Las Medallas Fields y los problemas del Milenio por Julio Bernués

Medallas Fields en Matemáticas 2006 Ceremonia inaugural del International Congress of Mathematicians (ICM). Palacio Municipal de Congresos. Madrid, 22 de Agosto de 2006, 10,30h. www.icm2006.org

International Congress of Mathematicians, 2006. Madrid, 22-30 de Agosto. Dividido en 20 secciones. 1 Charla Plenaria por cada sección. +- 10 Charlas de sección. 1000+ comunicaciones. Españoles en el ICM: 1 (de sección) en 1994. 1+10 en 2006.

International Congress of Mathematicians Primer ICM. Zurich, 1897. Celebración cada 4 años. Desde 1920 organizado por la International Mathematical Union (IMU). Se otorga Medalla Fields, Nevalinna Prize, Gauss Prize.

Medallas Fields en Matemáticas Primer ICM fuera de Europa en Toronto (Canadá) en 1924. J.C. Fields propone creación de una medalla que premie los logros matemáticos de un autor. Primeras medallas en el ICM de Oslo, 1936.

Medallas Fields en Matemáticas John Charles Fields Canadá, 1863-1932.

Medallas Fields: el Nobel de las matemáticas Alfred Nobel 1833-1896 John Charles Fields 1863-1932

Francia, 1888 “El mercader de la muerte, ha muerto” Alfred Nobel 1833-1896

Premios Nobel Nobel (en 1895) legó su fortuna para crear una fundación que otorgara premios anuales entre aquéllos que durante el año precedente hubieran realizado inventos o descubrimientos al mayor beneficio a la humanidad.

Premios Nobel Nobel de Física Nobel de Química Nobel de Medicina Nobel de Literatura Nobel de la Paz Nobel de Economía desde 1969. Premio Abel desde 2003.

Premios Nobel vs Medallas Fields Inicio: 1901-1902 Proponen: Academias Premio Anual Sin límite de edad Hasta 3 por premio Premio:+- 1.000.000$ Inicio: 1936 (ICM,1897) Proponen: IMU Cada 4 años Menor de 40 años De dos a cuatro. Premio: Una medalla

Arquimedes RTM, MCMXXXIII Transire suum pectus mudoque potiri. Congregati ex toto orbe mathematici ob scripta insignia tribuerunt

El medallero Estados Unidos, 12 Francia, 8 Gran Bretaña, 7 Rusia, 6 Japón, 3 Bélgica, 2 Alemania, Finlandia, Italia, Noruega, Nueva Zelanda, Suecia, 1

International Mathematical Union Africa, 6 naciones América, 10 naciones Asia, 16 naciones Europa, 33 naciones Oceanía, 2 naciones TOTAL, 67 naciones asociadas.

GRUPO 1 (un voto, 1): 31 naciones. GRUPO 2 (dos votos, 2): 16 naciones. GRUPO 3 (tres votos, 4): 4 naciones. GRUPO 4 (cuatro votos, 7): Brasil, España, Holanda, India, Suecia, Suiza. GRUPO 5 (cinco votos, 10): Alemania, Canadá, China, Estados Unidos, Gran Bretaña, Israel, Italia, Japón, Rusia.

La quiniela del 2006 Terence Tao Andrei Okounkov Grigori Perelman Australia, 1975- Rusia Rusia (Princeton, Ucla) (Princeton) (S. Petersburgo)

Perelman PARECE haber resuelto la Conjetura de Poincare. Grigori Perelman

Los problemas del Milenio Clay Mathematics Institute, USA. www.claymath.org Propuestos en el 2000 (año mundial de las matemáticas a imagen de los 23 Problemas de Hilbert, ICM 1900. Premio: 1.000.000$ cada uno.

Los problemas del milenio 1. La Conjetura de Poincare. 2. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. 3. La conjetura de Hodge. 4. La teoría de Yang-Mills. 5. Las ecuaciones de Navier-Stokes. 6. La hipótesis de Riemann. 7. P vs NP.

1. La conjetura de Poincare. Ejemplo en dimensión 2: Variedades cerradas Simplemente conexa No simplemente conexa

Dos variedades son “homeomorfas” si una es una “deformación continua” de la otra (sin romper ni rasgar ni pegar). Conjetura de Poincaré: Toda variedad cerrada de dimensión 3 es homeomorfa a una esfera (de dimensión 3). n=1,2 conocidos n>4. Smale (Medalla Fields 1966) n=4 Freedman (Medalla Fields 1986)

2. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Ternas pitagóricas, números naturales que cumplen x2+y2=z2 32+42=52, 62+82=102, 52+122=132… z=5 x=3 Triángulo rectángulo y=4

xn+yn=zn Teorema de Fermat. (Wiles, 1995) x2+y2=z2 z x Paraboloide de Revolución y xn+yn=zn Teorema de Fermat. (Wiles, 1995)

3. La conjetura de Hodge. Se pregunta si cierta familia de objetos matemáticos abstractos son realmente objetos geométricos. (Topología algebráica, geometría) William Hodge, 1903 - 1975

4. La teoría de Yang-Mills. Las leyes de la mecánica cuántica rigen el mundo de las partículas elementales de la misma manera que las leyes de Newton de la mecánica clásica rigen el mundo macroscópico. Hace un siglo, Yang y Mills presentaron un nuevo marco para describir las partículas elementales usando estructuras que solo aparecen en geometría. La teoría cuántica de Yang-Mills es actualmente la base de la teoría de partículas elementales y sus predicciones se han comprobado de manera experimental en laboratorios, pero sus fundamentos matemáticos permanecen oscuros.

5. Las ecuaciones de Navier-Stokes. Son las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de líquidos o gases: Clima Corrientes oceánicas, corrientes en tubos Sustentación Movimiento de estrellas en una galaxia

Werner Heisenberg: “Cuando me encuentre con Dios, le haré dos preguntas: ¿Por qué la relatividad? y ¿por qué la turbulencia?. Estoy seguro de que me sabrá contestar a la primera.

Conocer la solución a la ecuación de Navier-Stokes NO significa que, por ejemplo, se pueda predecir el clima. t=tiempo P(t),T(t),H(t) Atractor de Lorentz

6. La hipótesis de Riemann. Número primo: Sus divisores son 1 y él mismo: 2, 3, 5, 7…. (4, 6, 9 no son primos). Cualquier número es producto de primos. Los primos se distribuyen en los naturales muy irregularmente.

En 1859, B. Riemann observó la relación entre la distribución de los primos y los ceros de la función ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ... Bernhard Riemann, 1826-1866 HR: ¿Cuándo es ζ(s) =0?.

Primos y claves públicas. BANCO P x Q -Mensaje- Primo P de 100 cifras Primo Q de 100 cifras

7. P vs NP. Problemas cuya solución puede ser calculada (por algún algoritmo) en tiempo exponencial. Ejemplo: Dado un número de N cifras hallar su descomposición en números primos. A día de hoy, necesito +-10N operaciones (Tiempo exponencial). - N=64 cifras, necesito +-1064 operaciones 1064 es (+-) el número de átomos del universo!!!

7. P vs NP. P = Problemas cuya solución puede ser calculada (por algún algoritmo) en tiempo polinomial. Para un número de N cifras se necesitan +-N2 (+-N3…) operaciones. (642=4096…) Ejemplo: El máximo común divisor de dos números. Saber si un número es primo.

7. P vs NP. NP= Problemas que cuyas soluciones pueden ser verificadas (Si/No) en tiempo polinomial. Ejemplo: Dado un número de N cifras hallar su descomposición en números primos. Dado un número N, ¿Es P x Q x R x S … una factorización de N? (Si/No) es casi instantáneo.

7. P vs NP. Siempre un problema P, es NP. La cuestión ¿P = NP? dice: si las soluciones a un problema SI/NO pueden ser verificadas rápidamente (tiempo polinomial) pueden ser calculadas las soluciones rápidamente (tiempo polinomial)?