RESTAURACIÓN DE IMAGENES (APLICACIÓN DE ANALISIS) RESTAURACION DE IMAGENES APLICANDO LA MATRIZ PESUDOINVERSA PID 2005/06 Adrián Salas Gavilán Jose Luis Martínez González Juan Ignacio Moreno Núñez Lorenzo Pérez Perea

Introducción Morfología en Escala de Grises Filtros de Paso Bajo Descomposición en Valores Singulares Problemas Análisis Bibliografía

Morfología (I) Las operaciones morfológicas simplifican imágenes y conservan las principales característica de forma de los objetos, de esta forma pueden extraerse componentes de la imagen que son útiles en la representación y descripción de la misma. La morfología matemática se puede usar, entre otros, con los siguientes objetivos: - Pre-procesamiento de imágenes. - Destacar la estructura de los objetos. - Descripción de objetos. Para toda operación morfológica es necesario un elemento estructural que llamaremos B y la imagen a tratar que llamaremos F(x,y), siendo los parámetros la posición en la matriz de la imagen y el resultado de la función el valor de gris de esa posición.

Morfología (II) Las operaciones morfológicas básicas son: - Dilatación: (F  B)(s,t)=Max{F(s-x,t-y)+B(x,y) tal que (s-x,t-y)  Df y (x,y)  Db Al aplicar la dilatación sobre una imagen podemos apreciar que su brillo aumenta aunque esto solo ocurrirá siempre y cuando el elemento estructural este formado por valores positivos.

Morfología (III) - Erosión: (F  B)(s,t)=Min{F(s-x,t-y)-B(x,y) tal que (s-x,t-y)  DF y (x,y)  DB En este caso, el efecto de realizar una erosión es el contrario al de la dilatación ya que se obtiene una imagen con menos brillo siempre y cuando todos los valores del elemento estructural sean positivos.

Morfología (IV) También es posible la composición de las operaciones morfológicas básicas consiguiendo: -Apertura : A=(F  B)  B Usada para borrar pequeños detalles claros comparados con el elemento estructural, manteniendo el resto de la imagen prácticamente igual. -Cierre : C=(F  B)  B Usada para eliminar pequeños detalles oscuros comparados con el elemento estructural, dejando el resto prácticamente igual. Se ha añadido la resta de imágenes a modo de operación auxiliar.

Filtros de Paso Bajo (I) Sustituir los píxeles deteriorados o erróneos por una aproximación a sus vecinos, de esta forma se reduce la diferencia entre este píxel y los que le rodean. Se utilizará un umbral para distinguir entre píxeles correctos e incorrectos. Dependiendo del filtro se aplicará una mascara u otra. PROBLEMA : Cuando tratamos un error de gran tamaño (de varios píxeles) supondrá que los vecinos al píxel a tratar tampoco sean correctos y por lo tanto no se podrá aproximar dicho píxel.

Filtros de Paso Bajo (II) - Filtro de Media: Este filtro calcula la media de todos los vecinos y se le asigna al píxel a tratar. - Filtro de Mediana: Este será similar al anterior pero calculando la mediana de los vecinos. - Filtro Conservativo: Se buscan el valor máximo y mínimo de los vecinos y si el píxel lo supera por arriba o por abajo se le asigna respectivamente el máximo o el mínimo, asegurándonos así que el piel se encuentra en el intervalo de los que lo rodean.

Filtros de Paso Bajo (III) ConservativoMedia Mediana

Descomposición en Valores Singulares (I) Toda matriz compleja A, de orden mxn puede ser factorizada de la forma : Donde U es una matriz unitaria mxm, una matriz diagonal, que contendrá los autovalores, mxn y V una unitaria de orden nxn, donde U y V contendrán los autovectores asociados a los autovalores de A.

Descomposición en Valores Singulares (II) 1. Reducción de A a la forma de Hessenberg. 2. Se procede a iterar a partir de B0 = B, tendiendo a Bk una matriz triangular superior, cuyos elementos de la diagonal principal son los autovalores de A. 3. Los valores singulares de A son las raíces cuadradas de los autovalores de la matriz hermítica AhA, se procede como sigue :

Descomposición en Valores Singulares (III) 3.1. Calcular B = AhA Calcular los autovalores y los autovectores de B, obteniendo la factorización diagonal B = V V Construir la matriz diagonal D tomando las raíces cuadradas positivas de la diagonal principal de 3.4. Resolver el sistema UD = AV, obteniendo la matriz unitaria U, y por tanto, la factorización SVD.

Problemas La mayoría de los problemas surgen en la implementación : - Problemas de Memoria. - Truncamiento de los decimales. - Dificultades con el Algoritmo SVD.

Análisis (I) 30949, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,908188

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Análisis (II)

Análisis (IV) 1º) ¿Por qué se produce un incremento en los autovalores al dilatar? Es lógico pensar que si la dilatación consigue un aumento de brillo y esto supone un aumento en los valores de la matriz de imagen los autovalores resultantes sean mayores, aun así nos surge otra pregunta: a)¿Por qué se llega a un punto en el que se decrementan? Quizás cada elemento estructural tenga un incremento/decremento asociado a cada autovalor. 2º) ¿Existe algún patrón en estos incrementos? Solo podemos suponer que es altamente probable, pero que dependa del elemento estructural elegido.

Análisis (IV) 3º) ¿Existe algún tipo de constante o formula de incremento? Tras realizar varios experimentos con varios elementos estructurales tenemos indicios de que existe algún tipo de método/formula que establece el incremento/decremento de cada autovalor dependiendo del elemento estructural elegido, pero no hemos conseguido obtener un patrón claro. (Primer Autovalor)

Análisis (V) Pequeñas modificaciones en los primeros autovalores provocan grandes cambios en la imagen. Modificaciones en los autovalores más pequeños apenas provocan cambios. El primer autovalor es el que tiene más peso en la imagen. Las operaciones morfológicas de erosión y dilatación decrementan e incrementan respectivamente los primeros autovalores. Un incremento del primer autovalor provoca un aumento de brillo al igual que en la dilatación con un elemento estructural formado por valores positivos. Un decremento del primer autovalor provoca una disminución de brillo al igual que en la erosión con un elemento estructural formado por valores positivos.

Bibliografía - Image restoration by an iterative regularized pseudoinverse method, Junji Maeda and Kazumi Murata. - Apuntes de Álgebra Numérica, Francisco Javier Cobos Gavala. - Singular Value Decompositions and Digital Image Processing, Harry C. Andrews y Claude L. Patterson. - Handbook for Automatic Computation vol. II, Linear Algebra, Springer-Verlag.