(como los que hemos visto) Grupos Modelo básico:
Es decir, una función del plano en sí mismo es una isometría si preserva distancias. (las isometrías también son conocidas como movimientos rígidos del plano)
Ejemplos: Traslaciones Rotaciones Preservan orientación Invierten orientación Reflexiones Pasos (y estas son todas las isometrías) La identidad
En particular, si es una isometría, entonces tambien lo es. La composición de isometrías es isometría
contiene a la identidad tiene inversos es cerrado bajo composición Grupo:
(como los que hemos visto)
Teorema de Leonardo: Un grupo finito de isometrías es Cíclico (generado por una rotación de /n), Diédrico (generado por dos reflexiones en espejos con ángulo /n ) /n /n
C5C5 C 10 D5D5
Demostración....
Grupos discretos D
Las simetías de todos los mosaicos de Escher que hemos visto son grupos discretos Los grupos finitos Ejemplos de grupos discretos:
Grupos Caleidoscópicos: a. Diédricos (discretos y generados por reflexiones) 1.Generados por dos reflexiones:...y
b. Diédrico infinito: “la peluquería” (grupo de isometrías de la línea)
2. Tres espejos *333
*236
*244
Teorema: Estos tres (*244;*236,*333) son los únicos grupos discretos generados por tres reflexiones. Los ángulos internos de un triángulo suman
El Teorema de la Alahambra: Hay exactamente 17 grupos cristalográficos (i.e., discretos e infinitos de isometrías del plano).
Idea de una Demostración: Considerar el “orbifold” cociente. Clasificarlos como a las superficies. Con “costos” de los puntos singulares. Conway, 1998