El problema de Procusto y la distinguibilidad de estados cuánticos Mariela Portesi Javier Sparacino PWL

Preliminares Un ensemble cuántico es un conjunto de estados cuánticos, cada uno de ellos ocurriendo aleatoriamente con probabilidad Los ensembles cuánticos son necesarios para describir situaciones con información a priori incompleta. Por ejemplo: la salida de un canal cuántico estocástico Los estados de los sistemas clásicos pueden ser confiablemente distinguidos; mientras que dos estados cuánticos genéricos NO pueden ser distinguidos con precisión arbitraria (por cualquier medio operacional). Para estados puros una medida natural de similitud es la proyección (probabilidad de transición) Para estados mezclas no hay una generalización natural de esta prob. de transición. Una propuesta es la fidelidad ,  estados mezclas

A partir de la Fidelidad se introducen distintas distancias : Bures Ángulo de Bures También La distancia traza Divergencia de Jensen-Shannon cuántica Para un estado puro

Entropía y purificaciones Nuestra propuesta donde el mínimo es tomado sobre todas las purificaciones de  y . Entropía y purificaciones Entropía de Shannon Entropía de von Neumann Fuente de mensajes clásicos Mensaje a con probabilidad p(a)

Además los cuales ocurren Se codifica cada mensaje con un estado con prob. Se codifica cada mensaje con un estado Fuente de mensajes cuánticos La fuente tiene matriz densidad Además Da el menor número de qubits por estado que Alicia necesita para comunicar la información cuántica con precisión arbitraria.

Purificación: Un estado mezcla sobre H Una purificación de es un estado puro sobre un espacio ampliado Tal que

Para estados puros, nuestra propuesta queda Alternativamente donde Propiedades: Es simétrica; Se anula si y solo si Es acotada Verifica la desigualdad triangular

Se puede demostrar que la fidelidad Para estados mezclas Se puede demostrar que la fidelidad se puede escribir como Una expresión más sencilla para la métrica es mín sobre todas las purificaciones de  y una purificación fija de 

Evaluación para estados mezclas de 1-qubit Conceptualmente cambiamos el problema de medir la distinguibilidad de dos estados por el problema de medir la distinguibilidad de todos los ensembles construidos con las purificaciones de  y . Evaluación para estados mezclas de 1-qubit Representación de Bloch Toda purificación de  es de esta forma con , con S un elemento del grupo de Lie SO(3,R) y una solución particular del sistema (#)

Ejemplo: Canal de depolarización La búsqueda del mínimo sobre las purificaciones es equivalente a un problema de extremización sobre el espacio de los parámetros del grupo de Lie SO(3,R)!! Ejemplo: Canal de depolarización El canal de depolarización tiene el efecto de cambiar r por r´=(1-p)r en la representación de Bloch Queremos calcular la distancia Estrategia: sea la solución de (#) correspondiente a r´. donde

Este es el problema de Procusto!! Tomamos una purificación fija de  caracterizada por A y evaluamos una matriz que satisface (%). Toda purificación de puede expresarse de la forma Entonces: Encontrar el mínimo sobre las purificaciones es equivalente a encontrar S  SO(3,R) tal que minimiza la norma Este es el problema de Procusto!! Una vez que tenemos la purificación de que minimiza ()

Comentarios finales: Podemos extender este procedimiento a varios q-bits Nuestra propuesta se basa en dos conceptos muy naturales en Información cuántica: Purificación y Entropía Esto puede ser importante en el estudio de decoherencia cuántica