8. Distribuciones continuas

Transformaciones de variables aleatorias Densidad Distribución Transformación o cambio de variable aleatoria ¿Cuál será la función de densidad de probabilidad transformada g(y)?

Probemos ahora con una transformación que no sea biyectiva, como:

Distribución log-normal Log-N(,) Se trata de la densidad de probabilidad de una variable log x distribuida según una función normal:

Distribución exponencial Exp () La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Que recordemos era: Describe procesos en los que nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre un determinado evento, sabiendo que el tiempo que puede transcurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente. 31

Distribución exponencial Exp () Ejemplos de este tipo de distribuciones son: el tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse (datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14) o el tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente. 31

Distribución exponencial Exp () En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos "sucesos raros" consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante (o una coz de burro, recuerda...) 31

Distribución exponencial Exp () 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 1 2 3 4 5 6 7 8     Vida media 31

Distribución exponencial Exp () 31

Relación entre la distribución de Poisson y la exponencial Entre las distribuciones de Poisson y Exponencial existen importantes relaciones. Distribución de Poisson: Sea Y una P( ) que representa el número de llegadas en un intervalo de tiempo fijo. Recuerda que  es la esperanza de esta distribución. Distribución exponencial: En este mismo problema consideramos ahora el tiempo que transcurre entre dos llegadas. Sea X la v.a que representa dicho tiempo. Se puede demostrar que entonces X se distrubuye como una Exponencial().

Propiedad de ‘falta de memoria’ de la distribución exponencial Se dice que la distribución exponencial no tiene memoria. Esto es para todo s, t  0. Interpretación: Supongamos que queremos determinar la probabilidad de que llegue un cliente en la próxima media hora. Esta propiedad nos dice que nos da igual conocer cuando llegó el último cliente o calcular directamente cuál es la prob. De que llegue en los prox. 30 min SIN tener en cuenta el pasado.

Sea X: tiempo que el producto está de moda. Nos piden: El tiempo en que un producto está de moda en su mercado se distribuye como una exponencial de parámetro 8 meses. Si sabemos que ya lleva 5 de moda, ¿cuál es la probabilidad de que dure 10 más? Sea X: tiempo que el producto está de moda. Nos piden: Por la propiedad de ausencia de memoria de las distribuciones exponenciales sabemos que Por tanto

Tippex de Powerpoint

Fiabilidad En instalaciones o aparatos con posibilidad de accidentes graves: centrales nucleares, aviones, coches,... es imprescindible conocer la probabilidad de que éstos acontezcan durante la vida del sistema.

Fiabilidad R(t) = P(T > t) Definimos la variable aleatoria: T = tiempo durante el que el elemento funciona satisfactoriamente antes de que se produzca un fallo. La probabilidad de que el elemento proporcione unos resultados satisfactorios en el momento t se puede definir como la fiabilidad o confiabilidad: R(t) = P(T > t)

La infiabilidad Q(t) es la probabilidad de que ocurra un fallo antes del instante t: Q(t) = F(t) = 1 - R(t) Sea λ(t) la tasa de fallos o averías por unidad de tiempo. Supongamos que un elemento funciona en el instante t. La probabilidad condicional de que se produzca una avería entre el momento t y el t + dt puede escribirse:

La curva de la bañera Curva típica de evolución de la tasa de fallos La tercera etapa de fallos de desgaste es debida a la superación de la vida prevista del componente cuando empiezan a aparecer fallos de degradación como consecuencia del desgaste. Se caracteriza por un aumento rápido de la tasa de fallos. Curva típica de evolución de la tasa de fallos Existencia inicial de dispositivos defectuosos o instalados indebidamente con una tasa de fallos superior a la normal. Fallos normales o aleatorios. El comportamiento de la tasa es constante durante esta etapa y los fallos son debidos a las propias condiciones normales de trabajo de los dispositivos o a solicitaciones ocasionales superiores a las normales. Esta tasa de fallos elevada va disminuyendo con el tiempo hasta alcanzar un valor casi constante.

Si la tasa de fallos o averías por unidad de tiempo es constante: λ(t) = λ, tendremos que la fiabilidad es: una densidad de probabilidad exponencial. Esta fórmula de fiabilidad se aplica a todos los dispositivos que han sufrido un rodaje apropiado que permita excluir los fallos iniciales, y que no estén afectados aún por el desgaste (la zona plana de la bañera).

En 1951 Weibull propuso que la expresión empírica más simple capaz de ajustar a una gran variedad de datos reales:

Distribución de Weibull W(r, )

Función generatriz de momentos Discreta Continua

Función característica Observemos que: a partir de la anti-transformada de Fourier de la función característica obtenemos la densidad de probabilidad.

Desarrollando en Taylor la función característica alrededor de t = 0:

Calculemos la esperanza y la varianza de la distribución exponencial.

Sean {X1, X2, ... , XN } n variables aleatorias independientes con funciones características {1(t), 2(t), ... , N(t) }, e Y = X1+ X2+ ... + XN. Entonces: Ejemplo: Sean X1 = Exp(), X2 = Exp() ... , Xn = Exp() n variables aleatorias independientes. ¿Cómo se distribuye Y = X1+ X2+ ... + Xn?

Distribución de Erlang Er(n,  )