Potencial Eléctrico Continuación Temas de Hoy Potenciales eléctricos y principio de superposición. Obtener E a partir de V y superficies equipotenciales. Potencial eléctrico debido a distribuciones continuas de carga. Potencial eléctrico de un conductor cargado.

Principio de superposición Para una colección de cargas puntuales el potencial eléctrico es encontrado usando el principio de superposición V es un escalar mucho mas fácil de evaluar que el vector de campo eléctrico E.

Ejemplo 1 Una carga puntual de 1.00 mC esta ubicada en el origen y una segunda carga puntual -4.00 mC esta ubicada en el eje de las x´s en la posición (4.00,0) m. Encuentre el potencial electrostático en P debido a las cargas. Las coordenadas de P son (0,3.00) m. y x P 3.00 m 4.00 m q1 q2

Cargas opuestas: U < 0 Ahora consideremos la energía potencial de interacción de un sistema de partículas cargadas. • si V1 es el potencial eléctrico en un punto P debido a la carga q1 entonces el trabajo requerido para traer una segunda carga q2 desde el infinito hasta el punto P sin aceleración es q2V1. • Por definición, es igual que la energía potencial, U,de los dos sistemas de partículas. P Q2 r12 Cargas iguales: U > 0 Cargas opuestas: U < 0 Q1

Con más de dos cargas puntuales: La energía potencial total se obtiene calculando U para cada par de cargas y sumando algebraicamente. r12 q1 q2 r13 r23 q3 Decimos que q1 con q2 y q3 están en . El primer término es el trabajo necesario para traer q2 desde el , estando presente la carga q1. Los siguientes dos términos son el trabajo necesario para traer q3 de . El resultado es independiente del orden en el cual las cargas son transportadas.

Continuación del ejemplo 1 Cuanto trabajo es necesario para traer una carga puntual de 3.00 mC desde el infinito al punto P? y x P q3 3.00 m q1 q2 4.00 m El signo negativo implica que el trabajo es realizado por el campo mientras la carga se mueve desde el infinito a P. Así que el trabajo positivo debe de ser realizado por un agente externo que mueve las cargas de regreso a infinito.

Continuación del ejemplo 1 Encuentre la energía potencial total del sistema de tres cargas como se muestra en la figura. y x P q3 3.00 m q1 q2 4.00 m tenemos q1 = 1.00 mC, q2 = -4.00 mC, q3 = 3.00 mC, y r12 = 4.00 m, r13 = 3.00 m, r23 = 5.00 m. U = -2.16 x 10-2 J En la anterior

Obtención de E a partir de V Para determinar V a partir de un E conocido usamos Podemos escribirlo de manera diferencial para encontrar E a partir de un V conocido. La componente del campo eléctrico en una dirección particular es el negativo de la razón de cambio del potencial en esa dirección.

Para distribuciones de carga esféricamente simétricas el campo eléctrico es radial: Si el potencial es una función general de mas de una coordenada espacial V (x, y, z) podemos encontrar las componentes de campo eléctrico a través Vector: Componentes:

Si V = 3xy2 - 2yz encuentre las componentes de E.

Superficies equipotenciales Una superficie equipotencial es cualquier superficie que conste de un distribución continua de puntos con el mismo potencial eléctrico. • Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de flujo eléctrico • Todo el volumen de un conductor es un equipotencial (caso estático) • Como los mapas topográficos las cargas positivas van hacia “arriba” y las cargas negativas van hacia “abajo”

Ejemplos de superficies equipotenciales (b) (c)

V para distribuciones de carga continuas Caso 1: subdividimos la distribución de carga en pequeños elementos dq usamos la carga puntual resultante: Ahora sumemos todas: Caso 2: Si conocemos el campo eléctrico, decimos por ley de Gauss, podemos usar esto en: Esto nos da el potencial entre los puntos A y B, todavía necesitamos escoger V=0 en un punto conveniente.

Divida la línea en elementos de carga dq = ldx donde λ= Q/l. Ejemplo 2 Una barra de long. l ubicada a lo largo del eje x tiene una carga Uniforme por unidad de longitud l y una carga total Q. Encuentre el potencial eléctrico en P a lo largo del eje y a una distancia d del origen. Divida la línea en elementos de carga dq = ldx donde λ= Q/l. Para estos elementos de carga el potencial dV se escribe como: Ahora integrando sobre la longitud del cable: y x P r d x dx dq De las tablas: Por lo tanto:

Cada elemento de carga en el aro tiene la misma distancia hacia P: Ejemplo 3 Encuentre el potencial eléctrico en P ubicado en el eje de un aro cargado uniformemente de radio a y una carga total Q. El plano del aro es perpendicular al eje de las x´s. dq a r θ x P Cada elemento de carga en el aro tiene la misma distancia hacia P:

Anteriormente encontramos (mediante ley de Gauss) que el Ejemplo 4 Una esfera aislada de radio a tiene una densidad de carga positiva uniforme con carga total Q. Encuentre el potencial eléctrico en un punto fuera de la esfera. Anteriormente encontramos (mediante ley de Gauss) que el campo es radial dirigiéndose hacia fuera y con magnitud: E ds Q r a Para obtener el potencial en un punto exterior tomaremos con cero el potencial en infinito y evaluaremos:

Continuación del ejemplo 4 ds Q r a En la superficie de la esfera de r = a,

Continuación del ejemplo 4 Potencial eléctrico en un punto dentro de la esfera : r < a. Usando la ley de Gauss podemos ver que el campo dentro de la esfera tiene magnitud Q a r B A Podemos evaluar la diferencia de pot. VB – VA donde A esta dentro de la esfera y B esta en la superficie. El campo es radial así que:

Continuación del ejemplo 4 Q a Como el potencial en la superficie de la esfera, VB es : r B A Substituyendo el resultado en la expresión de arriba encontramos:

Potencial eléctrico de un conductor cargado Ya mostramos E=0 dentro del conductor en equilibrio. Toda red de carga reside en la superficie del conductor. El campo eléctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie del conductor. Considere los puntos A y B en la superficie del conductor cargado a lo largo de una trayectoria en la superficie conectando los puntos, E es siempre perpendicular a ds. E + A B

Como E es siempre perpendicular a ds a lo largo de la trayectoria de superficie de A a B + A B • Así VB = VA. Entonces V es constante en todo punto en la superficie de un conductor cargado en equilibrio. Como el campo eléctrico dentro del conductor cargado en equilibrio es cero, el potenciales constante en todo punto dentro del conductor es igual a su valor en la superficie.

Energía potencial electrostática Para una carga puntual q1 el pot. A una distancia r12 es: Para traer una segunda carga q2 del infinito a una distancia r12 debemos realizar trabajo: Para traer una tercera carga puntual q3 del infinito a una distancia r13 de y una dist. r23 de q2 el trabajo que debemos realizar en contra del campo eléctrico producido por q1 y q2 es:

El trabajo total requerido para reunir las tres cargas es la energía potencial electrostática U del sistema de 3 cargas puntuales: El trabajo requerido– es independiente del orden en que se reúnen las cargas ahora: donde V1 es el potencial debido a las cargas q2 y q3.

La energía potencial electrostática U de n cargas puntuales se El trabajo total requerido para reunir las tres cargas es la energía potencial electrostática U del sistema de 3 cargas puntuales puede escribirse: La energía potencial electrostática U de n cargas puntuales se escribe: Donde Vi es es el potencial en la ubicación de la i-ésima carga debido a todas las otras cargas

Se mantiene para distribuciones continuas de carga Conductor esférico de radioR, carga q, potencial relativo a V=0 en el infinito: El trabajo necesario para traer otra dq del infinito al conductor es Vdq. Este trabajo se incrementa igual en EP del conductor: Energía potencial total U: Donde Es el potencial en la superficie de la esfera cargada. Para n conductores el conductor con pot. Vi y con carga Qi , el EP electroestático es: