FP: PROYECTIVIDAD FP_5 Prof. José Juan Aliaga Maraver Universidad Politécnica de Madrid

Elementos dobles en perspectividades Los haces de rectas V(abcd...) y V’(a’b’c’d’...), de bases V y V’, son perspectivos con eje perspectivo la recta e. La recta común a V y V’, que contiene a las bases de los haces, es un elemento doble: d=d’ V’V’V’V’Va b c d=d’ a’ b’ c’ A B D C e Las series de puntos r(ABCD...) y r’(A’B’C’D’...), de bases r y r’, son perspectivos con centro perspectivo el punto V. El punto común a r y r’, que contiene a las bases de las series, es un elemento doble: D=D’Va b c d A’ B’ C’ A B D=D’ C r r’ Dos formas perspectivas tienen un elemento doble

Formas proyectivas Dos formas de primera categoría son proyectivas si tienen igual valor cualquier cuaterna de elementos y la formada por sus correspondientes elementos homólogos (e 1 e 2 e 3 e 4 )=(e 1 ’e 2 ’e 3 ’e 4 ’) Al mover dos haces perspectivos se pierde la condición de perspectividad, sin embargo, al no modificar la posición relativa entre los elementos de cada forma, las cuaternas se mantienen: (abcx)=(ABCX)=(a’b’c’x’) Dos formas perspectivas son proyectivasVa b x c B’ V’V’V’V’ a’ b’ c’AC X e x’ Va b x c B V’V’V’V’ a’ b’ c’ A C X e

Perspectividades intermedias Los haces de rectas de vértices V y V’ son perspectivos al ser doble la recta d=d’ Las series de puntos de bases las rectas a y a’ son proyectivas entre sí. La recta e es el eje perspectivo de los haces de vértices V y V’ que proyectan los puntos de las series r r’ A B C D A’ B’ C’ D’ e V d=d’ a b b’ a’ V

Eje proyectivo A B C D A’ B’ C’ D’ e V = V’ = La recta e es el eje perspectivo de los haces de bases V y V’, siendo a su vez el eje proyectivo de las series de bases a y a’ M = N’ M’ N Al usar dos puntos homólogos como bases de los haces V y V’, estos son perspectivos al tener un elemento doble d=d’ a b b’ a’ r r’

Centro proyectivo V1V1V1V1 V2V2V2V2 a2a2a2a2 b2b2b2b2 c2c2c2c2 d2d2d2d2 a1a1a1a1 b1b1b1b1 c1c1c1c1 d1d1d1d1 C m 1 =n 2 n1n1 m2m2 V1V1V1V1 V2V2V2V2 Dual del eje proyectivo

Determinar el eje proyectivo FP_5P_01 Eje proyectivo A B C A’ B’C’ A D A’D’M M’ C DC’D’ N’ N’ N A A’ M = N’ M’ N

Determinar el eje proyectivo FP_5P_02 Eje proyectivo A B C A’ B’C’ A C A’C’ L1’L1’L1’L1’ L1L1L1L1 B CB’C’ L2L2L2L2 L2’L2’L2’L2’ A C A’ C’ L1’L1’L1’L1’ L2L2L2L2 L1L1L1L1 L2’L2’L2’L2’

Determinar el centro proyectivo y el homólogo de x1 FP_5P_03 Centro proyectivo V1V1V1V1 V2V2V2V2 a2a2a2a2 b2b2b2b2 c2c2c2c2 a1a1a1a1 b1b1b1b1 c1c1c1c1 x1x1x1x1

Determinar el centro proyectivo y el homólogo de x1 FP_5P_04 Centro proyectivo V1V1V1V1 V2V2V2V2 a2a2a2a2 b2b2b2b2 c2c2c2c2 a1a1a1a1 b1b1b1b1 c1c1c1c1 x1x1x1x1

Determinar el centro proyectivo y el homólogo de x1 FP_5P_05 Centro proyectivo V1V1V1V1 V2V2V2V2 a2a2a2a2 b2b2b2b2 c 2 =b 1 a1a1a1a1 c1c1c1c1 x1x1x1x1

Determinar el homólogo de X, para completar el diseño de una superficie, de forma que (ABCX)=(A’B’C’X’) FP_5P_06 Eje proyectivo C’ B’ A’ A B X C A A’ C B B’ C’