Dualidad Multiplicadores Dualidad Aplicación práctica: Importantes en problemas de optimización Dualidad Justificación de esta importancia Resultados teóricos Aplicación práctica: Análisis de sensibilidad

Dualidad Problema lineal (primal) y condiciones de extremo: Ax  b min cTx AT = c s.a Ax  b    0 T (Ax - b ) = 0 Condiciones lineales y cuadráticas Tanto en x como en 

Dualidad ¿Existe un problema en  con las condiciones de extremo anteriores? Ax  b AT = c max bT   0  s.a AT = c T(Ax - b ) = 0   0 Problema dual Las variables son los multiplicadores

Dualidad Propiedades: Solución de ambos problemas es la misma Multiplicadores del primal: variables del dual Variables del primal: multiplicadores del dual Es indiferente resolver uno u otro Pero el coste computacional no es el mismo Problema dual del dual: primal

Dualidad Otras propiedades: Dualidad débil Para dos puntos factibles: x (factible primal) y  (factible dual) cTx  bT Los valores del dual son cotas del primal En los óptimos respectivos, cTx* = bT*

Dualidad Justificación del resultado de dualidad débil Si x y  son factibles, AT = c  TAx = cTx Ax  b ,   0  TAx  bT  cTx  bT Si x y  son además óptimos, T(Ax - b ) = 0  TAx = bT  cTx = bT

Dualidad Otras propiedades: Dualidad fuerte Para un problema primal (P) y su dual (D), Si (P) es óptimo, (D) es óptimo (con la misma solución) Si (P) no está acotado, (D) no es factible Si (P) no es factible, (D) no es factible o no está acotado

Dualidad Justificación de dualidad fuerte Si uno de los problemas es óptimo, los multiplicadores son óptimos para el otro Si un problema no está acotado, por dualidad débil no puede existir un punto factible del otro Si un problema no es factible, el otro no puede ser óptimo Primal y dual son intercambiables

Lado derecho  multiplicadores Dualidad Construcción del problema dual: Función objetivo: min  max Lado derecho  multiplicadores Restricciones: (Matriz de coeficientes)T  multiplicadores = coefs. fn. objetivo Signo de multiplicadores

Dualidad Ejemplo: max cTx + dTy min bT + hT s.a Ax + y = b s.a AT +  = c By  h   + BT = d x  0  ,   0 Agrupando términos: min bT - hT s.a AT  c  - BT = d   0

Dualidad Interpretación económica: Problema primal: min cTx s.a Ax = b Determinar mejor nivel de utilización de procesos x Para hacer frente a una demanda b Con coste mínimo Decisión centralizada para toda la empresa Planificador central

Dualidad Problema dual: max bT max bT s.a AT +  = c  s.a AT  c   0 Determinar precios de productos demandados Para obtener máximo ingreso Beneficio cero Decisión descentralizada Mecanismo basado en precios (mercado)

Dualidad Ejemplo: problema de transporte Planteamiento: Variables: min ijk cijkxijk s.a i xijk  djk jk skxijk  vi x  0 Variables: cantidades transportadas de cada almacén i a cada cliente j de cada producto k

Dualidad Problema dual: Interpretación: max i vi i + i djk jk s.a sk i + jk  cijk i  0 , jk  0 Interpretación: i es el precio a pagar por el uso de cada unidad de espacio de almacenamiento jk es el precio a percibir por cada unidad de producto entregada al cliente

Dualidad Aplicación: Análisis de sensibilidad ¿Cómo cambia la solución si los datos cambian? Importancia: Datos no son conocidos con exactitud Están sujetos a incertidumbre Varían con el tiempo Estudio paramétrico: Forma de función objetivo óptima En función de los datos

Dualidad Cambios en la función objetivo: El coeficiente ci cambia a c’i Las restricciones no se ven afectadas Efecto sobre la última solución: Basta comprobar optimalidad ’n = c’n - N TB -Tc’b B y N mismos valores que antes del cambio

Dualidad Ejemplo: min x1 - 2x2 - x3 s.a x1 + x3  1 Solución: x* = ( 1 3/2 0 )T Supongamos que el coeficiente c1 cambia Pasa de valer 1 a valer 3/2 Calcular el nuevo vector de multiplicadores Cambia cb pero no cn

Dualidad Nuevo vector de multiplicadores: ’n = cn - N TB -Tc’b -1 1 2 1/2 1 -1 -1 3/2 ’n = 0 - -1 0 = 1/2 0 2 -2 0 0 1 1 El punto sigue siendo solución ¿Y si c1 pasa a valer 1/2 ? ’n = ( 3/2 -1/2 1 )T

Dualidad El vértice deja de ser solución Nueva solución Método Simplex desde el vértice dado 1 0 1 1 pn = 1 , Bpb = -Npn  pb =  pb = -1 2 0 1/2 Problema no acotado

Dualidad Otro problema a resolver Efecto para un cambio dado ¿Cuál es el mayor cambio que no afecta a la solución? Forma del cambio: c’ = c + c Condición: ’n = cn + cn - N TB -T (c’b + cb ) = n + (cn - N TB -T cb ) = n + n  0  = min { - (n )i /(n )i | (n )i < 0 }

Dualidad Ejemplo: min x1 - 2x2 - x3 s.a x1 + x3  1 Solución: x* = ( 1 3/2 0 )T Máximo cambio para c’ = c - e1

Dualidad Criterio para el máximo cambio: ’n = n + (cn - N TB -T cb ) = n + n  0 Valores para el caso considerado: 1 0 1 1 1 -1 0 T 1 0 -T -1 0 +  0 - = 0 +  -1  0 2 0 1 -1 2 0 1 0 1 0 Máximo cambio:  = 0

xb = B -1b’ i , (B -1b’ )i < 0 Dualidad Cambios en el lado derecho de restricciones El cambio no afecta a los multiplicadores: Optimalidad no cambia Valores de las variables tienen que cambiar El último vértice es infactible Ax = b  b’ ¿Cambia el conjunto de variables básicas? Solo si xb = B -1b’ i , (B -1b’ )i < 0

Dualidad Ejemplo: min x1 - 2x2 - x3 s.a x1 + x3  1 Solución: x* = ( 1 3/2 0 )T Supongamos que b1 = 1  2

Dualidad Condición para que se mantenga la base: Supongamos ahora que 1 0 -1 2 2 B -1b = =  0 -1 2 2 2 La base no cambia Sí varían los valores de las variables básicas: x’b = ( 2 2 )T Supongamos ahora que b1 = 1  -1

Dualidad Condición para que se mantenga la base: 1 0 -1 -1 -1 B -1b = = -1 2 2 ½ La base óptima cambia Cálculo de la nueva solución: Método Simplex desde el principio, o Método Simplex dual desde la última solución Lo veremos más adelante

Dualidad ¿Máximo cambio que no afecta a la base? Forma del cambio: b’ = b + b Condición: B -1b’  0  B -1b + B -1b = xb + B -1b  0  = min { - (xb )i /(B -1b )i | (B -1b )i < 0 }

Dualidad Ejemplo: min x1 - 2x2 - x3 s.a x1 + x3  1 Solución: x* = ( 1 3/2 0 )T Estudiar cambios para b = -e1

Dualidad Condición: xb + B -1b  0 1 1 0 -1 -1 1 -1 +  = +   0 1 1 0 -1 -1 1 -1 +  = +   0 3/2 -1 2 0 3/2 -1/2    1 Si  > 1 , la base óptima cambia

Dualidad Método dual del Simplex: Método Simplex aplicado al problema dual Empleando la información en su forma primal Calculando valores para x Inicio del método Vértice factible pero no óptimo para el dual Vértice óptimo pero no factible para el primal

Dualidad Condiciones del vértice inicial Respecto del problema primal: Vértice (base) con multiplicadores óptimos n = cn - N TB -Tcb  0 Variables no factibles i , (xb )i = (B -1b )i < 0 No se puede aplicar el método Simplex normal Pero el vértice tiene información de interés

Dualidad Movimiento a partir del vértice Cálculo de la dirección de movimiento Seleccionar componente más negativa de B -1b Definir dirección para  b = ei , BT + b = 0   = -B -Tb = -B -Tei NT + n = 0  n = N TB -Tei Definir la longitud de paso para   = min { - (n )i /(n )i | (n )i < 0 }

Dualidad Valores del problema primal Se actualiza la base Variable que deja de ser básica La que tenga el valor más negativo de B -1b Variable que pasa a ser básica La que defina el valor de  Nuevo valor de las variables básicas Calcular B -1b para la nueva base

Dualidad Cálculos del método Simplex dual Dado un vértice óptimo pero no factible Calcular B -1b Determinar la componente más negativa Calcular n = cn - N TB -Tcb y n = N TB -Tei Calcular  = min { - (n )i /(n )i | (n )i < 0 } Determinar la variable que pasa a ser básica Actualizar B , N , cb , cn

Dualidad Ejemplo: min x1 - 2x2 - x3 s.a x1 + x3  -1 Vértice óptimo: xb* = B -1b = ( -1 ½ )T Variables básicas: x1 y x2 Variable que deja de ser básica: x1 Multiplicadores: n = cn - N TB -Tcb = ( 1 0 1 )T

Dualidad Dirección de movimiento de multiplicadores n = N TB -Tei = ( 1 -1 0 )T Longitud de paso  = 0/(-1) = 0 Nueva variable básica: s1 Nuevo valor de las variables básicas ( x2 y s1 ): B -1b = ( 1 1 )T El vértice es óptimo