Apuntes de Matemáticas 3º ESO POLIEDROS TEMA 9 * 3º ESO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

ÁREAS DE POLIEDROS REGULARES TEMA 9.2 * 3º ESO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

DESARROLLO DEL TETRAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus cuatro caras. La altura en un triángulo equilátero es: h = a.√3 / 2 El área de cada cara: A= b.h / 2 Luego el área total es: At = 4. a . (a.√3/2) / 2 = = 4. a2 .√3 / 4 At = a2 .√3 h a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 1 Hallar el área de un tetraedro de 4 cm de arista. A=a2.√3 =42.√3 = 16.1,7320 = 27,71 cm2 Ejemplo 2 Hallar el área de un tetraedro cuya altura de una cara mide 4 cm. Como h = a.√3 / 2  4 = a.√3 / 2  8 = a.√3 Finalmente a = 8 / √3 = 8 / 1,7320 = 4,62 cm A=a2.√3 = 4,622.√3 = 21,33.1,7320 = 36,95 cm2 Ejemplo 3 Hallar la arista de un tetraedro de 40 cm2 de área. Acara = A / 4 = 40 / 4 = 10 cm2 ; Acara = a2.√3 / 4 Operando: 10 = a2 .√3 / 4  a2 = 40 /√3  a = √23 = 4,81 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

DESARROLLO DEL EXAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus seis caras. El área de cada cara: A= l2 Luego el área total es: At = 6.l2 l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 4 Hallar el área de un exaedro de 4 cm de arista. A=6.a2 =6.42 = 6.16 = 96 cm2 Ejemplo 5 Hallar el área de un exaedro cuya diagonal de una cara mide 4 cm. Como d = a.√2 por el Teorema de Pitágoras Despejando la arista: a = d / √2 = 4 / 1,4142 = 2,8284 cm A=6.a2 = 6.2,82842 = 6.8 = 48 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 6 Hallar el área de un exaedro de 4 cm de diagonal. Por el Teorema de Pitágoras: d2 = a2 + a2 , en una cara. D2 = d2 + a2 , en el cubo. Luego: D2 = a2 + a2 + a2 = 3.a2 Despejando la arista: a2 = D2 / 3 = 42 / 3 = 16 / 3 De donde a = √(16/3) = 2,31 cm A=6.a2 = 6.2,312 = 32 cm2 D a d @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

DESARROLLO DEL OCTAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus ocho caras. La altura en un triángulo equilátero es: h = a.√3 / 2 Luego el área total es: At = 8. a . (a.√3/2) / 2 = = 8. a2 .√3 / 4 At = 2.a2 .√3 h a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 7 Hallar el área de un octaedro de 4 cm de arista. A=2.a2.√3 = 2.42 .1,7320 = 2.16.1,7320 = 55,424 cm2 Ejemplo 8 Hallar el área de un octaedro cuya altura de una cara mide 4 cm. Como h = a.√3 / 2  4 = a.√3 / 2  8 = a.√3 Finalmente a = 8 / √3 = 8 / 1,7320 = 4,62 cm A=2.a2.√3 = 2.4,622.√3 = 2.21,33.1,7320 = 73,90 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

DESARROLLO DEL DODECAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus doce caras. El área de cada cara: A= P.apo / 2 Luego el área total es: At = 12.5.a.apo / 2 At = 30.a.apo @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 9 Hallar el área de un dodecaedro de 4 cm de arista y 2,75 cm de apotema. A=30.a.apo = 30.4.2,75 = 330,33 cm2 Ejemplo 10 Hallar el área de un dodecaedro cuya suma de sus aristas vale 80 cm y tiene 2,75 cm de apotema. Como presenta 20 aristas, 20.a = 80  a = 80 / 20 = 4 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO ¿Dónde está la errata? El área total de un pentaedro es 36 cm2. Hallar la suma de sus aristas, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 3 cm El área de cada cara es: 36 / 12 = 3 cm2 Como el área del pentágono es: A = 5. a.apo / 2 Sustituyendo valores 3 = 5.a.3 / 2 De donde a = 6 / 15 = 2 / 5 = 0,4 cm Como tiene 20 aristas, resulta: 20.a = 20. 0,4 = 8 cm apo a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

DESARROLLO DEL ICOSAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus veinte caras. El área de cada cara: A= a.h / 2 , siendo h = a.√3 / 2 Luego el área total es: At = 20. a . (a.√3/2) / 2 = 20. a2 .√3 / 4  At = 5.a2 .√3 h @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 11 Hallar el área de un icosaedro de 4 cm de arista. A=5.a2.√3 = 5.42 .1,7320 = 5.16.1,7320 = 138,56 cm2 Ejemplo 12 Hallar el área de un icosaedro cuya altura de su cara es 4 cm. Como h = a.√3 / 2  4 = a.√3 / 2  8 = a.√3 Finalmente a = 8 / √3 = 8 / 1,7320 = 4,62 cm A=5.a2.√3 = 5.4,622.√3 = 5.21,33.1,7320 = 184,75 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO