Simulacion de sistemas dinamicos Principios básicos de la integración numérica

Contenido Solucion numerica a ecuaciones diferenciales La exactitud de la aproximación Los metodos de Euler

Solucion numerica a ecuaciones diferenciales

Los modelos en espacio de estado Los modelos de sistemas dinámicos con parámetros concentrados pueden ser representados usando un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) donde x es el vector de estado, u es el vector de entrada, y t denota el tiempo, la variable independiente a través de la cual se desea estimular Llamado modelo en espacio de estado

La trayectoria del estado La investigación del comportamiento de un sistema dinamico de tiempo continuo requiere una solución de ecuaciones diferenciales Sin embargo, la solucion analitica puede ser dificil o, en algunos casos, imposible Esta situacion plantea la necesidad de los metodos numericos

Un modelo simple f(x,t) es la pendiente de x(t) en cada punto (t,x) F = m*a v0 Coeficiente viscoso = c m f(x,t) es la pendiente de x(t) en cada punto (t,x) t x (t,x) Los metodos numericos aprovechan el conocimiento de la pendiente para estimar la trayectoria del estado

El problema estandar Se considera entonces resolver la ecuacion diferencial (ODE) , con condicion inicial: Objetivo: Hallar la solucion x(t) en un intervalo Solucion numerica: implementar un algoritmo computacional algebraico

Solución numérica El modelo puede ser simulado usando una expansión en series de Taylor Si se conoce el vector de estado en un instante de tiempo t*, el vector del estado puede calcularse en el instante de tiempo t*+ h, funcion conocida (derivada del estado) Los diferentes métodos de integración numérica difieren en la forma de aproximar las derivadas de mayor orden de f

Pasos de los metodos numericos Primero: discretizar el tiempo Segundo: representar x(t) usando solo los valores discretos del tiempo, ti En general, el tamaño de paso puede ser variable Step size = h

Pasos de los metodos numericos Tercero: estimar el siguiente valor del estado aproximando la derivada, usando los valores discretos Cuarto: iterar el proceso hasta el tiempo final Calculada a partir de f(x,t), y la aproximación de sus derivadas de mayor orden

El proceso de la integracion Trayectoria del estado exacta State vs. Time 5) Next State = Initial Condition + Derivative * Time Step 3) Initial Condition 1) Original Data Error 2) Choose Time Step 4) Evaluate Derivative

Efecto del paso de integracion Efecto del tamaño del paso de integración en la trayectoria estimada Four Time Steps Nine Time Steps State vs. Time State vs. Time

La exactitud de la aproximación

La exactitud de la aproximación Error por truncado de la serie de Taylor La exactitud de la aproximación

La serie de Taylor

El error por truncado de la serie La expansión de Taylor de orden n es exacta para un polinomio de orden n Más términos de la serie implica error menor En otro caso: Menor valor de h, implica menor error para un número dado de términos

El error por truncado de la serie Es imposible considerar todos los términos en la serie de Taylor Todos los métodos de integración numérica sólo aproximan un cierto número de términos de la serie. Este número puede ser fijo o variable Ejemplo: un algoritmo de orden tres El error por truncado del método crece proporcionalmente con la cuarta potencia del tamaño del paso de integración h

Características del orden de integración Método de integración de orden alto Mayor precisión Mayor costo computacional Tamaño del paso grande Método de integración de bajo orden Menor precisión Menor costo computacional Tamaño del paso pequeño Cual selección es la más económica en una situación dada depende de varios factores

Selección del orden del algoritmo de integración Regla práctica Si el mayor error tolerado en un paso de integración es 10- n, entonces la mejor selección es al menos un algoritmo de orden n para la integración numérica Precisión relativa local = 0.0001 Orden del algoritmo = 4

La exactitud de la aproximación Error por redondeo y error por chopping La exactitud de la aproximación

Redondeo y chopping Redondeo y chopping: Importantes en el comportamiento numerico de los algoritmos Sólo puede ser representado un numero finito de cantidades, y dentro de un rango limitado

Representación en punto fijo Representación en punto fijo de un número binario real Scientific 22 21 20 . 2-1 2-2 2-3 Fractions ½ ¼ ⅛ Decimal 4 2 1 .5 .25 .125 1 0 1 . 1 0 1

Valor de un número binario real Valor del número binario en base 10 Scientific 22 21 20 . 2-1 2-2 2-3 Fractions ½ ¼ ⅛ Decimal 4 2 1 .5 .25 .125 1 0 1 . 1 0 1 101.101 = 4 + 1 + 1/2 + 1/8 = 4 + 1 + .5 +.125 = 5.625 = 5 ⅝

Notación exponencial Las siguientes son representaciones equivalentes de 1.234 El punto decimal “flota”, de acuerdo con la selección del valor del exponente 123,400.0 x 10-2 12,340.0 x 10-1 1,234.0 x 100 123.4 x 101 12.34 x 102 1.234 x 103 0.1234 x 104

Partes de un número de punto flotante Signo de la mantisa Localizacion del punto decimal Mantisa Exponente Signo del exponente Base -0.9876 x 10-3 Representacion normalizada

Formato de Simple Precisión 32 bits Mantisa (23 bits) Exponente (8 bits) Signo de la mantisa (1 bit)

Normalización de la mantisa La mantisa está normalizada, es decir el número a la izquierda del punto decimal es SIEMPRE “1“ El número “1“ no se escribe en la mantisa Ejemplo 1<= mantisa < 2 “uno” fantasma Mantisa 101 0000 0000 0000 0000 0000 Representación 1.1012 = 1.62510 La separacion cada cuatro ceros para mayor claridad

Normalización de la mantisa La mantisa está normalizada, es decir el número a la izquierda del punto decimal es SIEMPRE “1“ El número “1“ no se escribe en la mantisa. Se asume. En cierto modo la mantisa tiene 24 bits El menor valor 1<= mantisa < 2 Mantisa 000 0000 0000 0000 0000 0001 Representación en base 10 1 + 2-23 ≈ 1 + 10-7 Aproximadamente seis digitos significativos

El exponente - 127<= exponente <= 128 135 - 127 = 8 (valor real) Los siguientes ocho bits especifican el exponente, en la forma de exceso-n El valor del exponente es más grande en n que el exponente real Para simple precisión el exceso es 127 Ejemplo - 127<= exponente <= 128 Exponente 1000 0111 Representación 135 - 127 = 8 (valor real)

Ejemplo de un número en simple precisión 0 1000 0010 110 0000 0000 0000 0000 0000 1.112 = 1.7510 130 – 127 = 3 0 = mantisa positiva + 1.75  23 = 14.0

El valor mas pequeño en simple precisión 0 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0000 1.002 = 1.0010 000 – 127 = – 127 0 = mantisa positiva + 1.00  2 – 127 ≈ 10 – 38

El valor más grande en simple precisión 0 1111 1111 111 1111 1111 1111 1111 1111 1.002 = 1.0010 255 – 127 = + 128 0/1 = mantisa pos/neg ± 2.00  2 + 128 = ± NaN ≈ ± 10 + 38

Rango de los numeros El rango de los numeros esta definido como: 0 0000 0001 000 0000 0000 0000 0000 0000 +2-126× (1+0) = 2-126 0 1111 1110 11 1 1111 1111 1111 1111 1111 +2127× (2-2-23) smallest largest 2127(2-2-23) 2-126 Positive overflow Positive underflow

Implicación de la representación en punto flotante Redondeo y chopping: Importantes en el comportamiento numerico de los algoritmos Afectan la exactitud de la representación de un número real en un computador

El error por redondeo z : un número real que se quiere representar en un computador Sea fl(z) : la representación de z en el computador Error por chopping Error por redondeo Simple precisión n = 23: Un número real en simple precisión tiene aproximadamente de seis decimales significativos

Épsilon de la máquina El épsilon de la máquina, eps, es el número más pequeño tal que epsilon = 1; while (1 + epsilon > 1) epsilon = epsilon / 2; epsilon = epsilon * 2; end épsilon de la máquina Simple precisión

El error por redondeo en la integración numérica Asumamos que se emplea un algoritmo de orden tres Asumamos: h = 0.001

Efecto del error por redondeo El error por redondeo es importante en la integración numérica porque números pequeños son sumados a números muy grandes seis digitos El término de segundo orden no contribuye en forma significativa

Efecto del error por redondeo En consecuencia, el uso de simple precisión en una máquina de 32 bits para algoritmos de integración de orden mayor que dos puede ser un problema En realidad el efecto no es tan pronunciado ya que los algoritmos de orden alto permiten tamaños del paso mayores No es una buena razón usar simple precisión en un algoritmo de integración, excepto en Euler

Formato de Doble Precisión 64 bits Mantisa (52 bits) Exponente (11 bits) Signo de la mantisa (1 bit) Doble Precisión

El estándar IEEE 754 Precision Single (32 bit) Double (64 bit) Sign Exponent 8 bits 11 bits Notation Excess-127 Excess-1023 Range 2-126 to 2127 2-1022 to 21023 Mantissa 23 52 Decimal digits  7  15 Value range  10-38 to 1038  10-300 to 10300

Codificación del formato IEEE 754 Single Precision Double Precision Represented Object Exponent Fraction non-zero +/- denormalized number 1~254 anything 1~2046 +/- floating-point numbers 255 2047 +/- infinity NaN (Not a Number)

El error por redondeo en doble precisión Una representación en doble precisión en una máquina de 32 bits proporciona aproximadamente 14 dígitos significativos catorce digitos Desafortunadamente, las operaciones son más costosas computacionamente

La exactitud de la aproximación Error combinado total La exactitud de la aproximación

Error numérico total E = | Error Total |  + Asumiendo una expansión de Taylor de primer orden, el error numérico total es la suma de los error de truncado y de redondeo E = | Error Total |  +

Otros errores Los errores examinados en esta sección no consideran los errores propios del modelado: Errores en el modelo conceptual Errores paramédicos Otro tipo de error a tener en cuenta en la etapa de simulación es el error por acumulación, que se considerara a continuación

El error por acumulación Debido al redondeo y truncado x(t* + h) no puede ser conocido con exactitud Este error será heredado en el siguiente paso de integración como un error en la condición inicial State vs. Time Four Time Steps El error se acumula cuando la integración numérica se ejecuta

El error por acumulación Si el sistema es estable, el error en las condiciones iniciales decae a cero con el tiempo Indica que el error en las condiciones iniciales en un paso de integración no afecta demasiado a la simulación total Para sistemas analíticamente inestables la situación es diferente No se puede asumir que el error de integración global es proporcional al error de integración por paso

Error local vs. Error global Asumiendo un paso de integración constante h Para n pasos en una simulación El error relativo global es entonces “error relativo local” Error relativo local = 0.0001 Error relativo global = 0.001

Verificación de la simulación En conclusion: Asumiendo que el modelo conceptual refleja la realidad suficientemente, se debe verificar que la simulación numérica replica las trayectorias analíticas dentro de ciertas tolerancias Este proceso es denominado verificación de la simulación

Euler, Léonard 1707-1783 Los metodos de Euler

El metodo de Euler explicito f(x(t)) Todos los valores de la derecha conocidos

El metodo de Euler explicito Estimación del próximo valor del estado en el método de Euler explícito

El metodo de Euler explicito Algoritmo La simulación no requiere ninguna integración dentro de un paso de integración

Ejemplo Use el metodo de Euler para resolver En este caso, el metodo de Euler explicito da:

Ejemplo n tn yn fn= - yn+1 yn+1= yn+Dt fn 0.000 1.000 0.100 1 0.1 0.000 1.000 0.100 1 0.1 0.900 0.190 2 0.2 0.810 0.271 3 0.3 0.729 0.344 4 0.4 0.656 0.410 5 0.5 0.590 0.469 6 0.6 0.531 0.522 7 0.7 0.478 0.570 8 0.8 0.430 0.613 9 0.9 0.387 0.651

Ejemplo Solucion analitica

Ejercicio a) Dt = 2 b) Dt = 1 c) Dt = 0.5 d) Dt = 0.1 Usando el metodo de Euler resolver Para 0 < x < 10, con x(0) = 0; a) Dt = 2 b) Dt = 1 c) Dt = 0.5 d) Dt = 0.1

Ejercicio Solucion exacta x(t) = 1- e-t Solucion aproximada usando Euler explícito Dt = 2 Dt = 1 Dt = 0.5 Dt = 0.1 x(t) t

El metodo de Euler implicito f(x(t)) La ecuacion es implicita in xk+1 .

El metodo de Euler explicito Estimación del próximo valor del estado en el método de Euler implícito

Lazo algebraico En el método de Euler de implícito es necesario resolver la presencia de un lazo algebraico Ejemplo: PSpice Este tipo de algoritmos son referidos como técnicas de integración implícita

Fuentes Cellier, F.E. and E. Kofman (2006), Continuous System Simulation, Springer-Verlag, New York

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