Investigar es trabajar. Feynman: Capitulos 39 al 46 o El Nelson casi entero.

La solución Compromiso salomónico: Mas abajo que arriba, de hecho a media que uno sube la densidad disminuye exponencialmente. Este decrecimiento ha de estar ponderado por algo del estilo g/T. T E(h) p (para una partícula, esto es una probabilidad)

Sedimentos, atmósferas, orbítales, potenciales, temperatura y sueños. Una ecuación importante.

El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando) MgMg h h+dh El equilibrio en presencia de fuerzas y agitación térmica Relación entre cinética y temperatura Sobre el movimiento de partículas en un baño térmico

Mas sobre fuerzas (a la newton) y termodinámica. Arrastrando una partícula en un baño térmico. El caso general, otra ecuación importante de personaje celebre. Feynman (Cap 43) Berg (Cap 4) Nelson (Cap 4) Extra Extra: Buscar en la web teoremas de fluctuación-disipación.

Un gas de juguete (en una dimensión) en el que las cuentas son sencillas. La partícula choca a un tiempo promedio T. Los choques térmicos se modelan sencillamente como una inversión de la velocidad (v+ o v-). La partícula además esta sometida a una fuerza externa F. F δV-V+

F δV-V+ El camino recorrido es: Con lo que el camino, en promedio, recorrido por una partícula en un tiempo T es: Que expresado en términos de la fuerza es: Ergo, la velocidad media es: Y por ende, primer resultado importante con En un flipper, la pelota cae, en promedio con velocidad proporcional a la pendiente.

F δV-V+ I. Lectura de la ecuación Un modelo molecular “de juguete” de viscosidad. En un arrastre con choques térmicos, la velocidad (y no la aceleración) es proporcional a la fuerza. II Pregunta: ¿Se podrá encontrar una relación termodinámica entre el coeficiente de arrastre y variables termodinámicas como la temperatura o la difusión? Respuesta: SI

F δV-V+ Las ecuaciones necesarias del recetario C: De este problema especifico. Cinética Difusión “ A traves de v” relacionar los  y  con KT Relacionar los  y  con D Llegamos a una relación simple entre D, f y T. Ahora parar y mirar.

Marian Smoluchowski La relacion de Einstein - Smoluchowski Einstein haciendo la gran Laplagne

La relacion de Einstein - Smoluchowski Lo que NO esta NI de un lado NI del otro de la ecuación (las cantidades ausentes) Por ejemplo la masa o el tamaño de la partícula. D y f, si dependen de estos valores, pero su producto no. Esta ecuación indica que la relación entre D y f es independiente de estos factores haciendo, relacionando ambos como emergentes de una física estadística común. Partículas menores tendrán mayor difusión, pero menor arrastre. Lo que esta de un lado y otro de la ecuación (las cantidades relacionadas) Esta ecuación establece una relación entre dos cantidades que, a priori son independientes. “El arrastre”, f y la difusión D. Establece además que estas dos cantidades están relacionadas por la temperatura. Esta ecuación es universal (lo cual aquí no les muestro) y relaciona propiedades de equilibrio del sistema – La temperatura, las fluctuaciones, con la disipacion (la perdida de energia) la viscosidad, cuando se lo saca del equilibrio. A estos teoremas que hoy siguen siendo objeto de investigacion moderna se los llama genericamente: TEOREMAS DE FLUCTUCACION DISIPACION

El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando) MgMg h h+dh El equilibrio en presencia de fuerzas y agitación térmica Relación entre cinética y temperatura La relación entre fluctuaciones térmicas y resistencia al arrastre F V-V+ Sobre el movimiento de partículas en un baño térmico

Un caso particular de todo esto, transporte y conductividad iónica. Feynman (Cap 43) Berg (Cap 4) Nelson (Cap 4) Extra Extra: Todos los otros ejemplos del capitulo 43. Sedimentación (practica y mas)

+ -E A (Area) b Termo, Electro, Mecánica ¿qué mas? Puesto en términos de las variables conocidas La cantidad de partículas que cruzan una sección en un tiempo T La coyiente Por un lado: Por otro lado: Mischiando todo: En este caso particular qE

Esta ecuación no es ni fundamental ni particularmente celebre (no es de Boltzmann, ni de Einstein, ni va al recetario del Dr Cureta) pero es útil para medir f si se tiene q y n, o al revés... Además, todas las cantidades tienen sentido y son fácilmente interpretables y funciona más que decentemente para estimar ordenes de magnitud en problemas más complejos. La geometría, proporcional al ancho e inversamente proporcional al largo. La movilidad La densidad de carga La carga al cuadrado (mas carga, mas velocidad y a igual velocidad mas carga mas corriente electrica) ¿q,f,A,b, son?

Transporte en presencia de fuerzas, difusión, y gradientes de concentraciones. Ley de (Adolf) Fick Nelson 4.4 Berg: Pags 17Wikipedia: Fick y las lentes de contacto. Mais: Ecuación de difusión a partir de la Ley de Fick Berg (Pag 50), Nelson (Pag 131)

T Transporte en presencia de fuerzas, difusión, y gradientes de concentraciones. Adolf Fick Además de su Ley, que aquí sigue: Medición del bombeo del corazón, diseño de lentes de contacto, y van... ¿Como serán estas corrientes en equilibrio? ¿qué determina esta igualdad? Intuición 1: Otra manera de pensar Boltzmann

T Transporte en presencia de fuerzas, difusión, y gradientes de concentraciones. Adolf Fick Además de su Ley, que aquí sigue: Medición del bombeo del corazón, diseño de lentes de contacto, y van... ¿Como serán estas corrientes sin gravedad? ¿cuál es la “fuerza” que resulta en este desplazamiento macroscópico? Intuición 2: Temperatura – difusión- ??? Gradientes de concentraciones como motor

x Las fuentes del movimiento: 1) Difusión – Random-Walk ( en cada  la mitad avanza  para un lado, la mitad para el otro lado) Random-Walk = Difusion xx+dx dx = 

Las fuentes del movimiento: 1) Difusión – Random-Walk ( en cada  la mitad avanza  para un lado, la mitad para el otro lado) La corriente través de esta sección xx+dx Tres definiciones: (sencillamente porque c es la concentración, o densidad) 1) + + Convención de cátedra que no hace huelga. Positivo a la derecha. 2) 3) dx D -dc/dx

La ley de Fick N(in)*p N(out)*p Este termino establece una velocidad por difusión – “alimentada” por el gradiente de concentración. Esta fuerza “aparente” queda determinada por las probabilidades, establece una dirección de flujo que tiende a disminuir las diferencias de concentraciones y forma la base para “fuerzas entropicas” En particular, mantener un gradiente de concentración (el status-quo) en agitación térmica, requiere el trabajo de una fuerza. Gran diferencia con el mundo macroscópico.

x Las fuentes del movimiento: 2) Fuerza ( en cada  cuantas partículas cruzan debido a una fuerza) xx+dx La relación entre fluctuaciones térmicas y resistencia al arrastre F V-V+ F Fuerza Difusión

Fuerza Difusión En presencia de ambas: La corriente es proporcional a la difusión. Consta de dos términos. Uno puramente probabilístico: La corriente esta factorizada por la concentración y por ende el transporte térmico tiende a “igualar concentraciones” El segundo es un termino de arrastre, determinista, de una fuerza macroscópica que trabaja contra la resistencia térmica del medio resultando en una velocidad constante.

El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando) Relación entre cinética y temperatura Sobre el movimiento de partículas en un baño térmico MgMg h h+dh El equilibrio en presencia de fuerzas y agitación térmica La relación entre fluctuaciones térmicas y resistencia al arrastre F V-V+ F Ley de Fick

Un caso particular de todo esto, equliibrio iónico. Ley de Nerst-Planck Nelson Gutierrez (Pag ) Extra Extra: Nelson, capitulo 11. Hille (la Biblia biofísica)

Todo tiempo pasado fue mejor...

Ahora podemos “deducirla”

Fuerza Difusión En presencia de ambas: T Intuición 1: Otra manera de pensar Boltzmann LA CONDICION DE EQUILIBRIO: CORRIENTE =0

LA CONDICION DE EQUILIBRIO: CORRIENTE =0 (caso fuerza electrica) Regla de la cadena Ley de Nerst-Planck (con nombre pero no va al recetario) Un random-walk algebraico… Si aumenta T, el potencial necesario para mantener una diferencia de concentraciones es mayor. Exponenciando

Algún intento de explicar el porque de este experimento. Un momento de pausa y oración. Los salmos de Magnasco, el eclipse de Homero y sobre como moverse, o quedarse quieto según uno guste, en medio de un huracán. Nelson (Cap 10) Marcelo O Magnasco Forced Thermal Ratchets (primera pagina) Molecular Combustion Motors (primera pagina) Astumian (Brownian Motors)

La génesis del problema, en tres pasos: Complejidad mata Tamaño Tamaño mata Difusión Ergo Energía y Autopistas

La contextualizacion del problema, en dos pasos: El mundo Browniano es raro. En el mundo intuitivo, las cosas se quedan donde están En el mundo Browniano las cosas se escapan, mantener el status-quo, cuesta.

El marco para la solución del problema, en dos pasos Uno, el critico, difícil y de lenta digestión: Hacia un ciclo de Carnot del mundo Browniano Si en el ratchet de Feynaman uno empuja el molino justo cuando abre el trinquete…

La plausibilidad del marco. ¿Están dadas las condiciones para una revolución conceptual en el mundo browniano? La maquinaria biológica cuenta con los dos ingredientes necesarios: asimetría y algún guardián del orden temporal. Completando el ciclo – ¿quien hace de caldera en este ciclo de Carnot molecular?

Movimiento en el mundo microscópico: Fuerza, aceleración, inercia. E (se conserva)