Paradoja de los gemelos Víctor Manuel López Mayorga Cod: 256471719 Universidad Nacional de Colombia

Problema Dos gemelos A y B se encuentran en la tierra. Uno de ellos (gemelo A) decide hacer un viaje por el espacio ida y vuelta a un planeta Q ubicado a 4 años luz de distancia en un cohete que alcanza una velocidad de 0.8 C.

Paradoja Por la ley de la relatividad sabemos que el tiempo que transcurre en un objeto en movimiento se dilata a medida dependiendo de la velocidad que este posea con respecto al sistema de referencia, por lo que podemos decir que el gemelo A será mas joven cuando llegue a la tierra si se mira el sistema con respecto a la tierra, en cambio si se mira el sistema con respecto al cohete, el gemelo B será el que permanezca mas joven después del viaje. ¿Cuál de los dos gemelos será mas joven? ¿permanecerán con la misma edad?

Solución de la paradoja Viendo el sistema desde el punto de la mecánica clásica se encuentra que el tiempo que tarda el gemelo A en ir y volver a la Tierra es de 10 años (ignorando las aceleraciones y desaceleraciones al momento del despegue y aterrizaje) . 𝑡= 𝑥 𝑣 = 8 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑙𝑢𝑧∗1 𝑎ñ𝑜∗𝐶 0.8 𝐶 =10 𝑎ñ𝑜𝑠

El factor de Lorentz para la velocidad del cohete es de 1/0.6. 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑟𝑒𝑛𝑡𝑧=𝛾= 1 1− ( 𝑣 𝑐 ) 2 = 1 1− ( 0.8𝑐 𝑐 ) 2 = 1 0.6 Si ubicamos el sistema de referencia en la Tierra obtenemos que el gemelo A observara que su viaje transcurrió en 6 años. 𝐷𝑖𝑙𝑎𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜= 𝑡 0 𝛾 =10 𝑎ñ𝑜𝑠∗0.6=6 𝑎ñ𝑜𝑠

Al ubicar el sistema de referencia en una partícula que se mueve a la misma dirección y velocidad del cohete la perspectiva cambia. Ahora la Tierra se aleja del cohete con una velocidad de 0.8 C mientras que el planeta Q se acerca con una velocidad igual. 𝑣 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑄 = 0.8 𝑐 𝑣 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 0.8 𝑐 Sistema de referencia inercial Tierra Planeta Q

Si se dibuja una línea que conecta a la Tierra con el planeta Q se observa que esta se contrae a medida que los planetas se mueven , es decir que la distancia entre planetas será ahora de 2.4 años luz y el cohete demorara 3 años en llegar al planeta Q mientas que en la tierra habrán pasado tan solo 1.8 años. 𝑙 0 =4 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑙𝑢𝑧 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑:l= 𝑙 0 𝛾 =4∗0.6=2.4 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑙𝑢𝑧 𝑡 0 𝛾 =3 𝑎ñ𝑜𝑠∗0.6=1.8 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑡= 2.4 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑙𝑢𝑧∗1𝑎ñ𝑜∗𝑐 0.8 𝑐 =3 𝑎ñ𝑜𝑠

Mientas que el cohete regresa cuando llega al planeta Q, la partícula sigue la trayectoria y la velocidad que poseía por lo que ahora la velocidad del cohete con respecto a la partícula es de 0.975609756 C. 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑉= 𝑣 1 + 𝑣 2 1+ 𝑣 1 ∗ 𝑣 2 𝑐 2 = 0.8𝑐+0.8𝑐 1+ (0.8𝑐) 2 𝑐 2 =0.975609756 c

El factor de Lorentz para la velocidad del cohete es de 1/0 El factor de Lorentz para la velocidad del cohete es de 1/0.219512195 por lo que los 3 años que observa el gemelo A que tarda en volver a la Tierra son para la partícula 13.6666 años y el tiempo que sentirá el gemelo B en regresar el cohete es de 8.2 años. 𝛾= 1 1− ( 0.9756𝑐 𝑐 ) 2 = 1 0.219512195 𝑡 0 =𝑡 𝛾= 3 𝑎ñ𝑜𝑠 0.219512195 =13.6666 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑡 0 =𝑡 𝛾= 1.8 𝑎ñ𝑜𝑠 0.219512195 =8.2 𝑎ñ𝑜𝑠

Sumado los tiempos de ida y de regreso que sintieron los dos gemelos obtenemos los mismos resultados que en el sistema de referencia en la tierra. 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎:𝐵=10 𝑎ñ𝑜𝑠, 𝐴=6 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑜ℎ𝑒𝑡𝑒:𝐵=1.8 𝑎ñ𝑜𝑠+8.2, 𝐴=6 𝑎ñ𝑜𝑠 Con esto llegamos a la conclusión que el gemelo A será 4 años mas joven cuando regrese a la tierra.

Bibliografía Imágenes: http://blogingenieria.com/general/launcherone-cohete-virgin- galactic/ http://marcianosmx.com/misterios-del-universo/ Fuentes: Paul Allen Tipler, Gene Mosca. Física para la ciencia y la tecnología, Volumen 2. Ángel Torregrosa Lillo. Relatividad y Universo: Relatividad y cosmología básicas. Giancoli, C. Douglas. Fisica, principios con aplicaciones. Sexta edición.