada, tres bocadillos y siete bizcochos ha costado un chelín y dos peniques. Mientras que un vaso de limonada, cuatro bocadillos y diez bizcochos cuestan un chelin y cinco peniques. Hay que hallar el precio de: a) Un vaso de limonada, un bocadillo y un bizcocho. b) Dos vasos de limonada, tres bocadillos y cinco bizcochos Volver

PARA AMPLIAR Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, utilizando la página web de descartes, determinar de que tipo de sistema se trata, indicando en cada uno de ellos si tiene solución o no y cuantas y cuáles: Volver Descartes