Allan Deviation J. Mauricio López R. Time and Frequency Division Centro Nacional de Metrología, CENAM

Real Clocks There not exist the perfect clock, all the real clocks are unestable. The output frequency of a clock changes with time. A correct mathematical tool is needed to characterise the frequency instability of oscillators.

A: amplitude : frequency t: time +A -A Mathematical model for ideal frequency signal

Quartz oscillators are a very common equipment to produce frequency signals but their frequency output could be more or less instable as function of many parameters

V(t) = V 0 sen(2  0 t) V(t) =[V 0 +  (t)] sen[2  0 t +  (t)] tiempo Mathematical model for real (instable) frequency signals

The Time – Frequency relation Frequency Period

The time – frequency relation

V(t) =[V 0 +  (t)] sen[2  0 t +  (t)]

Precisión sin exactitud Ni exactitud ni precisión Exactitud sin precisión Exacto y preciso Tiempo Estable de baja exactitud Inestable de baja exactitud Alta exactitud a largo tiempo e inestable a corto tiempo Alta estabilidad y alta exactitud 0 f f f f Exactitud y Estabilidad

Time / Days Short term instability  f/f (ppm) Aging and short term stability

An example of noise in measurements

s average time 3 X X s 1.0 s average time 3 X X s Frequency noise

Las graficas muestran las fluctuaciones de la variable z(t), la cual puede ser, por ejemplo, la salida de un contador (  f vs. t), o la medición de fase (  [t] vs. t). Los gráficos muestran tanto la dependencia temporal como la dependencia en frecuencia; h  es el coeficiente de amplitud. S z (f) = h  f   = 0  = -1  = -2  = -3 name White Flicker Random walk Time dependence Frequency noise

Fase Concepto de la Varianza de Allan

Allan variance           1N 1i 2 i1i 2 y yy 1N 2 1 σ  donde: Number of measurements Frequency measurement

donde: Allan variance Númber of measurements Time window = m  0 Phase measurement Allan variance

Barras de Incertidumbre Distribución  2 Para df < 100 donde: Estimado de la Varianza de Allan Número de grados de libertad Varianza de Allan verdadera

Distribución X 2 Barras de Incertidumbre

    025,    dfs s y y y  Tablas X 2 Barra Inferior Barra Superior

Tabla X 2

Para df > 100 Barras de incertidumbre

 , ,0  h  Para df > 100  , ,0  h  12  dfh donde: Barra Inferior Barra Superior

Número de Grados de Libertad White Phase Modulation Flicker Phase Modulation White Frquency Modulation   mN mNN df    2 21                       ln 2 1 exp Nm n N df             m m N N m N NBS Technical note 679

Flicker Frequency Modulation Random-Walk Frequency Modulation NBS Technical note 679 Número de Grados de Libertad

Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia  -1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo  -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y  -1 para tiempos menores del tiempo de ataque. Tipicamente los  ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 10 3 s para relojes de rubidio y 10 5 s para Cesio. y()y()  -1 00 Tipo de ruido: White phase Flicker phase White freq. Flicker freq. Random walk freq.  -1  2 1212 Time window dependence of the  y (  )

Example of Allan deviation calculation

Allan Deviation J. Mauricio López R. Time and Frequency Division Centro Nacional de Metrología, CENAM