Curso de Semiconductores Sesión 3 Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng. E-mail: joseaedo@udea.edu.co Departamento de Ingeniería Electrónica Grupo de Microelectrónica - Control Universidad de Antioquia

Números cuánticos Átomos con múltiples electrones: Considerando la energía potencial EP = -Zq2/4pe0r La solución es similar: los estados son determinados por 4 números cuánticos (n, l, ml, ms) Aproximadamente este modelo serviría para explicar las características generales del espectro atómico. En 1925, Wolfgang Pauli, estableció el principio de exclusión: “Dos electrones de un átomo no pueden tener valores identicos para el conjunto de los 4 números cuánticos (n, l, ml , ms )” O “Dos electrones en un átomo no pueden estar en el mismo estado cuántico”.

Números cuánticos Notación en Capas y subcapas: Es una nomenclatura para describir los estados cuánticos: Los estados con el mismo n se dice que pertenecen a la misma capa. Se denota: n 1 2 3 4 …. capa K L M N .. Una capa se divide en subcapas de acuerdo con el número cuántico l: l 0 1 2 3 4 5 … subcapa s p d f g h …

Números cuánticos Capa n>0 0≤ l ≤ n-1 -l ≤ ml ≤ l ms=±1/2 subcapas #estad n l ml ms K 1 0 0 ±1/2 1s 2 0 0 ±1/2 2s 2 L 2 1 0 ±1/2 1 -1 ±1/2 2p 6 1 +1 ±1/2 M 3 3s 2 3p 6 3d 10

Notación en capas y subcapas: Triangulo de Paschen 1s 2s 3s 4s 5s 6s . . . . . 2p 3p 4p 5p 6p . . . . . 3d 4d 5d 6d . . . . . 4f 5f 6f . . . . . 5g 6g . . . . . . 6h . . . . . . . Ejemplo: Carbono Z=6, notación: 1s2 2s2 2p2 silicio Z= 14, notación: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2

Consideraciones para sólidos con múltiples electrones Su comportamiento es similar al modelo del átomo de hidrógeno, con algunos diferencias: Los niveles de energía establecidos por el modelo de un solo electrón (para una capa dada) son menores que los valores reales. 2. Los electrones con el mismo número cuántico n y con diferente l no tienen los mismos valores de energía: electrones s (l=0) tienen menor energía que electrones p (l=1) 3. Electrones con los mismos números cuánticos n y l pero con diferentes ml y ms tienen niveles de energía con pequeñas diferencias. 4. Teóricamente cada electrón en un sólido representa un estado definido por los cuatro números cuánticos y tiene un nivel de energía diferente de cualquier otro electrón.

Consideraciones para sólidos con múltiples electrones Esquemáticamente los niveles de energía serían: Localización de los niveles de energía en un átomo simple

Sub-divisiones de los niveles de energía: Supongamos ahora que acercamos átomos (del mismo elemento) que inicialmente están aislados a distancias comparables con el tamaño del átomo ?. Supongamos que acercamos 5 átomos: hay un “split” de los niveles de energía para alojar todos los electrones: energía n=3 n=2 n=1 R1 R2 R3 Separación atómica

Sub-divisiones de los niveles de energía: Tomemos ahora un átomo de silicio que tendría 14 niveles de energía correspondientes a 14 electrones. En un cm3 hay Aproximadamente 1022 átomos, lo que significa que hay un “split” considerable de los niveles de energía, principalmente para los niveles más externos: 3s y 3p 3p 3s Separación Real de los átomos

Sub-divisiones de los niveles de energía: En el caso de otro materiales como el cobre, se forma un continuo de energías permitidas, por ejemplo el Cu: 3d 4s 3p Separación Real de los átomos

La formación de las bandas de energía Una evidencia de la formación de las bandas de energía es a través del modelo de Kronig-Penney La formación de las bandas de energía Una evidencia de la formación de las bandas de energía aparece En el modelo de Kronig-Penny x L a x=0 n=1 n=2 n=3 W

E E De acuerdo con las ecuaciones anteriores: K -p/L p/L -2p/L -p/L

La formación de las bandas de energía El concepto de masa efectiva m* del electrón Al someter a un campo eléctrico ξ, al electrón se le aplica una fuerza qξ se puede mostrar que dVg/dt = (4p2/h2) (d2E/dK2) qξ aceleración masa efectiva (1/m*) fuerza La masa efectiva esta dada por: (1/m*) = (4p2/h2) (d2E/dK2) Ejercicio: deducir la expresión anterior para la masa efectiva del electrón libre

E Tomando una parte de las solución del modelo de Kronig-Penny : Masa efectiva: banda3 (1/m*)=(4p2/h2) (d2E/dK2) banda2 Banda prohibida banda1 (1/m*)>0 Banda prohibida (1/m*)<0 K -p/L p/L “hueco”

Sub-divisiones de los niveles de energía: formación de las bandas Tomemos ahora un átomo de silicio que tendría 14 niveles de energía correspondientes a 14 electrones. En un cm3 hay Aproximadamente 1022 átomos, lo que significa que hay un “split” considerable de los niveles de energía, principalmente para los niveles más externos: 3s y 3p energía 3p Diagrama de Bandas de energía 3s Energía prohibida Gap de energía Separación Real de los átomos R0 Silicio: gap=1.12eV a T=300 K

Sub-divisiones de los niveles de energía: En el caso de materiales conductores como el cobre, se forma un continuo de energías permitidas, por ejemplo el Cu: Energía 3d 4s 3p R0 Separación en la red Separación Real de los átomos

Sub-divisiones de los niveles de energía: En el caso de un material aislante como el SiO2: Energía Diagrama de Bandas de energía SiO2 Gap: 8 eV Separación en la red R0 Separación Real de los átomos

Diagrama de bandas de energía para el silicio: Caso del silicio Se asume N átomos: 3p Banda de conducción 3s Banda de Valencia Separación Real de los átomos R0 Ro

Características de los diagramas de bandas de energía para los semiconductores y aisladores: Existe una banda de energías prohibidas (“gap”) Estas energías no las pueden tomar los electrones pertenecientes a los átomos. La banda con mayor energía recibe el nombre de la banda de conducción. La banda siguiente, después de la banda prohibida se le denomina la banda de valencia.

Características de los diagramas de bandas de energía para los semiconductores y aisladores: El ancho ( en valores de energía) de la banda prohibida depende de varios factores: La constante de la red. Los niveles de energía alrededor de la banda prohibida: Niveles bajos de energía producen bandas angostas con “Gaps” anchos. Niveles altos de energía producen bandas anchas con “gaps” angostos. El ancho de “gap” (ventana de energías prohibidas) decrece con al temperatura.

Dependencia del ancho del “Gap” con la temperatura para los semiconductores típicos: Fuente: C. D., Thurmond, “The standard thermodynamic function of the formation of electrons and holes in Ge, Si, GaAs and GaP”, Journal of Electrchem. Society, 122, 1133 (1975) Banda de conducción Ec Eg Material Eg(0) a b Eg(300) GaAs 1.519 5.405x10-4 204 1.422 Si 1.17 4.73x10-4 634 1.125 Ge 0.743 4.774x10-4 235 0.663 Ev Banda de valencia Nota: T es dada en grados kelvin

Masas efectivas La masa efectiva es proporcional al segunda derivada de la Energía con relación a K. Si GaAs E E m*  (d2E/dK2)-1 EC EC Eg Eg Ev Ev K K K Observe: un electrón para Pasar de Ev a Ec dependiendo del material requiere adquirir un K además de E

Masa efectiva Masa efectivas para los semiconductores más usados: Si Ge GaAs mn*/m0 1.18 0.55 0.065 mp*/m0 0.81 0.37 0.52 T = 300 Kelvin

Modelo de enlace covalente Los 4 últimos electrones del Si son usados para formar un enlace covalente ( a temperatura muy baja) : Electrones De valencia 4 (3s2 3p2) Ec Ev Banda de Valencia completamente llena