ESTADISTICA I CSH M. en C. Gal Vargas Neri

ESTADISTICA I CSH, Tema III TEMARIO

Introduccion a Probabilidad y Técnicas de Conteo Tema III Introduccion a Probabilidad y Técnicas de Conteo

Temas del Capítulo Técnicas de Conteo Principio aditivo y multiplicativo, Combinaciones y Permutaciones Conceptos Básicos de Probabilidad Espacios Muestrales y Eventos, Probabilidad Simple, y Probabilidad Conjunta Probabilidad Condicional Teorema de Bayes

TEOREMA FUNDAMENTAL DE CONTEO TEOREMA FUNDAMENTAL DE CONTEO. Si una operación puede realizarse en n1 formas, y si por cada una de éstas una segunda operación puede llevarse a cabo en n2 formas, entonces las dos operaciones pueden realizarse juntas en n1n2 formas. Ejemplo: Supóngase que una tienda de ropa ofrece camisas que se pueden seleccionar en cualesquiera de diez colores diferentes, los cuales están disponibles en cualesquiera de tres tallas, con dos tipos de estampado. Por tanto, esta tienda puede ofrecer una gamma (10)(3)(2) = 60 camisas diferentes para que un cliente puede escoger entre ellas.

TEOREMA ADITIVO. Supóngase que una operación se puede realizar en n1 formas. Suponga una segunda operación que se puede llevar a cabo de n2 formas, y además que ambas operaciones no se pueden realizar juntas. Entonces el número de formas en las que se puede realizar la primera operación o la segunda es n1+n2 Ejemplo: Suponga que se planea un viaje y se debe decidir entre el transporte por autobús o tren. Si hay tres rutas para el autobús y dos para el tren entonces hay 3+2=5 rutas disponibles para el viaje.

DEFINICIÓN. Una permutación es un arreglo en un orden particular, de todos o parte de un conjunto de objetos. TEOREMA. a) El número de permutaciones de n objetos distintos es n! b) El número de permutaciones de n objetos distintos, tomando r a la vez, es Ejemplo: Se seleccionan tres personas de un conjunto de cinco para que ocupen los cargos de presidente, secretario y tesorero para la administración de un edificio de condóminos. ¿De cuántas formas es posible hacer esta selección? Solución: Aplicando el inciso b) del teorema anterior se obtiene el número total de formas de realizar la selección de las tres personas es P53 = (5)(4)(3) = 60.

DEFINICIÓN. Dado un conjunto de n objetos distintos, cualquier subconjunto no ordenado de tamaño k de esos objetos se llama combinación. El número de combinaciones de tamaño k objetos que se pueden formar con n objetos distintos se denotará por , a este símbolo se le conoce como coeficiente binomial. TEOREMA. El número de formas de seleccionar k elementos de un conjunto de n objetos distintos, sin importar el orden, es:

Ejemplo: En una universidad se desean formar comités de tres personas para que representen a la Facultad de Ingeniería Química en un congreso. Encuentre el número de comités de tres personas que pueden formarse con 4 químicos y 3 físicos, de tal manera que contenga 2 químicos y 1 físico. Solución: Se tiene un total de 7 personas, clasificadas en dos grupos: químicos y físicos. Se pretende seleccionar dos químicos de cuatro, por lo que se aplica una combinación, lo mismo para seleccionar un físico de tres. Finalmente, se aplica el principio de multiplicación para obtener:

Probabilidad Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la probabilidad o viabilidad relativa de que ocurra un evento. 1 Seguro La probabilidad de 1 representa algo que seguramente va a ocurrir. La probabilidad de 0 representa algo que no puede ocurrir. .5 Imposible

Existen tres definiciones de la Probabilidad: Subjetiva Con base en la información disponible. Clásica Con base en los resultados igualmente posibles Empírica Con base en las frecuencias relativas

Experimento Es el proceso que lleva a la ocurrencia de una y sólo una de varias observaciones posibles. Tiene dos o más resultados posibles.

Espacios Muestrales Colección de todos los Posibles Resultados Por ejemplo, las 6 caras de un dado: Por ejemplo, las 52 cartas de una baraja:

Eventos Evento Simple : Resultado de un Espacio Muestral con 1 Características por ejemplo, una Carta Roja de una baraja. Evento Conjunto: Involucra 2 Resultados Simultáneamente por ejemplo, un As, el cual es también una Carta Roja.

Visualizando Eventos Negro 2 24 26 Total 4 48 52 Tablas de Contingencia Diagrama de Arbol As No As Total Rojo 2 24 26 Negro 2 24 26 Total 4 48 52

Eventos Simples El Evento de una Cara Feliz Hay 5 caras felices en esta colección de 18 objetos

Eventos Conjuntos El Evento de una cara feliz y ligeramente coloreada 3 Caras Felices las cuales están coloreadas ligeramente

Eventos Especiales  Evento nulo: Trébol & diamante en 1 carta Complemento de un evento Para un evento A, Todos los eventos que no están en A: Evento Nulo 

Dependencia o Eventos Independientes El Evento de una Cara Feliz DADO que está ligeramente Coloreado. E = Cara FelizColor Ligero 3 Artículos: 3 Caras Felices Dado que están Ligeramente Coloreadas

Tabla de Contingencia Una Baraja de 52 Cartas As Rojo Total As Rojo 2 No As Total As Rojo 2 24 26 Negro 2 24 26 Total 4 48 52 Espacio Muestral

Diagrama de Árbol Eventos Posibles As Cartas Rojas No As Baraja Completa de Cartas As CartasNegras No As

Calculando Probabilidades La Probabilidad de un Evento, E: Cada Resultado en el Espacio Muestral tiene igual posibilidad de ocurrir. Número de Resultados del Evento P(E) = Total de Posibles Resultados en el Esp. Muestral X = T Por ejemplo, P( ) = 2/36 (Hay 2 formas de obtener un 6 y un 4)

Cálculo de Probabilidad Conjunta La Probabilidad de un Evento Conjunto, A y B: P(A y B) = Número de Resultados que Cumplen A y B = Total de Resultados en el Espacio Muestral Por ejemplo, P(Carta Roja y As) =2/52= 1/26

Probabilidad Conjunta Usando Tablas de Contingencia Evento Evento B1 B2 Total A1 P(A1 y B1) P(A1 y B2) P(A1) A2 P(A2 y B1) P(A2 y B2) P(A2) Total P(B1) P(B2) 1 Probabilidad Marginal (Simple) Probabilidad Conjunta

Calculando Probabilidad Compuesta La Probabilidad de un Evento Compuesto, A o B: Por ejemplo, P(Carta Roja o As)

Probabilidad Compuesta Regla de Adición P(A1 o B1 ) = P(A1) +P(B1) - P(A1 y B1) Evento Evento B1 B2 Total A1 P(A1 y B1) P(A1 y B2) P(A1) A2 P(A2 y B1) P(A2 y B2) P(A2) Total P(B1) P(B2) 1 Para Eventos Mutuamente Exclusivos: P(A o B) = P(A) + P(B)

Cálculo de Probabilidad Condicional La Probabilidad del Evento A dado que el Evento B ha ocurrido: P(A B) = Por ejemplo, P(Carta Roja dado que es un As) =

Probabilidad Condicional Usando Tablas de Contingencia Evento Condicional : Elegir 1 Carta. Anotar Tipo & Color Color Tipo Rojo Negro Total Revisando El Espacio Muestral As 2 2 4 No-As 24 24 48 Total 26 26 52

Probabilidad Condicional e Independencia Estadística P(AB) = Regla de Multiplicación: P(A y B) = P(A B) • P(B) = P(B A) • P(A)

Probabilidad Condicional e Independencia Estadística (continuación) Eventos Independientes: P(A  B) = P(A) O, P(B  A) = P(B) O, P(A y B) = P(A) • P(B) Eventos A y B son Independendientes cuando la probabilidad de un evento, A, no es afectado por otro evento, B.

Teorema de Bayes Sumando todas las partes de A y B P(Bi A) = Mismo Evento

Teorema de Bayes : Tabla de Contingencia ¿Cuáles son las posibilidades de saldar una deuda, dado que se tiene cierto nivel educativo? Estatus Educación Saldar No Saldar Prob. N.Educ. .2 .05 .25 ? ? ? Sin N. Educ. ? ? Prob. 1 P(N.Educ. y saldo) P(saldar N.Educ.) =  P(N.Educ. y saldo) + P(N.Educ. y no saldar) .20 = = .80 .25