( ) . ( ) ( .

h a b b h a c d e . V =AB ·h h r ) h r AL=PB ·h

V= .AB.h AL=·r·g g2=r2+h2 1 3 g h h hb ha b r a a·ha b·hb Pirámide recta Cono circular no regular. recto. a h b hb ha h g r . V= .AB.h 1 3 AL=·r·g AL=2( + ) a·ha 2 b·hb g2=r2+h2

Figura que Arquímedes eligió como epitafio para su sepultura. Una esfera inscrita en un cilindro. . V = V 2 3 . r Halla la fórmula para el volumen de la esfera. .

PERSPECTIVA CABALLERA Dibujar una pirámide regular de base cuadrada con las dimensiones: a=4,0 cm (arista de la base) h=5,0 cm (altura) . S PERSPECTIVA CABALLERA D C 5,0 cm 4,0 cm O A B

PERSPECTIVA CABALLERA Dibujar una pirámide regular de base cuadrada con las dimensiones: PERSPECTIVA CABALLERA a=4,0 cm (arista de la base) h=5,0 cm (altura) S . 4 cm A B C D Cuadrado 5 cm 5 cm D C 2 cm 2 cm ) 45o ) 45o o A 4 cm B

A 11,5 cm3 a23 = 4 Dibuja en perspectiva caballera una pirámide regular de base triangular. 11,5 cm3 Calcula su volumen. a=4,0 cm (arista de la base) h=5,0 cm (altura) . 5,0 cm A B C 4,0 cm A e = a23 4 M M  45o A B

Dibujo en perspectiva caballera de un cubo con arista lateral de 10 cm . 5 cm 10 cm 5 cm . V=a3 10 cm 5 cm 5 cm 45o 10 cm

. . o Dibujo en perspectiva de un cilindro de radio 3,0 cm y altura 5,0 cm. . . 5 cm o 3 cm .

La figura nos muestra un prisma recto cuya base es un triángulo ABC, D triángulo ABC, F E rectángulo en C. CHD = 60o AH =8,0 cm C HB =18 cm CH  AB A H B . a) Calcula el área del DHB. b) Calcula el volumen del prisma.

DCABC CH proy. de DH sobre el ABC . DHHB (teorema de las tres F ) 60o C H D DCABC CH proy. de DH sobre el ABC 60o . ( 8 18 A B C H DHHB 8,0 18 (teorema de las tres perpendiculares en H) DHB rectángulo en H

AB AABC= AABC= CH2 = AH • HB CH2= 8 •18 = 16 • 9 CH= 4 • 3 CH= 12 cm Teorema de la altura. 12 cm AB CH2= 8 •18 = 16 • 9 CH= 4 • 3 A 8 H 18 B CH= 12 cm 26 ) 60o C H D AABC= ABCH 2 2612 2 = ) 30o 24 123 AABC= 156 cm2 . 24 cm DH= 123 DC= cm 12

V =ABh V ADHB= ADHB 3,2 dm3 a) HBDH 2 1824 = 2 123 = 216 cm2 E D F ADHB= HBDH 2 1824 2 = 123 = 216 cm2 24 ADHB 2,2 dm2 b) V =ABh 18 DC pr =156 =18721,73 =3238,56 cm3 123 V pr 3,2 dm3 .

Una pirámide regular tiene un área lateral de 48 cm2. La arista de la base mide 6,0 cm y la arista lateral, 5,0 cm. Calcula su volumen.

AL=48 cm2 A AL= nA 5 cm A B S triángulos isósceles Caras laterales 3;4;5 Trío pitagórico Pitágoras 4 cm 3 cm AL= nA 6 cm . ABSM 2 64 2 = = =12 cm2

AL AL= nA A n = 48 12 = 4 n=4 La base es un cuadrado Pero…¿conocemos la altura de la pirámide? .

V= V V V31,68 cm3 h2=16–9 h2=7 h h=7 1 42=32+h2 .AB.h Teorema de Pitágoras 4 3 M S O 36 h2=16–9 V .62. 2,64 1 3 h2=7 h S h=7 V .95,04 1 3 4 h 7 2,64 = C D V31,68 cm3 O . 6 3 A B M